遙似天邊月，實(shí)則案前燈

盧會(huì)玉

摘要：2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ（理科）12題考查的是向量的知識(shí).本論文利用探究的方式得到了兩種方法：一種是代數(shù)法（坐標(biāo)化）；另一種是幾何法，巧妙的利用中點(diǎn)解決問題.

關(guān)鍵詞：高考；向量；幾何法；坐標(biāo)法

高考萬(wàn)眾矚目，無(wú)論是那些經(jīng)歷過(guò)高考的人，還是即將經(jīng)歷高考的人，都在密切的關(guān)注著有關(guān)高考的一切.筆者所執(zhí)教的高一的學(xué)生在高考結(jié)束后的第一節(jié)課就急切的問筆者：“今年高考數(shù)學(xué)題難不難??？”這在教師的預(yù)料當(dāng)中，這節(jié)課就來(lái)賞析高考題.為了能給學(xué)生更多的自信，筆者選擇了和學(xué)生正學(xué)的內(nèi)容息息相關(guān)的知識(shí)來(lái)進(jìn)行賞析，這樣既能讓學(xué)生感受到當(dāng)下知識(shí)的重要，更能感受到高考的難度，教師通過(guò)PPT展開講解：

2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ（理科）12題：

已知ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（）.

A. -2B. -32C.-43D.-1

教師問學(xué)生這題所涉及的知識(shí)是什么？學(xué)生齊聲回答是“向量” .那你們敢不敢挑戰(zhàn)？得到的回答當(dāng)然是肯定的.于是筆者補(bǔ)充道：“這題大家先不要討論，就當(dāng)你自己在高考的考場(chǎng).”

通過(guò)同學(xué)們的獨(dú)立思考，和最后互相間的討論，他們得到了如下的方法：

解法1（代數(shù)法解決最值問題）

建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系：則A（-1，0）、B（0，3）、C（1，0）.

設(shè)P（x，y），則PA=（-1-x，-y）、PB=（-x，3-y）、PC=（1-x，-y）.

從而PA·（PB+PC）

=（-1-x，-y）·（1-2x，3-2y）

=（-1-x）（1-2x）+（-y）（3-2y）

=2x2+2y2+x-3y-1

=2（x+14）2+2（y-34）2-32≥-32.

當(dāng)且僅當(dāng)x=-14，y=34時(shí)取等號(hào).

大多數(shù)的學(xué)生都是因?yàn)棣BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形才想到用坐標(biāo)化的方法.討論的過(guò)程中，也有同學(xué)建立坐標(biāo)系的方法不同，解答更加簡(jiǎn)潔一些.

這時(shí)我又提出，同學(xué)們想想能不能用幾何法解決呢？

遇到的第一個(gè)難點(diǎn)就是如何理解PA·（PB+PC），同學(xué)們?cè)谶@個(gè)問題上倒是沒有遇到太大困難，幾乎都能想到先解決PB+PC.可是如何解決？此時(shí)就要想到取BC的中點(diǎn)E，也就是說(shuō)化PB+PC=2PE.這時(shí)候，問題轉(zhuǎn)變?yōu)?PA·PE的最值問題，雖然看起來(lái)是新的問題，但和剛才是一回事，也就是說(shuō)PA和PE的聯(lián)系是AE的中點(diǎn)F.

分析到這里學(xué)生已經(jīng)信心滿滿了，接下來(lái)的問題就只能見招拆招了.

解法2（幾何法解決最值問題）

取BC的中點(diǎn)為E，取AE的中點(diǎn)為F，連接PE、PF.如圖2所示：

則 PA·（PB+PC）

=PA·2PE

=2PA·PE

=2（PF+FA）·（PF+FE）

=2（PF-12AE）·（PF+12AE）

=2（PF2-14AE2）

≥20-14（3）2=-32.

當(dāng)且僅當(dāng)P與F重合時(shí)取等號(hào).

最后同學(xué)們又踴躍的發(fā)表了自己的看法，分析兩種方法的優(yōu)劣以及自己的喜好，有人覺得坐標(biāo)法更直接，有人覺得幾何法更快捷.其實(shí)從方法本身來(lái)講，沒有好壞之分，因?yàn)閷?duì)學(xué)生而言，將來(lái)還會(huì)碰到很多題目，這兩種方法一定都有他的用武之地.

一節(jié)課很快結(jié)束了，同學(xué)獨(dú)立思考、熱烈討論和通力合作，進(jìn)行了思想和思想的碰撞，讓這個(gè)向量問題已經(jīng)超過(guò)了它本身的意義.對(duì)于這個(gè)高考題引起的思考，對(duì)于筆者來(lái)講，不僅僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了這個(gè)數(shù)學(xué)題，更多的是讓學(xué)生增加了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，以及對(duì)高考的進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)還增強(qiáng)同學(xué)間的友誼以及師生間的和諧.endprint