在操作中建模，在多元表征中向除法本質更深處尋覓
——“除法的初步認識”一課的教學例談

江 漫

（蘇州外國語學校）

《義務教育數學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學習數學的興趣和應用意識。”建模思想是學生應該具有的數學素養。數學建模是一個復雜的過程。它需要小學數學教師引導學生經歷直觀操作，借助形象事物的表象，使學生從實際問題中提煉出數學模型，從而培養數學思維能力。

二年級學生的認知處于具體運算階段，除法概念對孩子來說是一個比較抽象的數學模型。怎樣讓孩子深刻地理解和建立這一數學模型，如何借助除法概念的多元表征來深入地理解除法本質？筆者以下面的教學片段進行分析。

一、建立按每幾個一份平均分的除法模型

1.情境導入

談話：秋天到了，小朋友去秋游了。瞧，他們在坐纜車呢！從圖中你能獲得哪些數學信息？

出示文字，啟發思考：6個小朋友，每車坐2人，要坐（ ）車？請用身邊的學具擺一擺、分一分。

2.動手操作

交流，黑板上板演：6根小棒，每2根1份，可以分成3份。

提問：你能把剛才擺小棒的過程用簡單的方式表示出來嗎？

投影展示各種表示方法。

A.畫圖

B.算式

從實物圖開始交流，請學生介紹作品的意思，其他學生判斷它是否符合平均分的含義。

比較三種形式，突出除法算式優點。

3.認識除法算式

介紹：乘法算式要用乘號，除法算式就要用除號。除號就表示平均分。一共有6個小朋友，6寫在除號的前面，每車坐2人，2寫在除號的后面，可以坐3車，3寫在等號的后面。

提問：你會讀這個除法算式嗎？強調除號在算式中讀作除以。

介紹除法算式各部分名稱。

提問：每個算式都有它的含義，你能結合這個題目，說說這個算式的含義嗎？

交流：一共6個小朋友，每2人坐一車，可以分成3車。

師：平均分是除法算式的指揮棒，我們要根據平均分列除法算式。

提問：你覺得用這個算式表示剛剛平均分的過程和結果怎么樣？

師：除法算式是一種數學的語言，用它來描述平均分的現象會比較簡潔。數學家也是經歷了很多年的探索，直到300多年前才創造出用這樣的除法算式表示平均分。

介紹除號歷史：300多年前，瑞士數學家用一條橫線將兩個圓點分開表示除。

4.練習題

談話：小熊媽媽要給小熊分蘋果了，我們來看看吧！

讀題：有12個蘋果，每只小熊分3個，可以分給幾只小熊？

師：可以在圖中圈一圈，數一數，再根據平均分的結果填寫算式。

你能說說這個算式表示什么含義嗎？

總結：像這樣把一些物體，按每幾個一份地分，求可以分成幾份的問題，可以列除法算式。

二、建立按平均分成幾份平均分的除法模型

1.談話：一群愛勞動的小朋友去植樹了，我們去看看吧！出示文字，讀題。

2.動手操作：請用小棒擺一擺。

指出：像這樣把6個小朋友平均分成3組，求每組有幾人，這種平均分的過程也可以列除法算式。

追問：結合題目，說說算式的含義。

三、比較兩種類型的除法模型

1.提問：比一比坐纜車題和植樹題，有什么共同點和不同點？

共同點：都是平均分，都要列除法算式。

不同點：平均分的方式不一樣，第一種是按每幾個一份地分，第二種是按平均分成幾份，求每組有幾人。平均分的方式不一樣，列出的除法算式也就不一樣。

師：平均分是除法算式的指揮棒，是按每2個一份地分，那就除以2，是平均分成3份，那就除以3。怎樣平均分的，就怎么列除法算式。

總結：把一些物體平均分，無論是按每幾個一份地分，求分成了多少份，還是平均分成幾份，求每份是多少，都可以列除法計算。

2.練習

談話：老師在給小朋友分筆，我們來看看。請人讀題。

要求：可以把8支筆畫在數學書上，分一分，再填寫算式。

交流算式，說算式含義。

反思：

1.經歷二次數學化過程，自主建構除法模型

張奠宙教授認為：應用題教學的本質是建模。而四則運算模型是解決應用題的基本模型。教學中，我們通常把學生解決應用題的失誤歸結為數量關系不清。學生對于數量關系不清的根源是對于四則運算的問題結構和模型識別不敏銳。而該能力的培養關鍵是在學生頭腦中建立清晰的模型，加強對模型的理解。

學生從具體情境中找數學信息和數學問題，再借助學具操作得出平均分的結果，這是一個將原題內容簡化的過程，是初次數學化的過程。再將操作的過程用一個簡單的方式表示出來，這是第二次數學化的過程。

在畫一畫和算式比較中，學生自然而然選擇用算式，因為算式比較簡單。因為前面有學習乘法的基礎，所以有學生想到用求乘法未知數的方法，這也為后面口訣求商埋下伏筆。算式和畫圖比較中，學生自然而然選擇用算式表示平均分的過程和結果，體會除法算式的簡潔性，引發學生學習除法的認知需求。

2.引入除法算式歷史，激發學生學習數學的興趣

新課標強調教師在教學過程中不僅要重視過程與結果，還要重視學生的情感與態度。學生在探索完平均分過程和結果的表示方式后，適時地引入數學家創造除號的歷史。數學史在激發學生學習除法的興趣上就有很大的幫助了，更能讓孩子體會數學是人類文明的一個重要組成部分。

3.運用除法概念的多元表征，加強除法模型的聯結

除法算式表示兩種平均分的過程和結果，是一種抽象、簡潔的數學語言。要讓這種數學語言在學生的頭腦中產生意義，需要大量具體而又生動的實例的支撐。學生經歷了兩種情形除法模型的建構，到兩種情形的綜合比較，形成除法的一般模型。最后在一道算式中，充分地體現孩子對兩種模型的理解，溝通兩種模型的聯系。