例談圖表法在不等式組應用題的運用

黃英俊 翟翠莉

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）10-069-1

在解決不等式組的實際應用問題時，學生對題目中隱含不等關系的問題卻不知所措，很難找到突破口，分析其難點有二，一是無法理解題目中的關鍵語句，不知是利用方程還是不等式來解決;二是不能夠準確分析量與量之間的內在關系. 基于此，教學中，給予學生充分討論，教師引導點撥，利用圖表的直觀性、清晰性，能夠幫助學生發展數學學習的思維力.下面舉例進行說明：

題1：某校為了獎勵在數學競賽中獲獎的學生，買了若干本課外讀物準備獎勵給他們，如果每人獎4本，則剩余8本;如果每人獎5本，則最后一人得到了課外讀物但不足3本.求出該校的獲獎人數及所買課外讀物的本數.

討論：（1）所買課外讀物的本數與獲獎人數之間有什么關系？【設該校的獲獎人數為x人，則課外讀物總數為4x+8.】

（2）怎樣理解最后一人得到了課外讀物但不足3本？【這就是說最后一人得到的書本數大于0且小于3，這樣就可以轉化為不等式組的問題.】

（3）如何用x表示最后一人得到的書本數？為了更直觀分析此問題，我們采用圖示法：

筆記本總數（4x+8）

解答：設該校的獲獎人數為x人，由題意得，

0<4x+8-5（x-1）<3，解得10

∵x取正整數，∴x=11或x=12;

當x=11時，4x+8=52;

當x=12時，4x+8=56.

答：該校有11人獲獎，買筆記本是52本;

或該校有12人獲獎，買筆記本是56本.

題2：運行程序如圖所示，規定：從“輸入一個值x”到“結果是否>95”為一次程序操作，如果程序操作進行了三次才停止，那么x的取值范圍是（ ）.

A.x≥11? B.11≤x<23

C.11

討論：（1）如何理解操作三次才停止？【仔細分析可知，輸入x后，第一次不停止，知其結果小于等于95;再輸入第二次也不停止，得結果也是小于等于95;到了第三次停止了，說明此時結果大于95，這樣問題轉化為不等式組問題.】

（2）如何列出不等式組？，為了使數據之間更加清楚，我們采用列表法進行：

輸入輸出

第1次x2x+1

第2次2x+12（2x+1）+1=4x+3

第3次4x+32（4x+3）+1=8x+7

解答：由題意，得：

解得：11

則x的取值范圍是11

題3：某市某化工廠，現有A種原料52千克，B種原料64千克，現用這些原料生產甲、乙兩種產品共20件.已知生產1件甲種產品需要A種原料3千克，B種原料2千克;生產1件乙種產品需要A種原料2千克，B種原料4千克，則生產方案的種數為（ ）.

A.4??? B.5??? C.6??? D.7

討論：（1）條件“現有A種原料52千克，B種原料64千克”表達了什么含義？【生產甲的A種原料+生產乙的A種原料≤52，生產甲的B種原料+生產乙的B種原料≤64，問題就可以轉化為不等式組問題.】

（2）如何列出不等式組？考慮到所涉及的量較多，我們可采用列表法分析：

A種原料B種原料

甲x件3x2x

乙（20- x）件2（20- x）4（20- x）

原料的和3x+2（20- x）2x+4（20- x）

解答：設生產甲產品x件，則乙產品（20-x）件，由題意得：

解得：8≤x≤12，

∵x為正整數，

∴x =8，9，10，11，12.

∴共有5種生產方案，故選B.

教學啟示

1.理解學生是提高課堂教學有效性的基本要素之一.對于不等式組的應用題，發現學生對不等關系較明顯的問題能較容易地列不等式組求解，也初步掌握解題的基本步驟“兩步法”（找不等關系、列不等式組）.但是，學生對題目中隱含不等關系的問題有的束手無策，也有的錯漏百出. 教師密切關注了學生的實際情況，精準分析了學生的思維障礙，精心設置了針對性的問題訓練，設計了“不足問題”、“程序問題”、“制作產品”等三類典型問題，這樣，緊扣住準確的學情，有效地把握教學預設與生成的平衡.

2.展現解題思維的過程是提高學生解題能力的核心途徑.美國著名數學家、教育家波利亞指出：“掌握數學意味著社么？那就是善于解題”.在千變萬化的問題中，學生要能夠主動思考分析問題，直至順利地解題.教學中教師將關鍵環節設計成系列問題供學生討論，形成生生、師生間的互動氛圍，不急于“告知說破”，而給學生搭建認知沖突，調動學生火熱地思考，讓學生的思維活躍起來，教師著力在思維處加以引導與點撥，旨在呈現怎樣想出來的思考過程，把學生的思維活動逐步引向縱深，真正提升解題的能力.

3.圖表法列不等式組解應用題，滲透了數形結合方法，輔助“形”解數，幫助學生迅速地找到已知量與未知量之間的關系.我們通過圖表法分析的過程，實則提供一種探索性、研究性的學習平臺，培養學生利用信息、處理信息，最終問題得以解決，從而增強學生綜合分析問題的能力;學生也從冰冷的數學問題感受到了無可替代的快感——原來學習數學這么有成就感.

[參考文獻]

[1]劉金英.理解數額學課堂教學的三要素[J].中學數學教學參考，2010（7）：2-3.

[2]李祥疊.數學思想在解題中的指導作用及其教學反思[J].中小學數學，2015（1）：5-6.

（作者單位：廣西師大附屬外國語學校，廣西 桂林 541000）