框架—剪力墻結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的Laplace變換法

劉良坤　譚平　劉彥輝　閆維明　周福霖

摘要：針對框架-剪力墻結(jié)構(gòu)建立了動力分析模型，利用Laplace變換和逆變換，推導(dǎo)了框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的振型及其導(dǎo)數(shù)的表達式；根據(jù)邊界條件求得了框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的頻率和振型的計算方程，并采用Betti定律得到關(guān)于其分布質(zhì)量和分布剛度的正交條件；同時利用正交條件對框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的運動方程進行解耦，經(jīng)振型疊加得到結(jié)構(gòu)地震激勵下的響應(yīng)；最后通過算例與有限元模型、已有方法對比，驗證了所建立動力模型的正確性。

關(guān)鍵詞：動力模型；框架-剪力墻結(jié)構(gòu)；Laplace變換；正交條件；振型疊加

引言

框架-剪力墻結(jié)構(gòu)綜合了框架與剪力墻的特點，經(jīng)合理設(shè)計后，兩者協(xié)同工作，抗側(cè)移能力好，且變形合理，具有良好的抗震性能。傳統(tǒng)的框架-剪力墻通常采用靜力法計算，僅需將地震作用簡化為等效的靜力荷載，然而這并不能反映出它的真正動力特性。目前，框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的動力分析方法主要有矩陣傳遞法，此方法采用分段連續(xù)化模型來求取結(jié)構(gòu)的振動頻率與振型，最終求得結(jié)構(gòu)響應(yīng)，具有較好的實用性；袁錦根采用連續(xù)化假定，將剪力墻作為豎向懸臂受彎構(gòu)件，框架作為豎向懸臂剪切梁，由剪力墻與框架水平位移的協(xié)調(diào)條件建立體系的運動方程，這其實與將整個結(jié)構(gòu)看成剪彎梁相似。孫廣俊等基于等效層模型，對剪力墻結(jié)構(gòu)進行了減震分析，盡管將框架-剪力墻結(jié)構(gòu)單純地等效為層剪切模型或懸臂梁模型進行分析相對簡單高效，但結(jié)構(gòu)僅可表示成其中一種變形形式，仍不太合理。劉彥輝等通過分段分析分布參數(shù)單元并引人邊界條件來處理和集中參數(shù)的關(guān)系，得到框架-剪力墻結(jié)構(gòu)動力特性、正交條件及地震響應(yīng)，概念明確，但求解較為繁瑣，實際上是一種類似于有限元的組裝方法。為了了解框架-剪力墻結(jié)構(gòu)自振周期的情況，公茂盛等基于強震記錄得到了框架-剪力墻結(jié)構(gòu)自振周期的經(jīng)驗公式，分析表明：所得自振周期經(jīng)驗公式計算結(jié)果比中國現(xiàn)行建筑結(jié)構(gòu)荷載規(guī)范經(jīng)驗公式計算結(jié)果要大，并且隨著結(jié)構(gòu)高度增加差別增大；Topkaya等通過分析鋼板剪力墻體系也發(fā)現(xiàn)了規(guī)范計算的基本自振周期可能得到不合理的結(jié)果，另外采用同樣的方法進一步分析了具有剪力墻和框架的結(jié)構(gòu)。汪夢甫等采用壁式框架來分析了框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的非線性地震反應(yīng)，通過假定彎曲剛度沿桿軸按拋物線分布，導(dǎo)出了考慮剪切變形的單元剛度矩陣，并用適合于非線性動力計算的數(shù)值方法求解動力方程。

結(jié)合實際工程情況，對剪力墻高寬比較大的框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，可將剪力墻部分看成均勻懸臂梁，框架部分則簡化為集中質(zhì)量體系（可認為是帶有集中質(zhì)量的耦合彈簧），那么框架-剪力墻結(jié)構(gòu)可看成是帶有集中質(zhì)量和彈性耦合支撐的懸臂梁結(jié)構(gòu)。其中，夏季等與王壯等分析了帶集中質(zhì)量和彈性支承的連續(xù)梁的橫向振動特性，但彈性支撐是獨立非耦合的，而本文的分析模型則需考慮彈簧耦合的影響。參考上述文獻，利用Laplace變換及逆變換推導(dǎo)框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的頻率、振型計算方程，并采用Betti定律分析其關(guān)于分布質(zhì)量和分布剛度的正交條件；最后假定振型阻尼為Rayleigh阻尼，利用正交條件對運動方程進行解耦求解地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。