利用高中數學建模教學培養學生的元認知

□ 海南華僑中學 黃曉曉

近年來，國際數學教育研究中有兩個問題成為了熱點：“問題解決”和“元認知”，可見元認知對數學解題能力是起核心影響作用的,而數學建模理念已越來越受到中學數學老師的青睞，元認知策略在建模教學過程中具有“導航器”的作用，同時數學建模的教學對培養學生的元認知也起到重要的作用。

一、數學建模在高中數學教學中的地位和作用

1.什么是數學建模。數學作為一門重要的基礎學科和一種精確的科學語言，是以一種極為抽象的形式出現的。這種極為抽象的形式有時會掩蓋數學豐富的內涵，并可能對數學的實際應用形成障礙。要用數學方法解決一個實際問題，不論這個問題是來自工程、經濟、金融或是社會領域，都必須設法在實際問題與數學之間架設一個橋梁，首先要將這個實際問題化為一個相應的數學問題，然后對這個問題進行分析和計算，最后將所求得的解答回歸實際，看能不能有效地回答原先的實際問題。這個全過程，特別是其中的第一步，就稱為數學建模，即為所考察的實際問題建立數學模型。

簡單地說就是：把實際問題抽象為一個數學問題，并又合理地返回到實際中去，這個過程就是數學建模，數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，數學建模是尋求建立數學模型的方法的過程。

2.高中數學建模在教學中的地位和作用。數學建模是高中開展探究性學習的好題材。數學建模包含了合作學習、自主學習和探究性學習的諸多因素和作用。數學建模是提高參與者數學素養的一種很好的形式。越來越多的國內教育工作者都有這樣的認識：數學知識的掌握不全是教出來的，而是自己做出來的，數學建模正好是一個學數學、用數學、做數學的過程，它體現了學和用的統一。

數學建模問題存在于我們的周圍和日常生活之中。例如，如何收集數據解決公交站點的合理設置、學校課程表的科學安排等問題。同時，在數學建模教學過程中讓學生自己提出問題、解決問題可以培養學生關心社會、服務社會的好習慣。

二、元認知和元認知策略的概念

1.元認知理論。元認知概念是在20世紀70年代初，由美國心理學家弗萊維爾首先提出來的，它的研究在理論上豐富和發展了心理學的學習理論，在實踐上對開發學生智力，特別是解決“教會學生如何學習”等問題有著十分重要的意義。元認知能力在一定程度上可以彌補一個人智力的不足。“元認知，就是對認知的認知，實質就是人們對認知活動的自我意識和自我調節。”所謂數學元認知就是人們對數學認知的控制和調節。

2.元認知策略。在人類的學習過程中，學習者要學會使用一些策略去評估自己的理解，預計學習時間，選擇有效的計劃來學習或解決問題。元認知策略大致可分三種：①計劃策略——包括設置學習目標、瀏覽閱讀材料、產生待回答的問題以及分析如何完成學習任務。如：整個建模問題中的思路是“實際問題——數學模型——模型的解——解決問題”。②監控策略——包括閱讀時對注意加以跟蹤、對材料進行自我提問、做題時監視自己的速度和時間。③調節策略——調節策略和監控策略有關。如：數學建模對最后問題的各種解進行評價，看是否符合實際。

數學元認知策略是整個數學建模教學過程中的“導航器”，在這種策略的指導下，即使學習中思維受阻，也會及時校正思維方向，調整思維路徑，形成合理的數學認知結構。

三、高中數學教師應該為在數學建模教學中培養學生的元認知營造氛圍

在數學建模教學的開始階段，讓學生了解什么是數學建模，數學建模實際上是用數學工具加以解決我們身邊的問題，不要讓學生感到高不可攀。數學建模教學既要發揮教師的主導作用，又要發揮學生的主體作用。只有這樣學生才會敢想、敢問、敢動手操作、不怕犯錯誤，也就能夠自覺地嘗試運用已經有過成功體驗的數學元認知策略計劃、監控、調節自己的數學建模學習。從而整個教學過程中也就很好地培養了學生的元認知。在這一教學過程中，教師可以采取如下幾種做法:

1.教師在建模教學中要留給學生讀、思、議、練等主動活動所必需的時間，而不是由教師“獨占”課堂時間。

2.數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳就可以讓學生夠得到”為度。

3.教師在課堂教學中應該學會利用元認知提示語，幫助學生激活知識，快速地進入思考問題的狀態，以便能夠更快地自主找到解決問題的方法。要“民主評價”學生，通過評價給學生以成功的情感體驗，增強學生主動參與的自信心，促使他們以愉快、高漲的情緒積極參與課堂學習活動。老師在學生自評、互評過程中給予適當點撥、啟迪，并以真誠的語言、親切的語調、溫和的表情、寬容的態度來調控評價過程，使學生從中受到鼓舞，敢于表達自己的看法，養成評價自我與他人的習慣。

下面舉一個筆者自己上過的一節函數模型的課例。

問題：按照一定的身高有相應的理想體重的原理，醫學專家經過計算得到下面判斷未成年男性是否肥胖的標準：若體重超過相同身高男性體重的平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，處于0.8到1.2倍之間為標準。其中體重的平均值稱為這地區某一身高對應的標準體重，現在衛生部門要了解該地區未成年男性的肥胖情況，請你給出一個體重標準幫助衛生部門完成這項工作。

問題給出后學生陷入了迷茫甚至是一頭霧水的情況，此時我給出一些元認知的提示語，幫助學生進入思考的狀態。

提示1：根據上面的介紹可知，某地區平均體重與身高是有聯系的，在這里涉及到多少個變量？（身高和體重）

提示2：隨著身高的變化所要求的平均體重也相應地變化，我們想知道身高與體重要滿足怎樣的關系呢？

提示3：為了知道這對于一般人他的身高與體重的關系，需要了解具體一些人的身高與體重的關系，你怎么才能得到？

此時有學生提道：首先第一步我們要收集數據。這樣我們就能自然地給出課本上提供的例題。

這樣的課堂老師只是一個引路的人，我們只需要做的事情就是不斷地用元認知提示語言提示學生，讓學生自己動腦和動手，學生非常清楚要思考什么，如何思考。通過不斷的練習，學生就能在類似的情境中，進行類似的思維活動，從而形成良好的思維習慣，進而使學生感覺到生活的無窮奧妙，感悟到課本知識的無限魅力，感受到數學之花的萬般美麗。

四、數學建模課堂教學要關注題后反思和勤于反饋

羅增儒先生在他的《數學解題學引論》中斷言：分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑，至少沒找到更好的途徑之前，這是一個無以替代的好主意。筆者認為羅先生這里強調的對解題過程的分析就是對解題的一種反思。反思的對象是解題認知過程，因此這種反思實際上就是一種元認知。

課堂上我們要經常有意識地指導學生進行反思。如“等一等”：學生對建模的內容是否理解，并能清楚地向他人進行描述；“想一想”：產生這一問題大致是什么原因造成的，是有些知識沒有掌握好，還是缺乏解決問題的技巧；“找一找”：解決這一問題有哪些方法；“看一看”：檢查一下采取相應的措施后，原先的問題是否得到解決，“做一做”：記錄解決問題的經過，決定以后怎樣做。

課后我們教師要提供足夠的練習與反饋，鼓勵學生在不同情景中運用策略，并指導學生生成新的策略。元認知策略教學的目的就是通過教學過程中不斷的練習與運用，使學生認識到什么是策略，策略運用的有效性，并能有意識地去發現策略、總結策略，從而生成適合自己的新的策略。學生能自己生成新的策略，也就標志著他們真正地“學會了學習”，也就真正意義上達到了利用教學完成了元認知的培養。

高中數學建模教學還處在探索階段，雖然在大多數地方它還不是很普遍，但是隨著社會的發展，最終數學建模會走向中學數學的主戰場，如同以前的向量。微積分于中學數學一樣。而元認知和元認知策略是一個復雜的系統，用于數學建模教學研究還任重道遠，本文從高中數學建模教學中如何引進元認知策略來輔助教學，同時在教學中培養學生的元認知做了一點探究，一些方法只是淺嘗輒止，筆者希望在今后的數學建模教學中能與廣大同行一起努力繼續做深入的研究。