轉動動能與轉動慣量的初步研究

吳雨桐

(北京市第十三中學,北京 100009)

1 問題介紹和分析

1.1 背景

在高中物理的課程中,我學習到了動能這個概念,但主要是質點的平動問題,而我們的生活中有很多物體是在轉動的,他們應該也有自己的轉動能量,我很好奇他們的能量該如何求解。對于這樣一個轉動問題,簡化一下問題模型,考慮一個不計粗細的質量均勻分布的桿子,質量為m,長度為R,繞著桿子的一端(固定點)在平面內旋轉,轉動速度為ω恒定,我們研究一下這個桿子的能量,如圖1。

1.2 微元法推導

對于一個質點m,當它以勻速度v運動時,我們知道它的動能T如下：

而對于1.1中的桿子問題,難點在于桿子上的每一個點的速度并不一致,我們就需要用微元法的物理思想來分析這個問題。如圖2,首先,把這個桿子沿長度均勻分成N份,N非常大,以至于每一份的長度非常短,為Δx,則：

NΔx=R N→∞ Δx→0

因此對于每一小段長度為Δx的部分,我們可以把它當做質點,它的質量為：

建立一個在細桿上的一維x軸坐標軸,細桿固定端為坐標原點,細桿在x軸正方向。

整個細桿的總動能T應該是每一段長度為Δx的部分的動能的總和,即：

了解過定積分的相關知識后,我知道了在N→∞,Δx→0的極限情況下,上式中的

通過以上分析,求出了這個桿子在轉動時的能量,它與桿子質量的一次方,桿長的平方,轉速的平方成正比。

1.3 細桿的轉動慣量

在預先學習一些大學知識后,我們了解到1.2中的推導其實和大學的一個新的物理量很有關系,它就是轉動慣量,通過轉動慣量,可以更好的理解1.2中的推導。

轉動慣量是剛體繞軸轉動時慣性(回轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性)的量度,它用字母J表示。就像是之前學習的質量是對物體慣性的度量。對于質量為m的物體,沿原點O轉動時,轉動慣量的定義為：

其中r是每個質量元dm到原點O的距離,積分范圍是整個物體。

對于1.1問題中的桿子,我們再用微元法去計算一下上式,同1.2中假設,

由于

所以

1.4 轉動慣量的力學意義

在1.2中我們得到結論：

代入1.3中求解出細桿轉動慣量,得：

此時,細桿動能在形式上就與課本中寫的質點的動能公式一致了,分別于轉動慣量和慣性質量的一次方,線速度和角速度的二次方成正比,比例系數為0.5,我想這也應該是轉動慣量引入的意義,把平動問題過渡到轉動問題。同時,根據1.2和1.3中的微元法和微積分推導,我們也可以看出轉動慣量的數學定義的意義。

查閱資料我們可以看出質量和轉動慣量在平動與轉動問題中的不同形式,如表1。

這樣,利用轉動慣量,平動問題中的常用物理量都可以過渡到轉動問題中并保持形式不變。以后在求解其他幾何體的轉動問題時,我們就可以先求轉動慣量,不用再用1.2中的微元法從質點出發推導了。

表1 平動與轉動問題公式比較表

2 結語

本文通過對高中動能概念、微元法、圓周運動公式、定積分及部分大學知識的應用,求解出了細桿定軸轉動時的動能;同時,引出了轉動慣量這一物理量,做出比較和分析;最后對比平動問題和轉動問題中的力學量。

[1] 盧德馨.大學物理學[M].北京：高等教育出版社,1998.

[2] 孔玥.阻尼條件下轉動慣量測量技術的研究[D].哈爾濱工業大學,2013.

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