拋物線定義顯神奇

■河南省潢川縣第一中學(xué)高三(3 1)班 張家源

在解析幾何中,拋物線問題的求解往往離不開拋物線的定義。拋物線的定義不僅能幫助我們打開解題思路,而且可以減少計(jì)算量,真可謂“拋物線定義顯神奇”。

一、定義助我求軌跡

圖1

解析：依題意知,點(diǎn)R是線段F P的中點(diǎn),且R Q⊥F P,故R Q是線段F P的垂直平分線。

點(diǎn)Q在線段F P的垂直平分線上,則|P Q|=|Q F|。又|P Q|是點(diǎn)Q到直線l的距離,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=2x(x＞0)。

評(píng)注:解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)|P Q|=|Q F|,動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡滿足拋物線的定義。

二、定義助我求方程

圖2

解析：分別過A,B作A A1⊥l于A1,B B1⊥l于B1。由拋物線的定義知|A F|=|A A1|,|B F|=|B B1|。

因?yàn)閨B C|=2|B F|,所以|B C|=2|B B1|,∠B C B1=3 0°。連接A1F,則△A A1F為等邊三角形。過F作F F1⊥A A1于F1,則F1為A A1的中點(diǎn)。設(shè)l交x軸于K,則|KF|拋物線方程為y2=3x。

評(píng)注:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求參數(shù)p的值,這個(gè)值可根據(jù)拋物線的定義并借助于幾何法求得。

三、定義助我求比值

A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3

解析：如圖3所示,由拋物線定義知|MF|=|MH|,所以|M F|∶|MN|=|MH|∶|MN|。

圖3

評(píng)注:利用拋物線定義和圖形特征,把解析幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,大大減少了計(jì)算量。

四、定義助我求最值

解析：分析可知A點(diǎn)在拋物線內(nèi)部,如圖4。設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l:x距離為d,由定義知|P A|+|P F|=|P A|+d。當(dāng)P A⊥l時(shí),|P A|+d最小,此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,代入y2=2x,得x=2,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)。

圖4

評(píng)注:與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)。“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑。

五、定義助我求面積

解析：P Q過焦點(diǎn),|P Q|可看成兩個(gè)焦半徑之和。

如圖5,不妨設(shè)拋物線方程為y2=4a x,P(x1,y1),Q(x2,y2),則由拋物線定義知|P Q|=|P F|+|Q F|=x1+a+x2+a=x1+x2+2a=b。

圖5

故x1+x2=b-2a。又由于P Q為過焦點(diǎn)的弦,因此y1y2=-4a2。

評(píng)注:將焦點(diǎn)弦分成兩段,利用定義將焦點(diǎn)弦長用兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)表示,結(jié)合方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系是常見的基本技能。本題計(jì)算三角形面積的技巧,是求解拋物線問題中經(jīng)常用到的,同學(xué)們要注意掌握。

(責(zé)任編輯 徐利杰)