移動區域中的電場問題的研究

劉小妹，閆述濤

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

1 引言

電磁推進系統是以導軌和電樞為主要組成部分，通過對導軌兩端施加電壓，使導軌內產生電流，在電流和導軌間磁場的共同作用下，進而產生作用在電樞上的洛倫茲力，通過洛倫茲力對電樞的作用來加速拋體運動的裝置。移動過程中，導軌與電樞接觸面隨時間變化，導致電場、電流也隨之變化。求解問題模型如圖1，其中最外層是空氣層，中間為兩條導軌，導軌中間是滑動的電樞，在導軌兩端通電，由導軌與電樞構成一個閉合回路。

2 理論模型

在求解區域中，我們將在兩個導軌上分別添加適當電壓，我們通常給予150V和-150V的電壓，利用磁矢量A和標量電位u表示的麥克斯韋方程來求解電場與磁場的分布。已知麥克斯韋方程的微分形式為

圖1 電磁軌道推進系統模型

(1)

又有

D=εE，B=μH，J=σE

其中，H：磁場強度；J：電流密度；D：電位移；E：電場強度；B：磁感應強度；ρ：自由電荷體密度；μ：磁導率；σ：電導率；ε：介電常數，這里我們忽略電位移的影響，將問題簡化為渦流方程，那么(1)式變為：

(2)

因此，渦流場方程可以從(2)式中導出，選擇磁矢量A和標量電位u組成的電磁位對，將含有運動電樞的麥克斯韋方程組變換為：

▽·(-(σ▽u))=0

(3)

(4)

(3)式和(4)式可以視作渦流場控制方程的統一形式。在圖1中，在導軌和電樞及導軌間的空氣中需要描述電場和磁場，因此(3)式和(4)都需要用到，而在最外空氣層中，只需描述磁場即可，因此我們只需要用到(3)式。

在忽略了電位移的影響下，問題中還涉及到邊界的問題，我們需要處理好在邊界上電場與磁場的條件，我們設在邊界上：

n×A=0

(5)

n·J=0

(6)

式中n為交界面的法向量。另外，為了保證磁矢量解的玩唯一性，我們還要滿足庫侖規范條件：

▽·A=0

(7)

滿足(3)、(4)式之后，我們還需考慮一個問題，電樞的運動是一個瞬時問題，電樞隨著時間變化而移動，我們需要確定電樞運動的軌跡。前面有文章采用的是主叢匹配法，這里，我們利用電導率的不同來確定電樞在導軌間的位置。在兩個導軌之間，存在著電樞和空氣，電樞和空氣的電導率是不同的，在模型中，電樞我們采用的是鋁，鋁的電導率為3.77×107(S/m)，而空氣的電導率為1.0(S/m)，我們通過在導軌間不同時間、不同位置電導率的不同，就可以很容易的判斷出不同時間下電樞的位置，我們取如下函數表達式作為兩導軌之間相同時間下不同位置電導率：

σ=σ_air+σ_al*e-100*(|x-x0|>(L/2))*(|x-x0|-(L/2))

(8)

其中σ_air是空氣的電導率，σ_al是鋁的電導率，L是電樞的寬度，x是導軌間位置坐標，x0是電樞的中心點坐標。隨著時間的變化，坐標產生變化，從而兩道軌之間不同位置電導率發生了變化，因此就可以確定電樞移動的位置。

3 有限元分析

為了便于計算我們只考慮在導軌、電樞以及導軌之間的空氣中的電場問題，并且只需要考慮(3)式，因此為了便用于仿真模擬軟件的執行，需要通過變分形式，取試探函數v(x)，我們將(3)式改寫成弱形式：

(-σ▽u，▽v)=0

(9)

并且在兩條導軌上，設置邊界條件為一條導軌上通入150V電壓，另一條導軌通入-150V的電壓。這樣，我們就可以對該模型進行仿真模擬分析。

4 數值實驗

利用仿真模擬軟件對電磁軌道推進系統進行模擬，首先是對電場的動態變化的分析，為了簡便運算的復雜程度，我們取導軌的長度為1，電樞的寬度L為0.04，電樞的中心x0=0.02，選擇讓電樞每個時間單位移動半個電樞的長度，圖2、圖3為動態模擬結果。

通過模擬結果，我們可以看出，隨著時間的推移，電壓隨著電樞變化而變化，導軌所在的位置即電壓達到的位置，并且在電樞初始未與導軌接觸時和電樞彈出時，整個導軌電壓達到頂端。同樣，電流也是隨著電樞的移動而變化，在導軌上電流總是從高電壓流向低電壓，并且電樞處的電流相對于導軌上的電流較小，也同樣，在電樞初始狀態未與導軌接觸時和電樞彈出時，電流也隨之消失。

t=10s t=20s

t=30s t=40s圖2 電場隨時間變化圖

圖3 20s時電磁軌道電流分布

5 結論

本文是在將電磁推進系統簡化的情況下對其電場、電流進行理論分析、數值模擬。我們假設電樞在導軌間進行勻速運動，這樣不僅可以簡化計算，而且可以更加直觀的通過仿真模擬軟件觀察電樞的運動狀態，更好的分析電磁推進系統的電流及電場的變化情況。