大橢圓線橢球高斯投影在高速鐵路工程中的應(yīng)用

馮黎剛，姚德新，金立新

(1. 蘭州交通大學(xué)測(cè)地學(xué)院，甘肅 蘭州 730070; 2. 甘肅鐵道綜合工程勘察院，甘肅 蘭州 730000)

隨著高速鐵路等長(zhǎng)線工程建設(shè)越來(lái)越多，對(duì)其基礎(chǔ)及軌道的施工精度的要求也越來(lái)越高。在高速鐵路線路測(cè)量中，存在測(cè)區(qū)遠(yuǎn)離中央子午線與平均高程較大的問(wèn)題，若直接使用傳統(tǒng)的橫軸高斯投影方法對(duì)測(cè)區(qū)控制點(diǎn)進(jìn)行投影轉(zhuǎn)換，就會(huì)使得投影時(shí)投影長(zhǎng)度變形值很大。另外，對(duì)于東西跨度較長(zhǎng)的高鐵線路，為了控制邊長(zhǎng)的投影變形，往往需要?jiǎng)澐州^多投影帶，建立眾多的獨(dú)立坐標(biāo)系，不僅使得數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時(shí)的計(jì)算量突增，而且容易給整條鐵路施工帶來(lái)不便。基于這種情況，本文基于最小二乘估計(jì)、非線性規(guī)劃最優(yōu)理論等相關(guān)數(shù)學(xué)方法提出一種處理線路測(cè)區(qū)的控制點(diǎn)數(shù)據(jù)的方法——大橢圓線橢球高斯投影法，并通過(guò)工程實(shí)例檢驗(yàn)其在東西走向長(zhǎng)線工程中的優(yōu)越性、實(shí)用性。

1 基礎(chǔ)橢球(E0)向大橢圓橢球(E1)的轉(zhuǎn)換

1.1 建立大橢圓線橢球

所謂基礎(chǔ)橢球向大橢圓線橢球的轉(zhuǎn)換，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)基礎(chǔ)橢球的幾何參數(shù)求解大橢圓橢球的幾何參數(shù)[1-4]。首先找出沿線路延伸方向附近過(guò)原點(diǎn)的大橢圓線，將基礎(chǔ)橢球經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、變形[5-6]建立以大橢圓線為中央子午線的新橢球；其次，根據(jù)控制點(diǎn)在E0中的坐標(biāo)和幾何參數(shù)求E1的幾何參數(shù)。在基礎(chǔ)橢球中，某一點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[7]

(1)

式中，N為大地緯度B對(duì)應(yīng)的卯酉圈曲率半徑；e為基礎(chǔ)橢球第一偏心率。

大橢圓橢球與基礎(chǔ)橢球間的轉(zhuǎn)換模型如圖1所示，已知QMQ′為基礎(chǔ)橢球上某一線路附近的大橢圓，線路測(cè)區(qū)內(nèi)一點(diǎn)P(Bi，Li，Hi)的空間直角坐標(biāo)為P(Xi，Yi，Zi)。設(shè)γ=(m1，m2，m3)為大橢圓的法向量，根據(jù)空間平面的點(diǎn)法式方程得大橢圓所在的平面方程為

m1Xi+m2Yi+m3Zi=0

(2)

然后以大橢圓QMQ′為中央子午線建立大橢圓線橢球，則由式(2)得到關(guān)系式

(3)

(4)

由式(4)求得λ、μ，從而解出大橢圓的法向量之間的比例關(guān)系。

在大橢圓QMQ′中，Q點(diǎn)為大橢圓的極點(diǎn)，M點(diǎn)為大橢圓與基礎(chǔ)橢球赤道面的交點(diǎn)，則OM為長(zhǎng)半軸，OQ為短半軸，將橢圓繞OQ旋轉(zhuǎn)便可得到所需的大橢圓線橢球E1。作OU垂直O(jiān)Q和OM組成的大橢圓面，即可建立以O(shè)M為X1軸、OU為Y1軸、OQ為Z1軸的大橢圓線橢球的空間直角坐標(biāo)系O-X1Y1Z1。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換具體表現(xiàn)形式如圖1所示。

圖1 大橢圓橢球與基礎(chǔ)橢球轉(zhuǎn)換模型

1.2 求解大橢圓線橢球的幾何參數(shù)

從上文可知，Q點(diǎn)既是大橢圓的極點(diǎn)又是基礎(chǔ)橢球上的一點(diǎn)，因此它既滿足大橢圓的平面方程又滿足基礎(chǔ)橢球的方程。

當(dāng)Q為基礎(chǔ)橢球上的一點(diǎn)時(shí)，由大地測(cè)量學(xué)的知識(shí)可知，地球基礎(chǔ)橢球是經(jīng)過(guò)適當(dāng)選擇的旋轉(zhuǎn)橢球，方程為

(5)

當(dāng)Q點(diǎn)為大橢圓面的極點(diǎn)時(shí)，所滿足的方程為

m1X+m2Y+m3Z=0

(6)

結(jié)合式(5)、式(6)可得化簡(jiǎn)后的方程為

(1-e2+λ2)X2+1-e2+μ2Y2+2λμXY=

a2(1-e2)

(7)

因Q點(diǎn)為大橢圓的極點(diǎn)，即大橢圓的最高點(diǎn)，因此上述問(wèn)題可看作在一定的約束條件下求目標(biāo)函數(shù)Z=λX+μY的最值問(wèn)題,根據(jù)二次曲線不變量法可以判定出式(7)所代表的曲線為橢圓，且以式(7)為約束條件。

依據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)理論，上述問(wèn)題屬于一個(gè)非線性規(guī)劃模型，根據(jù)非線性規(guī)劃模型約束最優(yōu)化方法中的拉格朗日乘子法可以求出目標(biāo)函數(shù)Z最大值及取最大值時(shí)X和Y的值，即

(8)

在基礎(chǔ)橢球的空間幾何關(guān)系中，大橢圓面QMQ′是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的，那么以大橢圓面為中央子午線建立的大橢圓線橢球的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度與基礎(chǔ)橢球的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度是一致的，即a1=a,而短半軸b1的長(zhǎng)度可以根據(jù)Q點(diǎn)在基礎(chǔ)橢球中的三維坐標(biāo)值求出，即

(9)

大橢圓線橢球E1的第一偏心率平方為

(10)

大橢圓線橢球E1的第二偏心率平方為

(11)

通過(guò)上述公式即可求出大橢圓橢球的基本幾何參數(shù)，如長(zhǎng)半軸、短半軸及偏心率等，基本完成大橢圓橢球的構(gòu)建。

2 大橢圓橢球空間直角坐標(biāo)的計(jì)算

由空間解析幾何的知識(shí)可知，基礎(chǔ)橢球與大橢圓橢球空間直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換屬于一種正交變換，其變換矩陣可由大橢圓線上的點(diǎn)在E0中的緯度、經(jīng)度、大地方位角的方向余弦表示，然后利用大橢圓的法向量來(lái)表示經(jīng)緯度及大地方位角的方向余弦。因此可得到基礎(chǔ)橢球空間坐標(biāo)O-XYZ與大橢圓橢球坐標(biāo)O-X1Y1Z1間轉(zhuǎn)換關(guān)系式[1]為

(12)

將基礎(chǔ)橢球的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為大橢圓橢球的空間直角坐標(biāo)后，還需要將其轉(zhuǎn)換成大橢圓線橢球的大地坐標(biāo)。在解決大橢圓橢球空間坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問(wèn)題時(shí)，Bowring提出的改進(jìn)算法[8]是最佳的，對(duì)于任何位置上的點(diǎn)，計(jì)算的大地緯度精度均高于10-7，公式為

(13)

通過(guò)式(13)即可計(jì)算出點(diǎn)在大橢圓橢球的經(jīng)緯度及大地高。

3 變形大橢圓橢球(E2)的構(gòu)建

3.1 變形大橢圓橢球的大地坐標(biāo)

將基礎(chǔ)橢球旋轉(zhuǎn)建立大橢圓橢球E1后，還不能直接進(jìn)行高斯投影。因?yàn)楫?dāng)測(cè)區(qū)內(nèi)有的點(diǎn)在大橢圓橢球上的大地高過(guò)大時(shí)，直接進(jìn)行投影會(huì)導(dǎo)致投影的綜合變形過(guò)大，反而使得改進(jìn)的方法失去其在減小投影變形中的優(yōu)越性。因此，為了減小投影時(shí)的橫坐標(biāo)ym及點(diǎn)的大地高，通常要對(duì)大橢圓橢球進(jìn)行橢球變換。常見(jiàn)的橢球變換方法有膨脹法、平移法和變形法[9-10]。本文采用變形法對(duì)大橢圓橢球進(jìn)行變換得到變形大橢圓橢球E2。

對(duì)于大橢圓橢球的變換模型，一般采用廣義大地坐標(biāo)微分公式[7]進(jìn)行分析和研究。橢球變形法不會(huì)引起大地經(jīng)度的變化，但對(duì)大地緯度和大地高有較大的影響，且會(huì)使得橢球的長(zhǎng)軸半徑和扁率有一定的變化。由地球橢球基本幾何參數(shù)之間的關(guān)系可知：e2=2α-α2?de2=21-αdα，因此廣義大地坐標(biāo)微分公式可簡(jiǎn)化為

(14)

通過(guò)式(14)并結(jié)合點(diǎn)在E1中的大地坐標(biāo)即可求出點(diǎn)在變形大橢圓橢球E2上的大地坐標(biāo)。

3.2 變形大橢圓橢球向高斯面的投影變形

取一個(gè)圓柱(或橢圓柱)橫套在E2外面，并保證E2的中央子午線(即大橢圓線)與圓柱面(或橢圓柱面)相切，然后將圓柱面(橢圓柱面)展開成平面，即得到所需的E2的橫軸高斯投影，相對(duì)于基礎(chǔ)橢球E0來(lái)說(shuō)屬于斜軸高斯投影。

高斯投影屬于橫軸橢圓柱等角投影，在其投影過(guò)程中主要存在兩方面的長(zhǎng)度變形：一是將地面的觀測(cè)長(zhǎng)度歸算至參考橢球面上而產(chǎn)生的高程化改正；二是參考橢球面上的長(zhǎng)度投影到高斯面上而產(chǎn)生的投影長(zhǎng)度變形。投影過(guò)程中長(zhǎng)度的綜合變形[7,11-12]為

(15)

式中，R為歸算邊方向法截弧的曲率半徑；Hm為測(cè)區(qū)邊兩端點(diǎn)的平均大地高程；ym為測(cè)區(qū)邊投影后兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均值；S為參考橢球面上的長(zhǎng)度。

4 實(shí)例分析

現(xiàn)取某段高速鐵路的CPI控制點(diǎn)數(shù)據(jù)。該高鐵線路走向?yàn)闁|西方向，線路測(cè)區(qū)位于東經(jīng)109°38′—121°20′、北緯31°09′—32°02′。已知線路部分CPI控制點(diǎn)在WGS-84橢球中的空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)見(jiàn)表1。

表1 CPI在WGS-84中的大地坐標(biāo)

根據(jù)《高速鐵路工程測(cè)量規(guī)范》的內(nèi)容，測(cè)區(qū)內(nèi)控制網(wǎng)的投影長(zhǎng)度變形值在投影過(guò)程中不能超過(guò)10 mm/km。如果按照常規(guī)的高斯投影方法，則該段控制網(wǎng)至少要?jiǎng)澐譃?個(gè)投影帶才能滿足要求，投影帶劃分方法和投影過(guò)程中產(chǎn)生的綜合變形見(jiàn)表2。

從表2可以看出，采用傳統(tǒng)的高斯投影方法時(shí)，不僅要對(duì)測(cè)區(qū)進(jìn)行分帶處理，而且綜合長(zhǎng)度變形值也是勉強(qiáng)符合規(guī)范要求。

表2 投影帶劃分及其綜合變形

下面用大橢圓橢球的方法來(lái)解算分析同一問(wèn)題，具體步驟如下：

(2) 以CPI 127點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，令ΔH=12 m對(duì)大橢圓橢球進(jìn)行變形，解得長(zhǎng)半軸和第一偏心率的改變量為：da≈ΔH=12 m，de2=-0.000 000 005 752。從而可以求得控制點(diǎn)CPI 127—CPI178在變形大橢圓橢球E2的大地坐標(biāo)，然后對(duì)E2橢球進(jìn)行橫軸高斯投影，投影結(jié)果及其長(zhǎng)度變形結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 大橢圓變形橢球投影結(jié)果

5 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)實(shí)例對(duì)兩種投影方法的結(jié)果進(jìn)行分析比較后可以看出，大橢圓線橢球高斯投影的方法在投影時(shí)最大長(zhǎng)度變形值不超過(guò)5 mm/km，而傳統(tǒng)高斯投影法的長(zhǎng)度變形值在8～10 mm/km之間。因此，可以看出大橢圓線橢球高斯投影法在解決東西方向鐵路線路投影變形問(wèn)題時(shí)不僅避免了投影分帶，而且其精度要優(yōu)于傳統(tǒng)的高斯投影方法。

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