鐘表上的數學題

文/林革

生活中有不少數學題.這些題看似簡單,解題方法卻獨特.請看下面兩道題.

【試題1】在鐘表上,時針和分針每天重合多少次？

大多數人的第一感覺答案是24次.理由是一天有24小時，分針比時針轉的速度要快，似乎每小時都會追上時針，即每小時重合一次，每天重合24次.

這種分析不能說完全沒有道理，只是結果與實際情況有些誤差.在數學計算中,要求結果準確無誤.

下面從12時入手,這時分針和時針重合.時針比分針走得慢，它們經過一定的時間后會再次重合.重合的特征是什么呢?它們經過多少時間才能重合呢?這是解答此題的關鍵.

我們知道，時針和分針都是繞同一定點旋轉.分針1小時轉一周，即60分鐘轉360度，每分鐘轉6度；時針12小時轉一周,即720分鐘轉360度，即每分鐘轉0.5度.當分針比時針多轉一周,即多轉360度時，它們就重合了.你這么思考，就把時針與分針的重合問題轉化成了行程中的追及問題.

從12時開始,設經過t分鐘后,時針與分針第一次重合.由已知得

一天有24小時,即24×60=1440分鐘,時針與分針每隔分鐘重合一次,共重合

如果你還要把一天結束時的午夜12點與第二天零點的那一次重合計算進來，就是23次.這就是正確的答案.

【試題2】一個正三角形的每一個角各有一只螞蟻.每只螞蟻同時朝另一只螞蟻做直線運動，方向隨機選擇.問：螞蟻不相撞的概率是多少？

這是一道生動而有趣的題.三只螞蟻在每個角上都有兩種方向可供選擇，每只螞蟻選擇的方向不確定，組成的各種運動情形較為繁雜.

如果這樣思考,你就沒抓住問題的本質.解數學題,就要排除習慣因素的干擾,找到解決問題的突破口.

為了說明這道題所蘊含的數學思維，我們先來看下面這道趣味數學題：

一家錄像廳，原門票8元一張，降價后平均每場觀眾增加了3倍，收入增加了1.5倍.請問門票降價多少元？

這個問題按常規思路來解答似乎缺少條件.我們不妨從最簡單的情形入手,把問題簡化成只有一個觀眾，解答過程就非常簡單快捷.

假設原來平均每場有一個觀眾，那么降價后平均每場就有1×（1+3）=4人，收入有8元×（1+1.5）=20元.

20÷4=5（元），8-5=3.

由此可知，門票降價后的價格為5元，即門票降價3元.

由此可見，從最簡單的情形入手,可以收到意想不到的效果.

類似的，我們可以解答螞蟻不相撞的概率問題.

從整體來看，只有兩種方法可以讓螞蟻避免相撞：它們全部順時針運動或者全部逆時針運動.否則，肯定會相撞.

既然如此，我們不妨選擇一只螞蟻A作為參照標準，只要A確定了是逆時針或者順時針運動，那么其他的螞蟻就必須同方向運動才能避免相撞.由于螞蟻運動的方向是隨機選擇的，那么第二只螞蟻B有的概率選擇與A相同的運動方向;第三只螞蟻C也有的概率選擇與A相同的運動方向.

怎么樣？解答很簡單吧.只是我們習慣性把問題復雜化，不自覺地給自己增加了難度.為了強化這種十分有效的極端化思維，最后向大家介紹一個有趣的數學游戲：兩個人往一張普通的圓桌上輪流放一枚硬幣，交替進行.規則是每一枚硬幣都必須平放在桌上，而且不許重疊.誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就獲勝.現在有一個問題：有沒有方法判斷哪一方一定能獲勝呢？答案是：選擇先放的一方必獲勝.有的同學會問：這是為什么呢？最簡單直觀的方法是，想象硬幣變大，最極端的情形是硬幣與圓桌一樣大，那么顯然先放的那個人必獲勝.因為這個人放了以后，另一個人就不能再放了.這正是利用極端化原理，很快就得出了正確答案.