辯析“形似質異”的八組函數問題

何志雄

摘要：函數是高中數學的核心概念，也是歷年高考考查的重點和熱點，其性質眾多且復雜，時常讓人感到難以把握，尤其是對于一些條件或結構相似的函數問題，若不認真審題，仔細對比，則往往會產生思維上的誤區，甚至張冠李戴，出現方法上的偏差.

關鍵詞：辨析；相似；函數問題

一、定義域與值域

定義域與值域猶如一對孿生兄弟，一脈相承，相輔相成.一方面，自變量在定義域中的變化導致因變量在值域中的變化；另一方面，定義域中的每一個值都必須被自變量取遍，值域中的每一個值都必須被因變量取遍.

例1（1）若函數f（x）=log2ax2+2x+1的定義域為R，求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）=log2ax2+2x+1的值域為R，求實數a的取值范圍.

解析（1）f（x）的定義域為Rax2+2x+1>0對任意x∈R恒成立.

當a=0時，不等式化為2x+1>0，顯然不滿足題意；

當a≠0時，有a>0，Δ=4-4a<0， 解得a>1.

綜上可得，當a>1時，函數f（x）的定義域為R.

（2）令u=ax2+2x+1，則函數y=log2u的值域為Ru能取遍所有的正數，也就是0，+∞是函數u=ax2+2x+1值域的子集.

對于函數u=ax2+2x+1，當a=0時，函數u=2x+1的值域為R，滿足題意；

當a≠0時，有a>0，Δ=4-4a≥0， 解得0

綜上可得，當0≤a≤1時，函數f（x）的值域為R.

二、定義域與有意義

對于給定了定義域的函數問題，常可利用“不等式的解集即為函數的定義域”，把問題轉化為解不等式來處理，也可利用函數與方程思想來解決，即利用“不等式解集的端點值恰好是這個不等式對應的方程的根”；若函數在區間上有意義，則可利用“函數的定義域應包含函數有意義時自變量的集合”，把問題轉化為恒成立問題來解決.

例2（1）若函數f（x）=1+3x·a的定義域為-∞，1，求實數a的取值范圍；

（2）若函數f（x）=1+3x·a在-∞，1上有意義，求實數a的取值范圍.

解析（1）1+3x·a≥03x·a≥-1.

當a≥0時，3x·a≥-1的解集為R，

故f（x）的定義域為R，不滿足題意；

當a<0時，3x·a≥-1x≤log3-1a.

故f（x）的定義域為-∞，log3-1a.

所以log3-1a=1，解得a=-13.

（2）由題意可知，不等式1+3x·a≥0對任意x∈-∞，1恒成立a≥-13x對任意x∈-∞，1恒成立a≥-13xmax.

又-13x在-∞，1上的最大值為-13，所以a≥-13.

三、函數的值域與函數值的變化范圍

若一個函數的值域為A，則是自變量在取定義域內的一切值時，所對應的函數值必須能且只能取遍A內的一切值；若一個函數的函數值的變化范圍為A，則是自變量在取定義域內的一切值時，所對應的函數值都必須在A內，但不一定能取遍A內的一切值.

例3（1）已知函數f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）的值域為0，+∞，求實數m的取值范圍；

（2）已知函數f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）≥0恒成立，求實數m的取值范圍.

解析（1）因為f（x）min=-m2-3m3，

故-m2-3m3=0，解得m=-3或m=0.

即當m=-3或m=0時，f（x）的值域為0，+∞.

（2）f（x）≥0恒成立Δ=-2m+32-4×3m+3≤0.

解得-3≤m≤0，即當-3≤m≤0時，f（x）≥0恒成立.

四、自身軸對稱與相互軸對稱

對稱反映了函數圖象的和諧與美，函數中的軸對稱主要體現在函數圖象自身軸對稱與兩個函數圖象之間的軸對稱.一般地，若函數y=f（x）滿足fa+mx=fb-mx（m≠0），則函數f（x）的圖象關于直線x=a+mx+b-mx2=a+b2對稱；函數y=fa+mx與y=fb-mx的圖象關于直線a+mx=b-mx即x=b-a2m（m≠0）對稱.

例4（1）若函數f（x）滿足fx-1=f1-x，則f（x）的圖象關于直線（）.

A.x=0對稱 B.x=1對稱

C.y=0對稱 D.y=1對稱

（2）設函數y=f（x）定義在實數集上，則函數y=fx-1與y=f1-x的圖象關于直線（）.

A.y=0對稱 B.x=0對稱

C.y=1對稱 D.x=1對稱

解析（1）對稱軸為直線x=x-1+1-x2=0，故應選A.

另解令x-1=t，則由fx-1=f1-x可得ft=f-t，所以f（x）為偶函數，故應選A.

（2）對稱軸為x-1=1-x，即x=1，故應選D.

五、中心對稱與軸對稱

函數的中心對稱是有別于軸對稱的又一種圖形性態，解題時尤其容易出現把函數自身中心對稱與自身軸對稱混淆的情況，常有如下結論可供應用∶若函數y=f（x）對定義域內任意x都滿足f2a-x+f（x）=2b（a，b為常數），則函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱；若函數y=f（x）對定義域內任意x都滿足fa-x+fb+x=c（a，b，c為常數），則y=f（x）的圖象關于點（a+b2，c2）對稱.結論易證，此處略.

例5（1）若函數f（x）對一切實數x都有fx+8=f-2-x，當x≥3時，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式；

（2）若函數f（x）對一切實數x都有fx+8=-f-2-x，當x≥3時，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式.

解析（1）因為f（x）對一切實數x都有fx+8=f-2-x，

所以f（x）的圖象關于直線x=3對稱.

當x<3時，有-x+6>3，

此時函數f（x）的解析式為f（x）=f6-x=6-x2-76-x+4=x2-5x-2，

所以f（x）=x2-7x+4x≥3，x2-5x-2x<3.

（2）因為f（x）對一切實數x都有fx+8=-f-2-x，

所以函數f（x）的圖象關于點3，0中心對稱.

當x<3時，有-x+6>3.

函數f（x）的解析式為f（x）=-f6-x=-6-x2-76-x+4=-x2+5x+2.

故f（x）=x2-7x+4x≥3，-x2+5x+2x<3.

六、單調區間與區間上單調

若某函數的單調遞增（單調遞減）區間為A，同時該函數在區間B上單調遞增（單調遞減），則BA.

例6（1）已知函數f（x）=x3-ax+2，若函數f（x）的一個單調遞增區間為1，+∞，求實數a的值；

（2）已知函數f（x）=x3-ax+2，若函數f（x）在區間1，+∞上單調遞增，求實數a的值.

解析（1）f ′（x）=3x2-a，

因為函數f（x）的一個單調遞增區間為1，+∞，

所以f ′（x）>0對于任意x∈1，+∞恒成立，且1是方程f ′（x）=0的一個根.

故3×12-a=0，解得a=3.

（2）f ′（x）=3x2-a.

因為函數f（x）在區間1，+∞上單調遞增，

所以f ′（x）>0對于任意x∈1，+∞恒成立

a<3x2對于任意x∈1，+∞恒成立.

故a≤3.

七、主元與次元

求解某些多元函數問題或含參函數問題時，若根據已知條件，合理選定其中一個變量為主元，其余的變量均視作次元，則可較快轉化甚至簡化問題.

例7（1）已知函數f（x）=x2+mx+1，若對任意x∈0，2，f（x）>0恒成立，求實數m的取值范圍；

（2）已知函數f（x）=x2+mx+1，若對任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，求實數x的取值范圍.

解析（1）視x為主元，m為參數，若按二次函數求最值的方法處理，則較復雜，現采用分類與整合的策略：

當x=0時，f（x）=1>0恒成立，此時m∈R；

當x∈0，2時，f（x）>0恒成立

m>-x+1x恒成立

m>-x+1xmax=-2.

綜上可得，m>-2.

（2）視m為主元，x為參數，

設hm=xm+x2+1，

因為對任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，

所以h0>0，h2>0， 即x2+1>0，2x+x2+1>0，

解得x≠-1.

八、對稱與周期

對稱與周期猶如函數眾多性質中的兩顆璀璨的明珠，二者合力促使函數圖象呈現出更多的數學美.由于蘊涵這兩個性質的條件在表述形式上極其相似，因此經常容易出現理解混淆，甚至得出錯誤結論的情況.

例8（1）已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f1+x=f1-x，且f-1=5，求f3；

（2）已知函數y=f（x）（x∈R）滿足fx+1=fx-1，且f-1=5，求f3.

解析（1）由題意可知，函數f（x）關于直線x=1+x+1-x2=1對稱，結合對稱性可得f3=f-1=5.

（2）因為fx+1=fx-1，

所以fx+1+1=fx+1-1.

即有fx+2=f（x），故函數f（x）的周期為2.

又因f-1=5，

所以f3=f-1+4=f-1=5.

評注在解決函數周期性問題時，時常利用這樣一個結論∶若函數y=f（x）（x∈R）滿足fx+a=fb+x（a