油滴實(shí)驗(yàn)計(jì)算元電荷的簡明方法

朱鶴年，郭旭波，常 纓，朱美紅，肖志剛

(清華大學(xué) 物理系，北京 100084)

測元電荷的油滴實(shí)驗(yàn)在我國高校普遍開設(shè)以來，已有數(shù)十篇論文討論了計(jì)算元電荷e的不同方法. 從實(shí)驗(yàn)測得的若干組分列的油滴電荷量Qi出發(fā)，多數(shù)文獻(xiàn)都不用e值已知的前提來驗(yàn)證，而從探索性實(shí)驗(yàn)的思路給出了不同算法. 文獻(xiàn)[1]討論較詳細(xì)，文獻(xiàn)[2]提出了要用過原點(diǎn)直線的擬合模型，清華早期還曾引導(dǎo)學(xué)生用聚類分析法來求解e. 本文提出了基于最小一乘法(記作LAD)[3]過原點(diǎn)直線擬合模型，兼顧不確定度架構(gòu)與經(jīng)典架構(gòu)采用不確定度合成的綜合技術(shù)方法的擴(kuò)展算式[4-5]，并給出了簡易的填數(shù)式Excel工作表.

等效采用ISO 1000標(biāo)準(zhǔn)的《量和單位 GB3100-3102》國標(biāo)中，GB 3102.9-93的詞條9-6中，定義“元電荷”e是“一個(gè)質(zhì)子的電荷”，指明“一個(gè)電子的電荷等于-e”，給出標(biāo)準(zhǔn)值e=1.622 177 33(49)×10-19C.

1 求e的“最佳”估值的計(jì)算步驟

設(shè)不同油滴電荷量測得值Qi對(duì)應(yīng)的電子數(shù)為ni，Qi的誤差為εi=Qi-eni. 本文中Qi均指絕對(duì)值，下文中電荷量及同量綱量的單位均略寫，均為10-19C. 模型方程取以Qi為因變量的過原點(diǎn)的直線

Qi=eni.

(1)

1.1 數(shù)據(jù)整理

1.2 最小一乘法(LAD)的數(shù)值解法

(2)

式中ni=int (Qi/ej+0.49)是Qi的電子數(shù).

1.3 基于LAD的元電荷初值求解判據(jù)

(3)

的ej值.

1.4 用LAD求元電荷估值

當(dāng)數(shù)據(jù)量過少，或Qi的極大值過大，或部分Qi含有顯著的統(tǒng)計(jì)離群值時(shí)，1.1節(jié)中輸入K=6常需改為較小的整數(shù)才能得合理解，這樣就難體現(xiàn)“最大公約數(shù)”的探索性思路. 有時(shí)還需剔除Qi很大的值，或謹(jǐn)慎判刪統(tǒng)計(jì)離群值，才能有合理解. 更好的辦法是補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)測量增加數(shù)據(jù)量. 這些不宜作基本教學(xué)要求，而宜由教師靈活掌控.

1.5 元電荷的標(biāo)準(zhǔn)差與A類不確定度

借鑒最小二乘法(記作LSM)擬合過原點(diǎn)直線的算法[4]，因變量Qi的標(biāo)準(zhǔn)差為

(4)

(5)

(6)

(7)

(7)式是tsQ顯著小于UQ,B時(shí)偏保守的擴(kuò)展不確定度的擴(kuò)展算法結(jié)果.

2 對(duì)中文文獻(xiàn)數(shù)據(jù)的匯總計(jì)算與分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

查到中國知網(wǎng)上近30年來20多篇含實(shí)測數(shù)據(jù)的論文，除幾篇引或改自他人數(shù)據(jù)、1篇含多個(gè)統(tǒng)計(jì)離群值之外，其余文獻(xiàn)[1]和[6]～[21]共17篇，包含19組164個(gè)Qi的數(shù)據(jù)，全錄于表1中. 文獻(xiàn)[1]曾是影響面廣的教研著作. 在東華大學(xué)浦天舒老師同意下表1還引用了內(nèi)部通訊中的17個(gè)數(shù)據(jù)，簡記為[浦]，湊成共20組181個(gè)Qi. 表1中兩文獻(xiàn)標(biāo)號(hào)后有*號(hào)的數(shù)組表示源自該文獻(xiàn)所引的密立根早期文獻(xiàn)的數(shù)據(jù).

表1 20組181個(gè)Qi數(shù)據(jù)

2.2 概 述

圖(實(shí)線)和sQ/ej(虛線)隨ej改變而變化的曲線

文獻(xiàn)n＾e|vi|sQs＾eU??＾e|＾e-e|全部1811．6040．2050．2870．0020．0190．002[1]61．5330．1010．1450．0100．0670．069[6]81．5780．0940．1520．0210．1890．024[7]101．6020．1030．1620．0110．1070．000[8]71．6230．0300．0500．0020．0550．021[9]61．5500．0550．0930．0100．1170．052[10]71．6240．0300．0450．0060．1320．022[11]101．5700．0670．0820．0050．0760．032[12]91．5830．1050．1380．0060．0530．020[13]61．6250．0560．0720．0030．0430．023[13?]101．6420．0380．0650．0020．0420．040[14]101．6100．0500．0900．0090．1140．008[15]61．6010．0800．1190．0090．0920．001[16]81．6640．0750．0970．0110．1400．062[17]81．6360．0790．1060．0020．0200．033[18]91．6030．1320．2740．0140．0700．001[19]111．6150．1500．2300．0150．0950．013[20]121．5810．2200．3060．0080．0500．022[20?]121．6040．2240．2760．0040．0250．002[21]101．6390．2910．4020．0230．1290．037[浦]171．6020．2490．3530．0130．0830．000

對(duì)20組實(shí)驗(yàn)Qi分別計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：組號(hào)[20*]的12個(gè)Qi有5個(gè)的ni>30，電荷量7.04與53.61顯著異常，剔除兩數(shù)后再輸入K=3或4方能得正確解. 組號(hào)[20]的數(shù)中1.38異常，需輸入K=3方能得正確解. 組號(hào)[21]的數(shù)組也需要輸入K=3求解. 其余17組的預(yù)先設(shè)定值K=6均不需變，能體現(xiàn)找“最大公約數(shù)”求解的探索性思路.

2.3 殘差分析

對(duì)181個(gè)殘差數(shù)據(jù)的分析結(jié)果見表3. 高斯分布μ4=3.0，均勻分布μ4=1.8.

表3 181個(gè)殘差數(shù)據(jù)的分析表

3 實(shí)驗(yàn)算法取決于測量實(shí)際與統(tǒng)計(jì)學(xué)

測量數(shù)據(jù)處理方法取決于實(shí)驗(yàn)實(shí)際與統(tǒng)計(jì)學(xué)[4]. 以往的教學(xué)在推介理論統(tǒng)計(jì)學(xué)經(jīng)典方法時(shí)，大多不講或不重視這些方法的適用前提或假定，忽視了不少實(shí)驗(yàn)中這些前提或假定難以成立的客觀事實(shí). 雖然多數(shù)實(shí)驗(yàn)宜不要求評(píng)定或完整評(píng)定不確定度，套用傳統(tǒng)方法能得出有些粗略的結(jié)果，但在實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究中，或在有提高性的探索性(或創(chuàng)造性)的實(shí)踐環(huán)節(jié)中，必須引導(dǎo)學(xué)生重視包括數(shù)學(xué)嚴(yán)密性在內(nèi)的邏輯自洽性，加深對(duì)科學(xué)本質(zhì)的理解[4].

3.1 過原點(diǎn)的直線模型

本文用過原點(diǎn)模型Qi=eni，依據(jù)的是實(shí)驗(yàn)事實(shí). 用Qi=b0+eni對(duì)181組數(shù)作LSM計(jì)算，得b0±tsb0=0.043±0.060，si=0.003 1. 模型Qi=eni的LSM斜率標(biāo)準(zhǔn)差為si=0.002 184 8，與上文最小一乘的0.002 188 1相差甚微. 筆者早年查過數(shù)十個(gè)網(wǎng)站的緒論課教案，多數(shù)將伏安法Vi=RIi模型寫成y=b0+b1x型，均宜改之.

3.2 用最小一乘法作判據(jù)基礎(chǔ)

(8)

3.3 用標(biāo)準(zhǔn)差的調(diào)和算式的原因簡述

統(tǒng)計(jì)學(xué)中LSM回歸的前提是：因變量的誤差是獨(dú)立、同分布隨機(jī)變量. 獨(dú)立、同分布假定也稱高斯-馬爾科夫假定(G-M假定)[4]. 在G-M假定下的理論統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是完美的公理化方法. 文獻(xiàn)[4]中強(qiáng)調(diào)：多組散布數(shù)據(jù)直線擬合固然可減小隨機(jī)誤差的影響，但擬合的主要目的是減小具有隨機(jī)性的未定系差影響，體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的“隨機(jī)化”原則. 文獻(xiàn)[5]中還用反證法說明了G-M假定在LSM直線擬合中的矛盾： 如果因變量yi都只有總體標(biāo)準(zhǔn)差為σv的隨機(jī)誤差, 則不必測散布數(shù)據(jù)再擬合，只要在首、尾兩點(diǎn)即xmin和xmax處各測n/2次, 即使斜率標(biāo)準(zhǔn)差

n組等距數(shù)據(jù)LSM擬的結(jié)果

教學(xué)用填數(shù)式Excel工作表“基于最小一乘法的由油滴電荷量求元電荷的THM程序”已存放在www.wlsyzz.com/doku.php?id=wenzhang:1802:zhn網(wǎng)站，THM意為技術(shù)綜合法. Office軟件在清華大學(xué)內(nèi)教學(xué)用已被授權(quán).

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