移動坐標下采面煤壁瓦斯涌出模型及無因次分析

王 浩 周天白 宋奕澎 劉 鵬

(中國礦業大學(北京)資源與安全工程學院，北京市海淀區，100083)

采煤工作面是煤礦井下最主要的工作場所之一，也是瓦斯事故隱患最為集中的地點之一。煤壁瓦斯涌出是采面瓦斯涌出的重要組成部分，工作面向前推進時，新鮮煤壁不斷暴露，瓦斯涌出速度快、涌出量大，極易造成瓦斯積聚，嚴重威脅安全開采。因此，掌握煤壁瓦斯涌出規律，對準確預測采煤工作面瓦斯涌出，指導礦井通風設計及制定瓦斯防治措施有重要的現實意義。

采煤工作面現場條件復雜多變，煤壁周期性前移，瓦斯涌出具有非穩態特性，且不同來源的瓦斯在采動空間相互摻混，要對其進行分別測定極其困難。而采面煤壁瓦斯涌出的相似模擬實驗又有許多問題需要解決，尤其是對工作面循環推進的模擬更是難以實現。因此，在缺乏有效研究手段的情況下，運用數值模擬研究煤壁瓦斯涌出成為一種必然趨勢。現階段有關瓦斯涌出的數值模擬大多基于靜止煤壁，對于移動煤壁的研究則鮮見報道，而采面煤壁是循環推進的，其瓦斯涌出滲流邊界也周期性前移，與靜止煤壁瓦斯涌出存在較大差異。顯然，在計算采煤工作面煤壁瓦斯涌出時，必須針對移動煤壁開展研究。此外，研究采煤工作面煤壁瓦斯壓力、含量分布，可為計算工作面采落煤瓦斯涌出提供初始條件。為此，本文根據采煤工作面不斷推進的特點，建立了移動坐標下采面煤壁瓦斯涌出模型，通過無因次分析和數值解算，研究采煤工作面勻速推進下煤壁瓦斯涌出的一般規律，旨在為工作面瓦斯涌出預測提供理論依據。

1 移動坐標下采面煤壁瓦斯涌出數學模型

采面煤壁瓦斯涌出是受瓦斯地質條件、生產工序等多種因素影響的復雜過程，為抓住其主要矛盾及簡化求解，現假定：煤體為連續性介質；煤層瓦斯運移過程為等溫過程，瓦斯流動符合達西定律；游離瓦斯可視為理想氣體，瓦斯吸附量符合朗格繆爾方程；將采面煤壁瓦斯涌出視為垂直煤壁的單向流動。

根據質量守恒定律，單位時間內采面煤壁瓦斯流場任一點瓦斯的變化量都等于流入該點瓦斯的凈量，再結合達西定律和理想氣體狀態方程，得：

(1)

式中：W——單位質量煤體瓦斯含量，m3/t；

τ——時間，d；

ρ——煤的視密度，t/m3；

λ——煤層透氣性系數，m2/(MPa2·d)；

P——煤層瓦斯壓力的平方，MPa2;

a——吸附常數，m3/t；

b——吸附常數，1/MPa；

p——瓦斯壓力，MPa；

n0——煤體孔隙率；

B——系數，m3/(t·MPa)；

T0——標準狀態下的絕對溫度，取273 K；

p0——標準狀態下的絕對壓力，取0.101325 MPa；

T——瓦斯氣體溫度，K；

ξ——瓦斯壓縮系數。

隨著采煤工作面的循環作業，煤壁周期性向前推進，瓦斯流場邊界隨之周期性前移，且每一循環周期內瓦斯流場均為非穩態場，所以，采面煤壁瓦斯涌出是一個邊界周期性移動的非穩態問題，求解十分繁瑣。從宏觀的時間角度考慮，正常開采時工作面的日進刀數相對固定，且每一進刀周期內瓦斯涌出變化波動不大，因此，為簡化求解，可將工作面視為勻速推進。勻速推進下的煤壁瓦斯涌出特性雖不能反映出進刀周期內瓦斯涌出的波動，但能從總體角度反映出采動煤壁的瓦斯涌出情況。工作面勻速推進時，煤壁瓦斯流場時刻處于動態移動中，以此，引入移動坐標系，坐標系移動方向、速度與工作面推進方向、速度相一致。

式(1)為靜坐標系下采面煤壁瓦斯涌出數學模型。靜坐標系下，煤壁瓦斯流場內任一點的瓦斯含量是空間點坐標和時間的含量，而移動坐標下，流場內任一點的瓦斯含量不僅與空間點坐標和時間有關，且空間點坐標又隨時間而變動。則移動坐標下，單位時間內煤壁瓦斯流場任一點的瓦斯變化量可表示為：

(2)

移動坐標下，煤壁瓦斯流場內任一點的坐標隨工作面勻速推進而移動，則：

(3)

式中：v——工作面平均推進速度，m/d。

引入移動坐標后，采面煤壁瓦斯流動由靜坐標下的非穩態問題轉化為動坐標下的穩態問題，則流場內任一點的瓦斯含量與時間無關，即：

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)，再代入式(1)，并根據瓦斯含量與壓力的關系，可得移動坐標下采面煤壁瓦斯涌出的數學模型為：

(5)

其邊界條件為：

P|Γ1=Pw=pw2

P|Γ2=Ps=ps2

(6)

式中：pw——煤壁外部空間瓦斯壓力，MPa；

ps——煤層原始瓦斯壓力，MPa；

Γ1——煤壁表面邊界；

Γ2——煤壁內解算域邊界。

實際中，雖然不同采煤工作面的物性參數及生產條件不盡相同，但所有的采面煤壁瓦斯涌出屬于同一類物理現象，都應滿足上述數學模型。因此，為使研究結果具有普遍意義，可將無因次分析法應用于此類問題?，F引入無因次參量：無因次距離X、無因次瓦斯壓力Y、無因次孔隙率N、無因次瓦斯含量M和無因次瓦斯比流量Q，如式(7)所示：

(7)

將式(7)中的無因次準數代入式(5)，整理得移動坐標下釆面煤壁瓦斯涌出無因次模型為:

(8)

其邊界條件為：

(9)

式中：Yw——煤壁外部空間無因次瓦斯壓力；

Ys——煤層原始無因次瓦斯壓力。

由式(8)和式(9)可知，采面煤壁的無因次瓦斯壓力場只與無因次距離X、無因次孔隙率N、Yw和Ys有關。

2 有限差分法求解

2.1 有限差分模型

采面煤壁瓦斯涌出模型是二階非線性常微分方程，本文采用有限差分法求解。求解思路為：先對解算域內物理模型進行網格劃分，確定節點號；然后運用泰勒級數展開法，構建有限差分方程組；再編制程序，進行數值解算。網格劃分和節點編號的過程為：首先沿垂直于煤壁方向，用實線將釆面煤體分成K個區域；然后在每條實線處設一個節點，節點編號為0,1,2,…,K；過兩個相鄰節點的中心做虛線，將兩條虛線之間的區域作為虛線間節點的控制單元，具體如圖1所示?？紤]到瓦斯壓力、含量等參數越靠近壁面變化越劇烈，節點間距采用等比變化，越靠近壁面間距越小。

圖1 采煤工作面物理模型及網格劃分

(10)

將式(10)代入式(8)，可得

(11)

令Ci=Xi-Xi-1(i=1,2…,K)，并代入式(11)，整理可得內部節點的差分方程為：

由邊界條件可得0節點和K節點對應的方程為：

Y0=Yw

YK=Ys

(14)

將式(12)、式(13)和式(14)聯立，構成了釆面煤壁瓦斯涌出的無因次差分方程組。因式f(Yi)含有節點無因次壓力，則該方程組為非線性方程組，必須采用迭代法進行求解，具體的迭代計算過程與參考文獻類同，不再贅述。

求得各節點無因次壓力后，根據式(7)中無因次瓦斯含量的定義，可由下式計算i節點的無因次瓦斯含量Mi：

(15)

根據已求得的0節點、1節點的無因次壓力和式(7)中無因次瓦斯比流量的定義，可計算采面煤壁無因次瓦斯比流量Q，即

(16)

2.2 編制程序

根據采面煤壁瓦斯涌出的差分方程組，基于VB平臺編制解算程序。輸入變量時，先調研實際礦井瓦斯物性參數的取值范圍，然后根據無因次參量表達式(7)，初步確定X、N、Yw和Ys取值的大致范圍，再經過多次運行程序試算，確實出X的最佳取值范圍為0～373。在進行迭代計算時，要先設定節點無因次壓力Yi(i=0,1,…,K)的初值，因各節點瓦斯壓力小于原始壓力，所以可設Yi=cYs(i=0,1,…,K;0

圖2 程序結構流程圖

3 無因次結果及應用分析

3.1 無因次結果

3.1.1 瓦斯壓力、含量的分布

圖3 無因次壓力的分布曲線

圖4 無因次含量的分布曲線

由圖3、圖4可知，ps與pw的比值越大時，煤壁無因次瓦斯壓力、含量曲線越“陡峭”，工作面煤壁距煤體原始瓦斯壓力區就越遠，表明煤層原始瓦斯壓力越大，煤壁內瓦斯壓力、含量梯度就越大，工作面煤體瓦斯卸壓區就越大。

3.1.2 瓦斯比流量

圖5 無因次瓦斯比流量的變化曲線

3.2 應用分析

根據達西定律，實際煤壁瓦斯比流量的計算式為：

(17)

根據無因次參量式(7)，將上式中的參數無因次化，可得：

(18)

式(18)即為實際瓦斯比流量與無因次瓦斯比流量的關系式。

根據采面煤壁無因次模型的建立和求解過程可知，煤壁無因次瓦斯比流量Q由N、Yw和Ys所決定。當某一采煤工作面物性參數確定時，無因次瓦斯比流量Q隨之確定。由于N0、Yw和Ys中均不含有工作面平均推進速度v，因此無因次瓦斯比流量Q與工作面平均推進速度v無關。再根據實際瓦斯比流量的計算式q=aρvQ可知，實際瓦斯比流量與工作面平均推進速度成正比。

4 結論

(1)本文針對采煤工作面不斷推進的特性，基于移動坐標和無因次分析理論，建立了采煤工作面煤壁瓦斯涌出無因次數學模型，利用有限差分法編制了解算程序，為定量分析工作面瓦斯涌出規律提供了基礎。

(2)通過大量的數值解算，得到了采面煤壁的無因次瓦斯壓力、含量的分布曲線及無因次瓦斯比流量的變化規律。結果表明：煤層原始瓦斯壓力越大，則煤壁內瓦斯壓力、含量梯度就越大，工作面煤體瓦斯卸壓區就越大，煤壁瓦斯比流量也就越大；煤壁瓦斯比流量隨煤體孔隙率及瓦斯吸附常數b的增大而增大；煤壁瓦斯比流量與工作面平均推進速度成正比關系。

(3)分析了瓦斯無因次瓦斯比流量曲線圖的實際應用，通過查圖法，可快速確定采面煤壁實際瓦斯比流量，為計算采煤工作面瓦斯涌出參數提供一種簡便可行的方法。

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