怎樣“圈”才正確？
——由一道試題的爭論而引發的思索

李 新

（江蘇省南京市金陵小學）

不久前，在流水批改一年級試卷時，遇到了這樣一道題：

梨有（ ）個，蘋果有（ ）個，蘋果比梨多（ ）個。將多的部分圈起來。

學生在完成“將多的部分圈起來”時，呈現出了兩種解答，情況如下：

第一種：

第二種：

第一種圈法無可厚非，是正確的?？墒堑诙N圈法卻引起了閱卷老師評判的分歧。一部分老師認為這種圈法是錯誤的，應當將多出的部分圈一個圈。另一部分老師則認為“將多的部分圈起來”只要圈出了多的部分就可以，大圈小圈沒必要分得這么清，其實都一樣。認為圈法錯誤的老師還指出，類似這樣的題目，書上都是圈為一個大圈的，沒有出現過小圈，所以這樣分開圈不正確。認為圈法正確的老師反駁道：書上的題目只證明了第一種圈法正確，并不能說明第二種圈法錯誤。兩種圈法都按要求圈出了多的部分，應靈活批改，不應過分教條、死板，可以評為正確。還有年青教師表示，在平時的作業中就存在這樣的現象，覺得沒什么不妥，所以沒有特別強調過。此刻，兩種意見僵持不下。

我聽了雙方老師的爭論，內心更傾向于圈法錯誤的評判，但是這種圈法究竟錯在哪兒呢？如果沒有確鑿的理由，是很難讓老師信服的。于是，我打開一年級教材細細思索起來。教材安排類似練習的用意何在呢？這應該是在為后面的“兩數相差多少的實際問題”做鋪墊吧！求兩數相差多少是用減法來計算的。而我們所教給學生的減法含義是從總數中去掉一部分，求另一部分，可以用減法計算。兩數相差多少之所以能用減法計算是因為，較大的數被看作了兩個部分。一個部分是與較小的數相同的部分，另一個部分是比較小的數多的部分。去掉與較小的數相同的部分，剩下的就是比較小的數多的部分，也就是兩數所相差的。就這道試題來說，蘋果在與梨做比較時，10個蘋果其實就被分成了兩部分，一部分是與梨同樣多的6個，另一部分是比梨多出的4個。只有理清了兩部分之間的關系，才能進一步列出減法算式，求出梨與蘋果相差多少。多出的4個蘋果應同屬一個部分，即比梨多的部分。所以從這個意義上理解，更加規范的圈法應該是用一個大圈把它們圈在一起，表示這是多出的一個部分。而用小圈則會帶來歧義，被認為多出來的蘋果不是同一個部分，而是4個各自為陣的個體。這勢必會影響到學生后續的數學學習。我將這些想法告訴了老師，得到了大家的認可與支持。

事后，我感覺這個問題還應該找到相應的科學依據。所以我查閱了《數學辭海（第一卷）》（中國科學技術出版社，2002第37頁）減法的定義：減法是數學中的基本運算之一。已知兩個數a與b，如果存在一個數c，能滿足b+c=a，那么c稱為a和b的差（且差是唯一的）。求兩個數的差的運算稱為減法，記為a-b=c，讀作a減b等于c，a稱為被減數，b稱為減數，符號“-”稱為減號……蘋果比梨多出的4個，就是數c，是10與6的差。差4其實就是一個集合?！缎W教師實用數學辭典》（北京科學技術出版社，中國三峽出版社，2002第22頁）指出：在數物體個數的過程中，我們數出的1、2、3、4、5…都叫做自然數，從集合的觀點看，每一個自然數是一類等價的非空有限集合的標記。它表示非空有限集合中的元素的個數。例如，把兩個蘋果作為一個集合，把一個人的兩個耳朵作為一個集合，這兩個集合是等價集合。又如，把五本書作為一個集合，把人的一只手上的手指作為一個集合，這兩個集合也是等價集合。前者等價集合的標記是“2”，后者等價集合的標記是“5”。它們都是自然數。也就是說只有將多出來的4個蘋果作為一個集合時，可以用自然數4來標記。當填出蘋果比梨多4個時，就已經把這4個蘋果作為一個集合了。所以將4個蘋果圈在一起，應該是更加規范、準確的解答。

這是一個意外帶來的思考，讓我收獲了一個“真問題—真討論—真發現”的過程。同時也讓我深切地體會到對待數學教學應存的嚴謹、科學的態度。

［1］劉希棟.反思為學生數學思維搭建創新支點：反思性數學學習案例［J］.數學教學研究，2007（11）.

［2］韓龍淑.數學啟發式教學研究［D］.南京師范大學，2007.

［3］吳利敏.反思性教學的評價研究［D］.云南師范大學，2004.