基于解析法判別一維光子晶體負(fù)折射特性

劉 鶯 ，李 巖 （通訊作者）

（1西安石油大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710065）

（2西安石油大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710065）

1 引言

1968 年，前蘇聯(lián)科學(xué)家Veselago[1]首次提出了一種被稱為左手材料[2]（left-handed materials，LHMs）的新型人工電磁介質(zhì)材料，即當(dāng)電磁波在這種介質(zhì)中傳輸時(shí)，電磁波的電場矢量E、磁場矢量H和波矢量k之間服從左手螺旋定則。相反，當(dāng)電磁波在傳統(tǒng)材料中傳輸時(shí)，電磁波的電場矢量E、磁場矢量H和波矢量k之間服從右手螺旋定則。現(xiàn)在，通常稱傳統(tǒng)的電介質(zhì)材料為右手材料[3]（right-handed materials，RHMs）。Veselago研究發(fā)現(xiàn)，新型的左手材料存在有一些非常引人注目的現(xiàn)象，例如反常多普勒頻移、反常Cherenkov輻射等，特別是這種材料具有負(fù)折射率(Negative Refractive Index，NRI)特性，即當(dāng)電磁波由真空入射到左手介質(zhì)表面后，由于左手介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)，導(dǎo)致其折射率為負(fù)值，從而使得折射波與入射波位于界面法線的同一側(cè)，這種現(xiàn)象被稱為負(fù)折射現(xiàn)象。Veselago指出，利用負(fù)折射現(xiàn)象可以制備超透鏡、超棱鏡等新型的光學(xué)器件。1996年制作出了這種具有負(fù)折射特性的左手材料，從而使得這種新型人工電磁介質(zhì)的研究掀起了一場熱潮。

隨著LHMs介質(zhì)的研究，具有負(fù)折射特性的光子晶體也引起了科研工作者的廣泛關(guān)注。Dowling等人[4]用一維Kroning-Penney模型得到一維光子晶體的色散關(guān)系，預(yù)測一維光子晶體中也存在負(fù)折射效應(yīng)。黃弼勒等人[5]利用數(shù)值法研究了一維光子晶體的負(fù)折射特性。陳園園等人[6]利用電磁場的折射從理論上定義了一維光子晶體的負(fù)折射特性，并指出該特性對(duì)光束位移的控制以及在波分復(fù)用系統(tǒng)中將有很直接的應(yīng)用。在LHMs中，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)，因而其有效折射率為負(fù)；而在光子晶體中，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為正（即為RHMs），也會(huì)出現(xiàn)負(fù)折射這一奇妙的現(xiàn)象。但S.Foteinopoulou等人[7]指出，光子晶體中負(fù)折射現(xiàn)象的出現(xiàn)并不能保證其具有負(fù)的折射率或者符合左手行為，即在光子晶體中，可能存在符合左手行為的負(fù)折射現(xiàn)象（即n＜0且s k＜0），也可能存在不符合左手行為的負(fù)折射現(xiàn)象（即n＞0且s k＞0）。因此，在研究光子晶體中的負(fù)折射現(xiàn)象時(shí)，如何判定這種材料的左、右手行為成為了研究其負(fù)折射現(xiàn)象的前提。

本文利用解析法研究了電磁波在一維光子晶體中的傳播特性，分析電磁波在光子晶體中傳輸?shù)娜核俣群湍芰髅芏扰c波矢量之間的關(guān)系，推導(dǎo)出一維光子晶體中符合各向同性的左、右手行為的判定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)其折射現(xiàn)象進(jìn)行定量分析。

2 原理

2.1 一維光子晶體模型

如圖1所示，一維光子晶體由A和B兩種不同介電常數(shù)材料周期排列構(gòu)成。d1和d2分別為A、B介質(zhì)層的厚度，空間周期（即晶格常數(shù)）a=d1+d2，ε1，μ1和ε2，μ2分別為A、B兩種材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。頻率為ω的平面波從左往右以θ0角斜入射到光子晶體表面。

圖1 一維光子晶體結(jié)構(gòu)

2.2 群速度（vg），能流密度（S）與波矢量（k）之間的關(guān)系

式中，D為電位移矢量，B磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，E電場強(qiáng)度矢量，H磁場強(qiáng)度矢量。

當(dāng)平面波，即：

在上述對(duì)于線性、各向同性的介質(zhì)中傳輸時(shí)，

式中，μ和ε分別為磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。

則介質(zhì)中電磁場所滿足的Maxwell方程組在k空間的表示式為：

將（2-2-4）式代入能流S的定義式可得：

由上式可知，若介質(zhì)的電磁性質(zhì)滿足ε＜0且μ＜0，則k與S是反向的，即有k?S＝－1，此時(shí)介質(zhì)中的電磁場量E、H和k滿足左手螺旋關(guān)系，因而，這是滿足這種關(guān)系的材料被稱為左手材料。反之，若介質(zhì)中的電磁場量E、H和k滿足左手螺旋關(guān)系，則會(huì)使得介質(zhì)的電磁性質(zhì)滿足且 ，這必然導(dǎo)致k與S的反向，即有k?S＝－1。同樣，若介質(zhì)的電磁性質(zhì)滿足ε＞0且μ＞0，則k與S是同向的，即有k?S＝1，此時(shí)，介質(zhì)中的電磁場量E、H和k滿足右手螺旋關(guān)系，反之亦然

而由文獻(xiàn)[8]可知，在各向同性的均勻介質(zhì)中，窄頻電磁波的群速度方向與能流的方向一致。因此，利用關(guān)系式即可以判斷材料的左、右手性質(zhì)。

2.3 一維光子晶體中色散關(guān)系和群速度的計(jì)算

根據(jù)薄膜光學(xué)理論，光在每層介質(zhì)中的傳播特性可

由一個(gè)2×2的特征矩陣完全表示[9]。對(duì)于TE波，單層介質(zhì)的特征矩陣為：?

n0為真空折射率，θ0為光波的入射角，β和κ分別是波矢k的x分量和z分量，a是介質(zhì)層厚度，c是光速。

對(duì)于由n1和n2兩層介質(zhì)組成的一個(gè)基本周期單元（如圖1所示），其轉(zhuǎn)移特征矩陣為式（2-3-2）

其中，A，B，C，D為M的矩陣元。光波在介質(zhì)層A和介質(zhì)層B中傳播時(shí)，波矢k的z分量是折射角介質(zhì)層的折射率是

由Bloch定理，在周期性界面處場矢量滿足（k為Bloch波矢）：

由周期系統(tǒng)中的布洛赫定理，可得到一維光子晶體中的色散關(guān)系：

利用類似的步驟，可得TM波滿足的轉(zhuǎn)移特征矩陣：

并得到類似于式（2-3-6）的色散關(guān)系，其中

由此可知，利用（2-3-6）式，能夠得到任意光束以θ0角度斜入射到光子晶體中的色散關(guān)系，即能帶結(jié)構(gòu)。

在不考慮損耗的情況下，可以定義波矢量只有x和z方向的分量，即K=βx+Kz，因此，一維光子晶體中的群速度可以表示為[10]：

將（2-3-9）式分別帶入（2-3-9a）、（2-3-9b）中得（2-3-10a）、（2-3-10b）如下所示：

3 計(jì)算和討論

假定各向同性介質(zhì)的折射率是n，則波失k與角頻率ω具有關(guān)系k2=n2ω2/c2。對(duì)于給定一個(gè)頻率ω，在簡約布里淵區(qū)，介質(zhì)中傳播的平面波的波失k的集合是一個(gè)在k空間中的圓。能流垂直于等頻率面或等頻率曲線，且指向頻率增加的方向。因此，借助等頻率線圖，我們可以直接判斷的符號(hào)，并與本文的理論計(jì)算值相互比較。

3.1 一維光子晶體中右手行為的判定

首先選取的一維光子晶體是由Al和B兩種材料構(gòu)成的。其中，Al和B的在軟x射線波段的平均折射率分別為0.9814、0.9065，真空折射率為1.0，介質(zhì)層厚度比a為晶格常數(shù)，歸一化頻率當(dāng)光波正入射時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 一維光子晶體能帶圖

由圖2可以看出，該一維光子晶體在歸一化頻率為[0.518，0.542]的區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)很小的帶隙。并利用解析法計(jì)算該一維光子晶體的等頻率圓如圖3所示。由圖3可知，在歸一化頻率區(qū)間[0.05，0.3]內(nèi)，該一維光子晶體TE模的二維等頻率圓隨頻率的增加而擴(kuò)張，且為圓形，說明在該頻率范圍內(nèi)，介質(zhì)表現(xiàn)出各向同性的右手材料的電磁性質(zhì)。同時(shí)，圖4為在不同頻率下，單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積與入射角的關(guān)系，圖中的曲線為擬合曲線，圖例給出了擬合曲線的無單位頻率。由圖4可知，在此頻率范圍內(nèi)該一維光子晶體的單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積計(jì)算結(jié)果在數(shù)值上嚴(yán)格等于1。由此可知，本文理論計(jì)算結(jié)果與一維光子晶體中各向同性的右手行為的判別標(biāo)準(zhǔn)非常吻合。

圖3 TE模二維等頻率圓

圖4 單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積（）

3.2 一維光子晶體中左手行為的判定

我們利用文獻(xiàn)[11]的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并與文獻(xiàn)[11]中的負(fù)折射結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。取介質(zhì)層A為氧化鋁，介電常數(shù)為8.9，厚度為0.5cm；介質(zhì)層B為真空，真空折射率為1.0，厚度為0.5cm，晶格常數(shù)1.0cm，頻率單位采用GHz。光波正入射時(shí)的能帶如圖5所示，該計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的圖2（b）完全相同。由圖5可以看出，該一維光子晶體在[5.55GHz，8.9GHz]的頻率區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)帶隙。

圖5 一維光子晶體能帶圖

并利用解析法計(jì)算該一維光子晶體的等頻率圓如圖6所示。由圖6可知，該一維光子晶體在第二能帶的邊緣存在著一個(gè)TM 模的負(fù)折射區(qū)。且在頻率區(qū)間[9.5GHz，12.0GHz]內(nèi)，該一維光子晶體TM模的二維等頻率圓隨頻率的增加而收縮，近似于一個(gè)橢圓，這與文獻(xiàn)[11]的圖2（c）結(jié)果完全一致，說明其在該頻率范圍內(nèi)是近似于各向同性的左手負(fù)折射區(qū)。同時(shí)，圖7為在不同頻率下，單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積與入射角的關(guān)系，圖中的曲線為擬合曲線，圖例給出了擬合曲線的頻率（GHz）。由圖7可知，在此頻率范圍內(nèi)該一維光子晶體的單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積計(jì)算結(jié)果在數(shù)值-1附近小幅波動(dòng)，波動(dòng)范圍為（0.000～0.218）。

由此可知，本文的理論計(jì)算結(jié)果與一維光子晶體中各向同性的左手行為的判別標(biāo)準(zhǔn)基本吻合。

圖6 TM模二維等頻率圓

圖7 單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積（）

4 結(jié)語

利用理論解析法研究了一維光子晶體中群速度、能流密度與波矢量之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出了一維光子晶體中各向同性的右手行為和左手行為的判別標(biāo)準(zhǔn)。由此本文得出，在一維光子晶體中，當(dāng)光波的單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積為1時(shí)，表現(xiàn)為各向同性的右手行為；當(dāng)光波的單位群速度與單位波矢的點(diǎn)積為-1時(shí)，表現(xiàn)為各向同性的左手行為。對(duì)于一維光子晶體負(fù)折射特性判別標(biāo)準(zhǔn)的研究，為其在透鏡和棱鏡制備等方面打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也為其進(jìn)一步的實(shí)際應(yīng)用提供了良好的理論指導(dǎo)。

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