概率知識在日常生活中的應用

馮哲 佘緯

(1.武漢市洪山高級中學,湖北武漢 430074;2.中南民族大學,湖北武漢 430074)

1 引言

因為有了數學這個充滿了智慧的學科,我們可以更加合理而有序的安排生活,可以科學的預知各種事件發生的幾率,并為其發生做好準備[1-4]。在我們的生活中,數學無處不在,數學來源于生活,又用于生活。如果脫離了生活來學習數學,數學就會變得索然無味,如果學習數學之后不將其應用于生活,數學就僅僅變成了游戲[5]。

2 概率的確定方法

本節介紹確定概率古典方法和幾何方法[6,7]。

2.1 確定概率的古典方法

確定概率古典方法是概率論歷史上最先開始研究的情形。它簡單、直觀,不需要做大量重復試驗,而是在經驗事實的基礎上,對被考察事件的可能性進行邏輯分析后得出該事件的概率。古典方法的基本思想如下：

(1)所涉及的隨機現象只有有限個樣本點,譬如為 n個。(2)每個樣本點發生的可能性相等。(3)若事件 A含有k個樣本點,則事件 A的概率為：

古典方法是概率論發展初期確定概率的常用方法,故所得的概率又稱為古典概率.在古典方法中,求事件 A的概率歸結為計算 A中含有的樣本點的個數和 Ω中含有的樣本點的總數。所以在計算中經常用到排列組合工具。

2.2 確定概率的幾何方法

確定概率的幾何方法,其基本思想是：

(1)如果一個隨機現象的樣本空間 Ω充滿某個區域,其度量(長度、面積或體積等)大小可用SΩ表示。(2)任意一點落在度量相同的子區域內是等可能的,譬如在樣本空間 Ω中有一單位正方形 A和直角邊長為1與2的直角三角形 B,而點落在區域 A和區域 B是等可能的,因為這兩個區域面積相等(如圖1)。(3)若事件 A為 Ω中的某個子區域(如圖2),且其度量大小可用SA表示,則事件 A的概率為：

這個概率稱為幾何概率。求幾何概率的關鍵是對樣本空間 Ω和所求事件 A用圖形描述清楚(一般用平面或空間圖形)。然后計算出相關圖形的度量(一般為面積或體積)。

3 概率的應用舉例

本節通過列舉一些日常生活中的具體問題,分別說明古典概率和幾何概率在實際中的應用。

3.1 古典概率的應用舉例

生日問題—— n個人的生日全不相同的概率是多少？

首先來求解“盒子模型”,設有 n個球,每個球都等可能地被放到N個不同盒子中的任一個,每個盒子所放球數不限。試求恰好有 n個盒子各有一球的概率。

分析問題,可以分為兩步做：第一步從N個盒子中任取 n個盒子準備放球,共有種取法;第二步將 n個球放入選中的 n個盒子中,每個盒子各放1個球,共有n!種放法.所以根據乘法原理共有：

種放法。因此所求的概率為：

表面上看,盒子模型討論的是球和盒子問題,似乎是一種游戲,但實際上我們可以將這個模型應用到很多實際問題中。

下面我們用盒子模型來討論概率論歷史上頗為有名的“生日問題”,把 n個人看成是 n個球,將一年365天看成是N=365個盒子,則“ n個人的生日全不相同”就相當于“恰好有 n個盒子各有一球”,所以 n個人的生日全不相同的概率為：

經過近似計算可得不同的 n值對應的pn值如表1所示。

這個數值結果是令人吃驚的,因為許多人會認為,一年365天,30個人的生日各不相同的可能性是較大的,至少會大于1/2。甚至有人會認為,100個人的生日各不相同的可能性也是較大的。另外,表1的最后一行給出了對立事件“ n個人中至少有兩個人生日相同”的概率。當n=60時,1-pn=0.9922表明在60個人的群體中至少有兩個人生日相同的概率超過99%,這是出乎人們預料的。進一步計算可知,當n＞23時,有1-pn＞0.5。也就是說人數超過23的群體至少有兩個人生日相同的概率就已經超過了1/2。

表1 pn的近似值

3.2 幾何概率的應用舉例

會面問題——甲乙兩人約定在下午6時到7時之間在某處會面,并約定先到者應等候另一個人20分鐘,過時即可離去。求兩人能會面的概率。

在平面上建立xOy直角坐標系,以 x和 y分別表示甲、乙兩人達到約會地點的時間(以分鐘為單位)。因為甲、乙都是在0到60分鐘內等可能地到達,所以由等可能性知這是一個幾何概率問題。(x, y)的所有可能取值是邊長為60的正方形,其面積為SΩ=602。而事件 A=“兩人能夠會面”相當于

即圖3中的陰影部分,其面積為SA=602-402,由式(2)知

結果表明,按此規則約會,兩人能夠會面的概率不超過0.6。若把約定時間改為在下午6時到6時30分,其他不變,則兩人能會面的概率提高到0.8889。

4 結語

概率的定義及其確定方法是概率論的最基本問題之一。本文介紹了兩種確定概率的方法,闡述了各種方法的基本思想,通過舉例說明了各類方法在實際生活中的應用。通過應用實例發現,概率及概率問題與人們的生活息息相關,涉及到自然社會的各個層面和科學研究的各個領域,因此了解和掌握確定概率的方法及其應用實例是十分有用的。

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