感知數學學科中的語言文化

趙文靜

摘要：描述了數學語言與自然語言的聯系與區別，闡述其概念、特點、發展階段，并探討了數學語言與數學思維之間的聯系。

關鍵詞：數學語言;數學思維

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094-（2018）11C-0016-03

一、自然語言與數學語言的聯系與區別

自然語言（以下簡稱語言）是人類最重要的交際工具。它同思維有密切的聯系，是思維的工具，是思想的直接現實，是人區別于其他動物的本質特征之一。任何一門學科都是建立在自然語言的基礎之上的。我們的自然語言之中也包括了一部分非形式的數學語言，如“圓”“數”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“無限”等等，有的可以直接運用于我們的現實生活中，在自然語言中也包含了如何運用這些術語的規則。譬如，兒童在沒有學習數學中有關概念時，他就可能知道：“天上有1個太陽”“太陽和月亮都是圓的”……其中“1”“圓”都是屬于數學語言的范疇。通過運用這些術語，即可將世界上的事物和對象進行分類和量化。然而，在解釋這些非形式的數學術語時，利用的是自然語言的語義。自然語言的規則和約定確定了這些術語間的內在關系，如“1小于2”以及“無限集合含有兩個以上的元素”等。如果沒有自然語言中對“1”“小于”“2”“無限”“集合”“元素”等詞的解釋和規定，就無法理解以上兩句話。

這些非形式的數學語言為數學思維提供了必要的概念框架和理論基礎，為數學的發展提供了可能。在其基礎上又發展了數學特有的形式語言（如微積分、矩陣、向量等），從而構建起整個數學知識的藍圖。相應地，學生在學習數學語言時，也是按照這個程序，以自然語言中的這些非形式的數學語言為基礎，逐漸建立起自己獨特的數學語言。根據語言學的研究可以知道，自然語言具有符號性和社會性兩大特點。但是常常又會有“數學語言叫作符號語言”這一說法。[1]這兩處所指的“符號”看似相同，其實含義并不相同。自然語言中提到的符號是廣義上的符號，包括字和詞：由音和義結合成最小的單位語素（字），由語素生成詞，詞是語言運用最基本的單位。而數學中的符號僅僅指數字、字母、運算符號或關系符號。數學符號很少能夠進行組合，一般只有一個含義;而語言符號則不同，可以是多義的并進行相同組合。將這兩者區別，對于理解數學中不同的語言劃分是大有裨益的。例如，可將數學語言按其外表特征劃分為文字語言、符號語言、圖形語言及圖表語言等等。這里就將文字符號與數學符號這兩種符號區別開來了。

從自然語言與數學語言的關系可以看出，在自然語言中包含著部分數學語言，但是兩者又有不同之處。自然語言與數學語言有一個共同的子集——部分非形式的數學語言。在人們為了準確、清晰和簡便地表述數學理論的需要下，數學語言產生和發展了。它是在以下三個方面對自然語言改進的結果：防止煩瑣，克服同音現象（一詞多義），擴充詞能達意的可能性。狹義地說，數學語言是數學知識的載體，是進行數學思考和交流的工具，是數學思想的表現形式，是數學思維的最佳載體。

二、數學語言的概念、特點及重要發展階段

數學語言是隨著數學學科的誕生而產生的。數學知識體系是用數學語言表達的。對于數學語言這一概念，目前并沒有統一定義。有學者認為，數學語言是表達數學對象之間的關系和形式的符號系統。有的學者認為，數學語言，狹義地說是指數學符號語言;廣義地說，一切用以反映數量關系和空間形式的語言都是數學語言，包括借用的部分自然語言（含口頭的、文字的日常用語）、符號語言和圖像語言。 有的學者認為，數學語言就是簡化自然語言，抽象出來的體現數學思維特點的特殊語言。[2]盡管這些定義各有側重，但都在一定程度上反映了數學語言的實質是描述數學這一知識體系的。它是建立在數學這門學科的基礎之上的。數學語言并不等于簡化了的自然語言，而是自然語言的一種衍生物。數學語言是一種人工語言，或符號語言、形式語言，它的符號、規則，都是人工加以規定的，是先有規則，后有語句的。[3]例如，數理邏輯中的命題演算是一個形式系統，它先規定初始符號和形式規則，然后引出一系列命題。它是在自然語言的基礎之上建立起來的一種人工語言。數學語言主要有以下幾個特點：簡潔性、精確性、抽象性和嚴謹性。

1.簡潔性。簡潔和精煉是數學語言顯著特點之一，人們總是試圖用較少的詞匯來刻畫所描述的數學對象。例如7個12相乘，我們固然可以寫成12×12×12×12×12×12×12，但是熟練運用數學語言的人會將其寫成127，這種表達方法就簡潔得多，而且明白無誤。簡潔、精煉的數學語言有利于我們對數學事實進行歸納和概括，有利于我們進行邏輯推理。它不僅是普通語言無法替代的，而且構成了科學語言的基礎。越來越多的學科用數學語言表述自己，這不僅是因為數學語言的簡潔，而且是因為數學語言的精煉及其思想的普遍性與深刻性。

2.精確性。自然語言的語音、詞匯和語法都會隨著語言環境的不同而有多種解釋。在數學語言中，每一個符號，每一個由符號組成的式子，每一個概念和命題都只有一個意思。雖然它們的表達方式有可能不同，但其含義是一致的，沒有任何歧義。比如，點和直線的位置關系“點在直線l上”，可以說成“點A在直線l上”“點A屬于l”“直線l過點A”等等。它們都可以表示為圖1，僅僅表示了點A與直線l的一種位置關系，而沒有其他含義。精確的數學語言無疑是思維得以順利進行的前提條件。語言是思維的“外殼”，思維是語言的“內涵”，兩者相依相存。從這一角度來看，數學語言的精確性體現了數學思維的周密性。

3.抽象性。數學的對象是量與空間形式，而量與空間形式本身就不是具體的某個事物，是事物的數量與空間關系的抽象。數學發展到一定階段時，用形式化語言來表達這一對象，使其成為形式化、邏輯化的思維材料。反過來，這種抽象的語言使得數學抽象——舍棄了具體對象及現實關系中的特殊內容，而單單保留它們“純粹”的數量關系和結構關系。數學的抽象性體現在概念的抽象性，數學語言的抽象性，解決問題方法的抽象性等諸多方面。也正是由于數學語言有抽象性這個特點，使它具有通用性，從而成為其他學科的通用語言。

4.嚴謹性。數學語言具有嚴謹性，主要體現在它具有嚴謹的邏輯結構。無論用數學語言來描述數學概念、數學命題，還是用數學語言描述數學推理或數學問題，無不具有嚴謹的邏輯結構。這是數學這門基礎學科嚴謹性的保證，也是人們進行嚴謹的邏輯推理、論證的保證。反之，正是數學這門學科的特點，要求數學語言具有嚴謹的邏輯結構。如關于極限的定義，極限的思想可追溯到古代，但直到牛頓時代，人們還沒有建立嚴格的極限定義。那時牛頓所運用的極限概念還只是直觀性的語言描述。以數列為例，關于數列{an}，如果當n無限增大時，an無限地接近于常數A，那么就說{an}以A為極限。

人們很容易理解這種描述性語言，但它沒有定量給出兩個“無限過程”之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎，正因為當時缺少嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。直到柯西與魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限定義，才定量、具體地刻畫了兩個“無限過程”之間的聯系，至今仍可使用。

數學語言發展的重要階段主要有：①建立自然數和分數的符號體系，特別是引入進位計數制和0這個特殊記號。由此人類可以簡便地寫出算術運算的算法。②代數符號的發展，用代數符號可以明顯地表示出代數變形與解方程的法則。③與微積分學的產生有關的符號語言的發展。（用f'（x）與表示導數，用表示積分等等）④集合論與邏輯語言在現代數學中的普遍使用。⑤電子計算機的出現大大影響了數學語言的發展——數學語言應該便于在計算機中輸入。

“數學的歷史在一定意義上就可說是概念發展與演變的歷史”，而概念又是與語言分不開的。從以上幾個階段可以看出，語言的發展尤其是符號的發展對數學這門學科的發展起到了不可估量的推動作用。萊布尼茲曾經寫道：“記號是為了便于發現，它多半是在記號簡潔地表示并能反映事物的內在本質的時候，這時思維活動以驚人的方式得到簡化”。正是由于思維方式的簡化，人們才有可能進一步深化數學思想與方法。事實上，按照不少數學教育學家的意見，對于某些數學語言的掌握就可被看成數學水平提高的一個主要標志。例如，對代數語言的掌握就標志著由小學數學水平到中學數學水平的過渡;對極限語言（ε-δ語言）的掌握則標志著由初等數學水平上升到了變量數學的水平。

三、數學語言與數學思維的聯系

學習數學時，無論是聽課、回答問題、討論、閱讀數學書籍，還是解決問題，都是以數學語言作為中介的，數學語言是數學內容和數學方法的載體。許多學生因為運用數學語言的能力較差，造成了閱讀、理解、思維和表達上的障礙，導致了數學學習上的困難。馬克思認為，語言是思維本身的要素……是思想的直接現實。數學語言同樣與數學思維有著密切的聯系，它不僅是數學思維的工具和載體，還可以促進、深化數學思維;反之，數學思維又可以創造數學語言。數學思維的特性之一是具有獨特的形式化的符號語言。這種形式化的符號語言正是數學語言的特征之一。正是由于數學語言的嚴謹性和簡潔性保證了數學思維的簡潔性，數學家們才可以更加方便、流暢地表達和研究數學思想和數學方法，認識數學世界的奧秘，并把數學成果應用于人類各種實際問題。

國際教育署和國際教育學會聯合出版的教育實踐系列叢書中的《有效的數學教學》提出了數學有效教學的十條標準之一是數學語言，認為教師應該把數學語言和日常語言聯系起來，通過直接講解或示范的方式幫助學生學習數學語言，培養學生理解和使用數學語言，能夠區別數學語言和日常語言中的不同含義。無疑，這也是我們目前數學教學和學習中需要做到的。

參考文獻：

[1] 孫維張，劉富華.語言學概論[M].長春：吉林大學出版社，1991.

[2] 張乃達.數學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[3] 鄭毓信.數學方法論[M].桂林：廣西教育出版社，1999.

責任編輯：許潔

Perceiving the Language Culture in Mathematics

ZHAO Wen-jing

（Jiangsu Phoenix Education Press， Nanjing 210009， Jiangsu Province）

Abstract： This paper describes the connection and differences between mathematical language and natural language， expounds the concepts， characteristics and development stages， and discusses the connection between mathematical language and mathematical thinking.

Key words： mathematical language; mathematical thinking