電磁感應現象中導體棒旋轉切割問題

嚴來蔣

摘要：以導體棒旋轉切割命制的試題近年來在高考中多有體現，如繞棒的一端轉動切割、繞棒上的某一點旋轉切割、兩棒同時轉動切割或圓盤在勻強磁場中繞中心軸轉動等，理解等效切割或法拉第電磁感應定律，便可輕松解決有關問題.

關鍵詞：等效；旋轉切割；感應電動勢

以導體棒旋轉切割命制的試題近年來在高考中多有體現，如繞棒的一端轉動切割、繞棒上的某一點旋轉切割、兩棒同時轉動切割或圓盤在勻強磁場中繞中心軸轉動等，理解等效切割或法拉第電磁感應定律，便可輕松解決有關問題.

如圖1所示，當導體棒OA在垂直于勻強磁場的平面內，繞一端O點以角速度ω勻速轉動切割磁感線時，由于棒上各點線速度不同，故E=Blv中的v不能以ωl進行替代.可以從以下兩個角度進行分析，推導出感應電動勢的計算式.

等效理解，

根據v=ωr可知，棒上各點線速度跟半徑成正比，故可用棒的中點的速度作為平均切割速度代入公式計算.由此可得感應電動勢的表達式

E=Blω·l2=12Bl2ω

由法拉第電磁感應定律推導，

設經過Δt時間導體棒掃過的扇形面積為ΔS，則ΔS=12ωΔt·l2，所以感應電動勢表達式

E=ΔΔt=BΔSΔt=12Bl2ω

一、單棒旋轉切割

例1如圖2所示，在磁感應強度為B的勻強磁場中，長為3l的導體棒繞過O點垂直于紙面的軸以角速度ω勻速轉動，棒Oa段長為2l，則（）

A.導體棒兩端電勢差Uab=32Bl2ω

B.導體棒兩端電勢差Uab=-32Bl2ω

C.導體棒兩端電勢差Uab=92Bl2ω

D.導體棒兩端電勢差Uab=-92Bl2ω

解析由于oa段和ob段產生的感應電動勢方向不同，故導體棒兩端的電勢差為不同兩段電動勢的代數和，oa段感應電動勢Eoa=12B（2l）2ω，ob段感應電動勢Eob=-12Bl2ω，兩段電動勢代數和等于導體棒兩端電勢差Uba=32Bl2ω.

點評理解棒的兩端切割速度方向不同，導致感應電動勢方向不同，因為電動勢是標量，故導體棒總電動勢為兩部分的代數和.

二、雙棒旋轉切割

例2如圖3所示，在半徑為R的半圓形區域內，有磁感應強度為B的垂直紙面向里的有界勻強磁場，PQM為圓內接三角形，且PM為圓的直徑，三角形的各邊由材料相同的細軟導線組成（不考慮導線中電流間的相互作用）.設線圈的總電阻為r且不隨形狀改變，此時∠PMQ=37°，則下列說法正確的是（）

A.穿過線圈PQM的磁通量為Φ=096BR2

B.若磁場方向不變，只改變磁感應強度B的大小，且B=B0+kt（k為常數，k>0），則線圈中產生的感應電流大小為I=096kR2r

C.保持P、M兩點位置不變，將Q點沿圓弧順時針移動到接近M點的過程中，線圈中感應電流的方向先沿逆時針，后沿順時針

D.保持P、M兩點位置不變，將Q點沿圓弧順時針移動到接近M點的過程中，線圈中不會產生焦耳熱

解析三角形PQM的面積S=12（2Rsin37°）2Rcos37°=096R2，穿過線圈PQM中的磁通量Φ=BS=096BR2，故選項A正確.由B=B0+kt得ΔBΔt=k，根據法拉第電磁感應定律得：感應電動勢為E=ΔBΔtS=096kR2，線圈中產生的感應電流大小為：I=Er=096kR2r，故選項B正確.

保持P、M兩點位置不變，將Q點沿圓弧順時針移動到接近M點的過程中，△PQM的面積先增大后減小，穿過線圈的磁通量先增大后減小，線圈中將產生感應電流，根據楞次定律可知，感應電流方向先沿逆時針方向后沿順時針方向；將Q點沿圓弧順時針移動到接近M點的過程中，PQ段和QM段都在旋轉切割磁感線，在∠PMQ小于45°時，QM段旋轉切割的電動勢大于PQ段旋轉切割的電動勢，回路中感應電流方向沿逆時針；在∠PMQ大于45°時，QM段旋轉切割的電動勢小于PQ段旋轉切割的電動勢，回路中感應電流方向沿順時針，故選項C正確.

Q點沿圓弧順時針移動到接近M點的過程中，回路中有感應電流，線圈中會產生焦耳熱，故選項D錯誤.

點評本題應用幾何知識分析線圈面積的變化，確定磁通量的變化，進而運用楞次定律可知感應電流的方向；也可以等效為兩棒同時切割，用右手定則判斷感應電動勢方向，由棒的等效切割長度，比較感應電動勢大小，從而確定感應電流的方向.

三、圓盤與渦流

例31824年，法國科學家阿拉果完成了著名的“圓盤實驗”.實驗中將一銅圓盤水平放置，在其中心正上方用柔軟細線懸掛一枚可以自由旋轉的磁針，如圖4所示.實驗中發現，當圓盤在磁針的磁場中繞過圓盤中心的豎直軸旋轉時，磁針也隨著一起轉動起來，但略有滯后.下列說法正確的是（）

A.圓盤上產生了感應電動勢

B.圓盤內的渦電流產生的磁場導致磁針轉動

C.在圓盤轉動的過程中，磁針的磁場穿過整個圓盤的磁通量發生了變化

D.圓盤中的自由電子隨圓盤一起運動形成電流，此電流產生的磁場導致磁針轉動

解析當圓盤在小磁針的磁場中轉動時，半徑方向的金屬條在切割磁感線，在銅盤的圓心和邊緣之間產生感應電動勢，故A正確.圓盤在徑向的輻條切割磁感線的過程中，內部距離圓心遠近不同的點電勢不等而形成感應電流，即渦流，小磁針處在渦流的磁場中受到磁力而使小磁針轉動起來，即電磁驅動，故B正確.圓盤轉動過程中，由于圓盤面積、磁場都不變，故穿過整個圓盤中的磁通量沒有變化，故C錯誤.電流是由于圓盤切割磁感線而產生的，不是因為自由電子隨圓盤一起運動產生的，故D錯誤.

點評本題考查電磁驅動的原理，明確電流的形成不是因為自由電子運動，而是由于圓盤切割磁感線產生了電動勢，從而形成渦流.渦流的磁場使小磁針轉動.

小結解決導體棒旋轉切割問題的切入點是求解感應電動勢，感應電動勢的方向由右手定則或楞次定律判斷，感應電動勢的大小由法拉第電磁感應定律計算或等效切割解答.不論單棒切割、雙棒切割、還是圓盤轉動切割都可能會有多個感應電動勢，要注意計算各個電動勢的代數和.把圓盤等效為沿半徑方向的無數根導體棒旋轉切割是求解圓盤問題的關鍵.

四、圓盤旋轉切割

例4如圖5甲所示為法拉第圓盤發電機照片，乙是圓盤發電機的側視圖，丙是發電機的截面圖.設圓盤半徑為r，勻強磁場的磁感應強度為B，電阻為R，圓盤轉動的角速度為ω.（1）不計圓盤的電阻，求感應電流的大小.（2）如果把此圓盤挖去半徑為r2的同心圓，仍以角速度ω繞C點轉動，將原來接C點的導線接在圓盤的內側，求感應電流的大小.

解析（1）可以將圓盤等效為無數根很細的金屬條（像自行車的輻條一樣），則每根金屬條都在切割磁感線，每根金屬條均為電源，且彼此之間為并聯關系.

由于C點到D點的輻條各點線速度是均勻變化的，所以可以用CD棒的平均速度作為切割磁感線的有效速度.即電動勢E1=Br1=12Br2ω，電流I1=E1R=Br2ω2R.

（2）當挖去r2的同心圓后，等效輻條切割磁感線的平均線速度v2=rω+rω22=3rω4，則圓盤電動勢E2=r2Bv2=38Br2ω，對應感應電流I2=E2R=3Br2ω8R.

點評解決此題的關鍵是把圓盤等效為無數根很細的金屬條，因為磁通量是相對某個回路而言的，當圓盤轉動時，圓盤中心與邊緣的連線和外部電路組成的回路磁通量發生變化，進而產生感應電動勢.

參考文獻：

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