探究數學分析思想在高中數學教學中的應用

（大慶市第二十八中學 黑龍江大慶 163453）

一、正向思維法

正向思維法是高中數學教學過程中最為常用也最為簡單的一種數學分析方法，學生只要根據題意，結合數學公式和知識點進行思考解題即可得到正確答案，雖然正向思維方法是高中數學教學過程中最為簡單、普遍的一種解題方法，但是它很實用，能夠在高考中為學生取得大部分的分值。[1]

在高考數學卷子中，題目的難度類型按易、中、難劃分為三個檔次，其中“易”的題目數量最多，占得分值也最大，“中”其次。“難”最少，只有不到10%的分值分布。“易”檔次的題目是能夠通過常規的思想簡單的套用數學公式和知識點就能夠解出答案的，學生在解這些題目時不需要繞太大的彎子，只需要運用常規的解題分析方法分析和正向思維就能夠得到題目的答案。

例：已知函數f（x）=x的平方-2ax+5在[負無窮，2]上是減函數，且對任意的x1，x2屬于[1，a+1]，總有|f（x1）-f（x2）|小于等于4，則實數a的取值范圍為多少？[2]

解：f（x）=x2-2ax+5在（-∞，2]上是減函數，所以對稱軸x=a在區間的右側，

即 a≥2，從而 f（x）在[1，a]是減函數，在[a，a+1]上是函數，由于a≥2，故在區間[1，a+1]上，x=1離對稱軸最遠，從而在[1，a+1]上，f（x）的最大值為f（1）=6-2a，最小值為f（a）=-a2+5 從而|f（1）-f（a）|≤4，即|a2-2a+1|≤4，|a-1|≤2，-2≤a-1≤2

-1≤a≤3 從而 2≤a≤3。從這題的解題思路我們可以發現，學生只要順著題意一步步來就能夠得到這題的正確答案。[3]

二、逆向思維法

高中數學學習對學生思維的靈活轉換的要求比較高，學生在解數學題的過程中需要不斷靈活的轉換思維方式對數學題目進行分析。逆向思維方式屬于發散性思維，在碰到運算量很大且正面解題難度較大的題目時，運用逆向思維法往往能夠取得事半功倍的效果。

例：若a3+b3=2求證a+b≤2

解：假設a+b＞2，則a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）＞2（a2-ab+b2），而a3+b3=2，所以（a2-ab+b2）＜1，所以1+ab＞a2+b2≥2ab，從而ab＜1，所 以a2+b2＜1+ab2＜2，所 以（a+b）2=a2+2ab+b2＜2+2ab＜4，所以a+b＜2，這與假設矛盾，故a+b≤2。這題就是運用逆向思維的思想來解題，當直接證明a+b≤2比較困難時，可以逆向思維，假設一個結果成立，然后逆推，最后得出與題干條件不符的結果來進行證明。[4]

三、類比和歸納法

類比歸納法是高中數學中常用且實用的一種解題思維方法，它是將兩個相似的事物從本質上或從形式上進行類比，尋找共同點，然后將事物根據共同點進行分類和歸納。在解數學題的過程中，學生需要采用類比和歸納的方法來對題目進行分析，尋找解題線索進而得出答案。數學類比和歸納法需要學生掌握大量的數學知識點，需要學生通過平常的有意識的訓練和總結經驗，熟練的掌握這種數學思維方式。就高中階段來看，類比和歸納法是一種行之有效的數學解題分析方法，能夠有效的提高學生的解題效率，使學生在面對難題是不至于無從下手，類比和歸納法能夠給學生提供一種尋找解題線索的手段，能夠有效的提高學生的數學解題能力。類比和歸納法不僅僅對數學學科有效，在其他學科的學習上也能起到很大的幫助，

例：12.已知函數f（x）＝m（x＋1x）的圖象與h（x）＝14（x＋ 1x）＋2的圖象關于點A（0，1）對稱.

（1）求m的值；

（2）若g（x）＝f（x）＋a4x在（0，2]上是減函數，求實數a的取值范圍.

解：（1）設P（x，y）是h（x）圖象上一點，點P關于A（0，1）的對稱點為Q（x0，y0），則x0＝－x，y0＝2－y.

∴2－y ＝m（－x－1x），

∴y＝m（x＋1x）＋2，從而m＝14.

（2）g（x）＝14（x＋1x）＋a4x＝14（x＋a＋1x）.

設0＜x1＜x2≤2，

則g（x1）－g（x2）＝14（x1＋a＋1x1）－14（x2＋a＋1x2）

＝14（x1－x2）＋14（a＋1）?x2－x1x1x2

＝14（ x1－x2）?x1x2－（a＋1）x1x2＞0，

并且在x1，x2∈（0，2]上恒成立，

∴x1x2－（a＋1）＜0，∴1＋a＞x1x2，1＋a≥4，∴a≥3.

在求解本題第二步驟時就需要運用類比和歸納法，通過g（x）＝f（x）＋a4x與y=kx+b的標準方程式進行類比，可以將g（x）＝f（x）＋a4x變形為g（x）=m（x＋1x）＋a4x，將看起來陌生且復雜的等式簡化成簡單的函數式進行求解。

結語

數學分析方法的教授是高中數學教學中的重要部分，對提高學生的成績和解題能力具有重要的作用。本文主要介紹了目前高中數學教學中最為常用正向思維法、逆向思維法和類比歸納法等三種數學分析思想，以及數學分析思想的應用情況。在高中數學教學中，教師不僅僅只是教授數學公式和知識點的定義和運用，還需要在日常的數學教學活動中有意識的對學生的數學思想進行培養和訓練，讓學生自己學會數學思維分析方法，讓學生學會自己獨自的思考和分析問題，提高學生解數學題的能力。讓學生在日后考試過程中面對難題時能夠得更加心易手的解這些數學題。