一道省統測試題的另解、探源、編制

楊培紹

摘要：高中數學中f（x）=ex，f（x）=lnx這兩個重要函數在編制高考題中高頻率使用， 為了追尋命題者的命題心路歷程，本文從題解呈現，深思另解，深思探源三個方面感受命題者的精思過程，找到源頭，進而創新編制新題.

關鍵詞：高考題；另解；探源；編制

問渠那得清如許，為有源頭活水來. 2017 年云南省第一次統測數學理科試題21題第3問是怎樣命出的，引起讀者興趣，愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”，今探究如下：

一、題解呈現

已知e是自然對數的底數，實數a是常數，函數f（x）=ex﹣ax﹣1的定義域為（0，+∞）.

（1）設a=e，求函數f（x）在切點（1，f（1））處的切線方程；

（2）判斷函數f（x）的單調性；

（3）設g（x）=ln（ex+e3x3﹣1）﹣lnx，若x>0，f（g（x））

參考答案（1）（2）略

（3）設F（x）=ex﹣x﹣1，則F′（x）=ex﹣1.

因為x=0時，F′（x）=0；

x>0時，F′（x）>0.

所以F（x）在[0，+∞）遞增.

所以x>0時，F（x）>F（0）.

化簡得：ex﹣1>x.

所以x>0時，ex+e3x3﹣1>x.

設h（x）=xex﹣ex﹣e3x3+1，

則h′（x）=x（ex﹣ex）.

設H（x）=ex﹣ex，

則H′（x）=ex﹣e.

由H′（x）=0，得x=1時，H′（x）>0，x<1時，H′（x）<0.

所以x>0時，H（x）的最小值是H（1）.

x>0時，H（x）≥H（1），即H（x）≥0.

所以h′（x）≥0，可知函數h（x）在（0，+∞）遞增.

所以h（x）>h（0）=0.

化簡得ex+e3x3﹣1

所以x>0時，x

所以x>0時，lnx

即0

即x>0時，0

當a≤1時，由（2）得f（x）在（0，+∞）遞增.

得f（g（x））

當a>1時，由（2）得f（x）在（0，lna）遞減，

所以0f（x），與已知x>0， f（g（x））

綜上，a的范圍是（﹣∞，1].

二、深思另解

因為ex≤ex，

所以ex2≤xex.

所以ex+ex2≤ex+xex.

設h（x）=ex+ex2，g（x）=ex+xex，

且h（0）=g（0）=0.

易知，h（x），g（x）都在0，+∞遞增.

在0，x上求h（x），g（x）的定積分，其幾何意義是曲邊梯形的面積.由幾何圖形知，h（x）對應的曲邊梯形的面積小于g（x）對應的曲邊梯形的面積.

所以∫x0（ex+ex2）dx∫x0（ex+xex）dx.

所以（ex+ex33）x0xexx0 .

所以ex+ex33-1xex（x0）.

所以ln（ex+ex33-1）x+lnx.

所以ln（ex+ex33-1）-lnxx.

所以g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnxx.

由（II）知a≤1時，f（x）在（0，+∞）遞增，a1時f（x）在（0，lna）遞減.

綜上：a的取值范圍是a≤1.

三、深思探源

函數內容中的兩個不等式：ex≥1+x，lnx≤x-1及其變形式ex-1≥x；ex≥ex；x-1≥lnx；x≥lnx+1≥lnx；x≥ln（x+1）；1e1-x≤1x；1ex≤1ex等等，往往是函數命題的重要背景，本題f（x）的結構特征決定了其與上述不等式的必然聯系.

背景1ex的泰勒展開式：

ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn！+…（n∈N，x≥0）.

a≤1時，ex1+x≥1+ax（x0）.

于是得ex+ex331+x.

所以ex+ex33-1x（x0）.

因為y=lnx在x0時遞增，

所以ln（ex+ex33-1）lnx（x0）.

所以ln（ex+ex33-1）-lnx0（x0）.

即g（x）0.

高中數學中f（x）=ex，f（x）=lnx這兩個重要函數在編制高考題中高頻率使用，為了增加思辨性和深刻性，命題者把不等式ex+ex33-1x（x0）與f（x）=lnx進行復合，得ln（ex+ex33-1）-lnx0（x0），即g（x）0，這便是命題者構造的函數不等式f（g（x））f（x）中g（x）的由來.

背景2數學分析中定積分有性質定理：

如果f（x），g（x）在x∈a，b上可積，且f（x）≤g（x）∫baf（x）dx≤∫bag（x）dx.

背景3熟知不等式 ex≤ex.

背景4為了增加深刻性，兩邊同加ex，易得不等式0ex+ex2ex+xex.

背景5用背景2 0ex+ex2ex+xex

∫x0（ex+ex2）dx∫x0（ex+xex）dx

（ex+ex33）x0xexx0

ex+ex33-1xex（x0）

ln（ex+ex33-1）x+lnx

ln（ex+ex33-1）-lnxx

g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnxx.

由（II）知a≤1時，f（x）在（0，+∞）遞增，a1時f（x）在（0，lna）遞減，命題人把問題進行包裝，設g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnx，若x0，f（g（x））f（x）中g（x）x的由來.至此，清晰地呈現了命題者的命題心路歷程.有著深刻的高等數學背景，過程精思，問題經典，結論精深，解答精巧，值得精品.

四、創新編制

在背景2下，類似可編擬：

因為ex≥x+1，xex≥ex2，

所以ex+xex≥x+1+ex2.

類似深思另解推得ex≥ex23+x2+1.

可編制g（x）=x-ln（ex23+x2+1），若x>0，f（g（x））