拋物線知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽市一中 馬東宇

一、知識結(jié)構(gòu)

二、結(jié)構(gòu)分析

拋物線是繼橢圓、雙曲線之后的第三種圓錐曲線,與前兩者不同的是同學(xué)們在初中已學(xué)過“二次函數(shù)的圖像是拋物線”,在物理上也研究過拋物線。高中階段,拋物線在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面都有重要的作用。但對于這種曲線的本質(zhì)同學(xué)們還不清楚,對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)不能代替對整個拋物線體系的研究。本節(jié)內(nèi)容將深入研究拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)。從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率e=1的特例;另一方面也是解析幾何用“方程研究曲線”這一基本思想的再次強化。

三、典例分析

題型一 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

A.y2=4x或y2=8x

B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=1 6x

D.y2=2x或y2=8x

解：(方法一)因為以MF為直徑的圓過點(0,2),所以點M在第一象限。

因為點N的橫坐標(biāo)恰好等于圓的半徑,所以圓與y軸切于點(0,2),從而2=解得p=2或p=8,所以拋物線方程為y2=4x或y2=1 6x。故選C。

(方法二)因為以MF為直徑的圓過點(0,2),所以點M在第一象限。

又因為在拋物線中,以焦半徑為直徑的圓恒與坐標(biāo)軸相切,由題意知切點為(0,2),則M點的縱坐標(biāo)為4,將拋物線方程得,即p2-1 0p+1 6=0,解得p=2或p=8。

所以拋物線方程為y2=4x或y2=1 6x。

又因為p＞0,解得p=2或p=8。

所以拋物線方程為y2=4x或y2=1 6x。故選C。

點評:求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是定義法和待定系數(shù)法。若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p),那么只需求出p即可;若題目未給出拋物線的方程,先判斷焦點位置再設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可。注意本例中直徑這一條件的靈活應(yīng)用。

題型二 拋物線的幾何性質(zhì)

解：不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A。

過點M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點B,交y軸于點P,則PM//O F。由題意知,F(2,0),|F O|=|A O|=2。

由拋物線的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6。

點評:本例考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,可通過作輔助線,借助三角形中位線的性質(zhì)、拋物線的定義求解。

題型三 拋物線的綜合問題

分析：(1)點A為定點,點B、C為動點,因直線A B、A C的傾斜角互補,所以kAB與kAC互為相反數(shù),故可用“k參數(shù)”法,設(shè)A B的斜率為k,寫出直線A B的方程,將A B的方程與拋物線方程聯(lián)立,因A為已知交點,則方程有一根已知,故用韋達(dá)定理容易解出點B坐標(biāo),同理可得點C坐標(biāo),然后再求B C斜率。

(2)因點B、C在拋物線上移動,也可用“點參數(shù)”法,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),因x1,x2=,即可設(shè)B再考慮kAB=-kAC,得參數(shù)y1,y2的關(guān)系。

圖1

解法1：設(shè)A B的斜率為k,則A C的斜率為-k,A B:y-2=k(x-4),與y2=x聯(lián)立得y-2=k(y2-4),即k y2-y-4k+2=0。

因為y=2是此方程的一解,所以2yB=

點評:解法1運算量較大,但其方法是一種基本方法,因k的變化而造成了一系列的變化,最終求出B C的斜率為定值;解法2利用點B,C在拋物線上設(shè)點,形成含兩個參數(shù)y1,y2的問題,用整體思想解題,運算量較小。

四、跟蹤練習(xí)

1.拋物線的頂點在原點,x軸為對稱軸,拋物線上一點R與焦點F的連線的中點為M(-5,4),求拋物線的方程。

解：由題意知,拋物線的焦點一定在x軸的負(fù)半軸上,故設(shè)其方程為y2=-2p x(p＞0),則設(shè)R(x,y),則-5=

00=8。

故拋物線方程為y2=-8x或y2=-3 2x。

(責(zé)任編輯 趙 平)