結(jié)合分類討論思想解答高中數(shù)學(xué)題

江蘇省濱海中學(xué)高三（16）班 劉晉銘

縱觀近年來高考數(shù)學(xué)試卷，可見其中有很大一部分題目是考查我們高中生的數(shù)學(xué)思維以及對數(shù)學(xué)思想的掌握程度。分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，對我們數(shù)學(xué)思維的縝密性具有較高要求，是避免我們在求解數(shù)學(xué)問題期間出現(xiàn)分類缺漏或重復(fù)等解題問題的一種重要解題思想。因而，如何在數(shù)學(xué)題目求解中應(yīng)用分類討論思想值得深入探討。

一、在函數(shù)題目解答中的應(yīng)用

函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的重要組成部分，如果在函數(shù)中涉及參數(shù)，那么相應(yīng)的函數(shù)結(jié)果也勢必會發(fā)生改變，所以在我們求解這類帶有參數(shù)的數(shù)學(xué)函數(shù)問題時，就需要針對參數(shù)進(jìn)行分類討論。在確定函數(shù)類型后，再采取相應(yīng)的求解對策來解決有關(guān)問題。

解析：由于參數(shù)m位于未知參數(shù)的系數(shù)以及指數(shù)部位處，可能會使第一項變成常數(shù)或一次函數(shù)，所以在實際的求解中需要分類進(jìn)行討論。

解：當(dāng)m+3=0，即m=-3時，函數(shù)y=4x-5，此時滿足題意。

當(dāng)2m+1=0，即時，函數(shù)此時滿足題意。

當(dāng)2m+1=1，即m=0時，函數(shù)y=7x-5，此時滿意題意。

解析：該道題實際上是一個逆向最值問題，由于待求的參數(shù)a的變化會對函數(shù)的類型產(chǎn)生影響，所以我們在求解該道題的時候，為了提升解題的準(zhǔn)確度與效率，需要注意對參數(shù)a是否為零來進(jìn)行分類討論。

解：如果a=0，此時其在區(qū)間上的最大值為≠1，所以可以排除參數(shù)a=0的情況。

如果a≠0，那么可知f（x）為二次函數(shù)，此時其對稱軸為直線此時可以繼續(xù)劃分成如下幾種方式來求解問題：假定=1，那么代入公式后可以求得對應(yīng)的對稱軸為此時其位于區(qū)間上，但是由于a＜0，其在處無法取得最大值，故假定f（2）=1，那么代入公式后可以求得對應(yīng)的對稱軸為直線此時其位于區(qū)間上，且由于a＞0，且直線距離區(qū)間右端較遠(yuǎn)，所以可知f（2）取值為最大值，滿足題意，所以該道題的正確答案為

解析：該道例題是一道對數(shù)函數(shù)題目，由于涉及決定函數(shù)變化性質(zhì)的未知參數(shù)，實際求解過程中需要進(jìn)行分類討論，尤其是該道題中還涉及絕對值，更需要進(jìn)行分類討論來去掉絕對值。

解：如果參數(shù)a＞1，那么可知：

又因為 0＜1-x＜1＜1+x，所以可得這樣就可以確定進(jìn)而可以確定

綜上所述，當(dāng)a大于零且不等于1 的時候，

二、在概率題目解答中的應(yīng)用

概率問題也是高考數(shù)學(xué)學(xué)科中必考的一種類型題，其求解過程中同樣可以應(yīng)用分類討論思想。在實際的數(shù)學(xué)問題求解過程中，需要先明確概率類型，之后對條件內(nèi)數(shù)字采取編號方式來處理，最后采取分類方式來對變量數(shù)值進(jìn)行假設(shè)，并確定相應(yīng)的求解方式與方法，確保求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。

例4 在某地開展的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，總共有18名火炬?zhèn)鬟f手，編號依次為1，2，3，…，18，從這些人當(dāng)中隨意選擇3人，那么所選火炬?zhèn)鬟f手編號可以構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列的概率為（）。

解析：該道數(shù)學(xué)問題本質(zhì)上屬于一種古典概率型數(shù)學(xué)問題，相應(yīng)的基本事件總數(shù)主要為所選出的火炬手編號為然后可以采取分類討論思想，依次確定構(gòu)成等差數(shù)列編號的火炬?zhèn)鬟f手選擇種類，之后就可以求出該道題的正確答案。

解：在a1=1的時候，所選火炬?zhèn)鬟f手可以從1，4，7，10，13，16當(dāng)中選擇，對應(yīng)著4種選法；當(dāng)a1=2的時候，火炬?zhèn)鬟f手可以從2，5，8，11，14，17當(dāng)中選擇，對應(yīng)著4種選法；當(dāng)a1=3的時候，火炬?zhèn)鬟f手可以從3，6，9，12，15，18當(dāng)中選擇，對應(yīng)著4種選法。由此可知，該道題的正確答案為正確答案為選項B。

例5 某項考試主要按照科目A與科目B的考試順序來進(jìn)行，只有通過科目A考試后方可進(jìn)行科目B考試，且已知科目A與科目B均有且只有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目均通過后才能獲得證書。現(xiàn)有一名考生，其通過科目A的概率為通過科目B的概率為假定科目A與科目B考試之間互不影響，試求其不需要補(bǔ)考即可獲得證書的概率。

解析：該道題是一道典型的概率問題，求解過程中需要分清事件，分類討論各類事件的發(fā)生概率，最后再集中求解。在求解該問題的時候，獲得證書的概率事件為A1B1，且事件A1和事件B1二者是相互獨(dú)立的，此時只需要分別求出通過兩個科目的概率，再做乘積即可，即：由此可見，在求解概率題目的時候，需要先相應(yīng)地進(jìn)行分類討論，確定事件之間的關(guān)系，結(jié)合題目要求來進(jìn)行合理分類討論，這樣可以確保分類討論的準(zhǔn)確性。

三、在數(shù)列題目解答中的應(yīng)用

數(shù)列也是高考數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容，相應(yīng)的類型題求解中同樣可以應(yīng)用分類討論思想。比如，在等比數(shù)列求和或周期性探索問題等的求解中，均可以借助分類討論思想來簡化數(shù)學(xué)問題求解。在等比數(shù)列中，由于公比q可以劃分成等于1和不等于1兩種情況，實際求解過程中需要先進(jìn)行針對性討論，確保問題求解的針對性與全面性，避免因為討論不到位而影響最終的求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。

例6 現(xiàn)有等比數(shù)列{an}，其公比為q，前n項和Sn＞0（n=1，2，3，…），試求公比q的取值范圍。

解析：由于{an}為等比數(shù)列，且已知其前n項和大于0，所以可得a1=S1＞0，q≠ 0。

當(dāng)q=1的時候，Sn=na1＞0;

當(dāng)q≠1的時候，上式可以相應(yīng)地轉(zhuǎn)化成下式：

求解①式可知q＞1；求解②式，由于n可為奇數(shù)或偶數(shù)，此時可以確定 -1＜q＜1。

綜上分析，可知待求參數(shù)q的取值范圍為

總之，分類討論思想是我們高中生需要掌握的一種重要數(shù)學(xué)思想，在求解某些數(shù)學(xué)問題時往往可以收到奇效。在我們遇到函數(shù)、概率或數(shù)列等問題的過程中，我們要注意形成一種思維習(xí)慣，如遇到含參數(shù)的函數(shù)問題，就要考慮是否需要進(jìn)行分類討論，這樣才能不斷提升我們的數(shù)學(xué)解題能力。