淺談導數的幾種應用與思路

董斯宇

摘要：導數在幾種問題，尤其在求函數的極值、單調性等方面，求解非常方便、簡潔。同時，在不等式求解方面，將不等式轉換為函數，進而求函數與零的關系更是一個求解不等式問題的不二法門。在求解最優化問題中，常常將導數思想融入求解，如拉格朗日乘數法的使用。本文試圖以導數在函數極值、不等式中的綜合應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

關鍵詞：導數 極值 不等式 拉格朗日乘數法

通常來說，導數可以從不同的角度靈活考察知識的綜合運用和解決數學問題的能力。與此同時，導數與不等式、數列、函數等知識的交集命題，應用數學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文試圖以導數在函數極值、不等式中的綜合應用與拉格朗日乘數法為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

1導數在求函數極值中的應用

使用Matlab軟件繪制出函數的圖像，并在圖中標注出極小值如下圖所示，從圖中可以看出繪圖結果與計算結果吻合性較好。

2導數在不等式證明中的應用

不等式是目前來說高中數學里面學生較為頭疼的一個難點，不等式證明不僅要求證明者要有非常好的靈活運用已學的知識的能力，還要有對不等式模型的一種感知，即看到題目知道考的是哪一類不等式。通過各種模型式子的變形，或者就已知式子將不等式經過合理的變形，最后通過層層推導得出結論。不等式證明需要證明者有極強的邏輯性。問題分析：對導數證明不等式問題而言，第一步通常是求解原方程或把不等式看作一個新的函數，求解其一階導數，再根據一階導數的復雜性，以判斷是否需要求二階導數。求完一階導數之后，根據題目給的條件，把條件帶入一階導數，通常可以直接得出結論，若不行則必須從二階導數入手。但是需要提醒的是這類函數求最值問題需要特別注意定義域，定義域可能會影響參數的取值范圍。

3拉格朗日乘數法

4總結

本文著重討論了在求函數極值，不等式問題以及拉格朗日乘數法中導數的應用，事實上，導數的應用范圍何其之廣，本文提到的只是鳳毛翎角，例如在解析幾何與立體幾何中以及在向量中，都具有重要的應用。總之，導數作為大學課程《高等數學》中微積分的學習基礎，在新課標的課程大綱中，將導數移至高中數學的學習，雖然，高中數學課程的學習內容增加了，但由于導數本身具有極強的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實際運用性，是高中數學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數是在各類考試中重點的考試內容，霸占非常大的分數比例，一般試卷壓軸題出導數的題目概率及其之高。因此，在學習導數過程中要注意理解導數的一些常規運用并且理解導數的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數的運用，才能在考試中發揮出理想的實力。

參考文獻：

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