從“長×寬”到“長×寬×1”
——“長方形和正方形的面積”教學實踐與反思

（青海省西寧市南山路小學 青海西寧810000）

一、課前思考

2018年在一次教學比賽中我執教了“長方形和正方形的面積”。課的基本教學流程如下：（1）以一個猜圖形的游戲導入，讓學生在猜中體會圖形面積的計量其本質就是“單位面積的累加”，即用單位面積的總個數刻畫圖形的大小。（2）借助格子圖讓學生直觀感受長方形的長、寬與圖形中鋪滿單位面積的行、列數，以及面積單位總個數之間的對應關系，從而總結出面積單位的總個數是長、寬這兩個數的乘積。順勢推導出長方形和正方形的面積公式。（3）變式訓練，在解決問題的過程中進一步體悟面積度量的本質。（4）回顧反思，讓學生再一次回顧人類歷史面積度量的發展過程，感受人類利用一維測量的手段解決二維面積測量的智慧與創造。課后評委問我一個問題：“你覺得邊長是1的正方形在這節課中有著什么樣的作用？”“邊長是1的正方形就是圖形面積度量的工具：單位面積，這有什么特別的？”我心中暗想。

但這個問題，一直在我的腦海中盤旋。我開始反思，我的這堂課究竟上好了嗎？回想我對這節課最終的目標是要讓孩子們不僅知道長方形的面積公式，而且要讓孩子們知道為什么長方形的面積=長×寬。那我真的達到目標了嗎？課下，我對這個班的學生進行了訪談，大部分學生都能明白求長方形的面積，就是根據它的長和寬來想象長方形里鋪面單位面積有幾行，每行有幾個，再相乘得出的數就是面積單位的總個數。但是，學生在談到還有什么不懂時提到：“雖然我知道了5（長）×4（寬）是什么意思，但是為什么5×4就是20平方厘米了呢？……”學生一語中的！5是5厘米。4是4厘米，5（長）×4（寬）怎么就成了20平方厘米（面積）了呢？一個一維長度的數乘一個一維長度的數，怎么就成了二維面積了呢？1厘米×1厘米為什么1平方厘米呢？再回過來想，面積的本質是什么？到底什么是面積？張奠宙曾提到的“面積的教學，其核心就是如何測量圖形的大小，即如何給平面上的封閉圖形一個恰當的數，而這個數就叫做這個圖形的面積”。這個數到底表示誰？ 20個單位面積的個數就能表示長方形的大小了嗎？20“個”能等于20“平方厘米”嗎？難道就是教師用書中說得：數的意義不同，但數的大小是相同的？我想，這個理解還是過于牽強。那么20“個”如何才能等于20“平方厘米”呢？我突然體悟到，1個邊長為1厘米的小正方形的面積是1平方厘米，那么20個邊長為1厘米的小正方形，它的總面積就是20（個）×1（平方厘米）=20平方厘米。假如我們長方形的面積公式就是“長×寬×1”，“長×寬”所得的數剛好是鋪滿長方形單位面積的總個數，總個數乘以一個單位面積的大小1平方厘米，就是長方形的面積。然而我們就可以從數量20平方厘米中抽象出這個數“20”來表示長5厘米、寬4厘米的長方形的大小，面積是一個數。從“長×寬”到“長×寬×1”，面積是1的正方形，建立了長方形長、寬與長方形面積之間的對應關系。這也是，我們為什么會用邊長是1的正方形作為測量標準，度量圖形的大小的原因。一節課、一個知識點，我們在備課中，不僅要研讀課標、解讀教材、全面搜集資料吸納前人研究的可借鑒的突破點，同時，也要結合自己學生的學情，在不斷實踐和反思中，提煉出前人沒有看到的，立足學生發展，更有助于學生理解的創新點，也許這個點很小，但是能促進學生對概念的理解。