四輪漸近教學法

孟慶杰

摘要：本文依據數學家華羅庚先生提出的學習數學的四種境界，闡述了四輪漸近教學法，即一輪課堂模仿、二輪作業獨立解決、三輪小組研討、四輪自學升華.

關鍵詞：模仿；獨立解決；研討；自學；教學法

一、四輪漸近教學法

1.一輪課堂模仿

課堂模仿就是常規課堂教學即老師講清概念、性質、公式等，師生合作完成幾個例題（以教材例題為主），學生模仿做幾個練習（以教材習題為主，基本都是定義、性質、公式的正用），這期間包含師生交流、探討等.

2.二輪作業獨立解決

課后作業是教學過程的基本環節之一，如果教師能按照下面這樣精心設計作業，就能收到很好的效果.（1）逐字閱讀今天所學定義、性質、公式等數遍，最后一字不差的背誦下來；（2）獨立完成老師精選（基本是定義、性質、公式等的逆用和變形用等）的作業（第二天必須上交）.

3.三輪小組研討

此輪首先分好學習小組，分學習小組很有學問，一定要考慮好各項指標.較好的分組方法是自愿組合，老師協調好學習好差、男女生比例、性格內外向、學習數學的興趣等，每組5—6人為宜.其次，小組成員推選一名愛好數學且對數學有感覺的組長，負責完成小組任務等工作.最后，如下布置小組任務（組長負責找好時間、地點、方式等，三天內必須完成）：（1）小組每個成員用不同于教材的語言，等價敘述本節所學定義、性質、公式等（這里主要指用數學的三種語言即圖表語言、符號語言、文字語言），語言越簡單越易懂越好.然后組內相互交流、補充，最后選出公認的最好的在全班面前展示；（2）研究探討老師精選的題目（基本是創設情境，構造新方法的題目）.

4.四輪自學升華

前三輪是解決數學概念的內涵即縱向問題，而此輪是研究數學概念的外延即橫向問題.本輪的任務（三天內必須完成）（1）獨立思考查資料看一看本節所學定義、性質、公式等與學過的（有時也可以是沒學過的）哪些知識有關，有何關系？（2）獨立思考老師精選的幾個問題.

5.驗收

在學完本節內容三天內，教師找一節課（有時是半節課或兩節課，不管多長時間，以完成教學任務為準），組織全班同學解決如下問題：（1）背課文（一字不差）；（2）小組推選的用不同于教材概念敘述的等價敘述概念的展示；（3）自學查資料展示；（4）師生研討解決（以教師為主）教師精選試題中的疑問及學習研究中的相關問題（有些問題師生之間、生生之間已經交流會了）.

二、四輪漸近教學法的實例說明

以高中數學人教B版數學必修1“2.1.4函數的奇偶性”[2]為例，具體說明四輪漸近教學法.

1. 一輪課堂模仿

（1）老師通過導課引出奇函數和偶函數定義：設函數y=f（x）的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有-x∈D，且f（-x）=-f（x），則這個函數叫做奇函數. 設函數y=g（x）的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有-x∈D，且g（-x）=g（x），則這個函數叫做偶函數.老師強調：定義域內，x、-x屬于定義域，f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）.

①教師模仿：教材例1（1）判斷函數f（x）=x+x3+x5的奇偶性.

解：因為函數的定義域為R，當x∈R時，-x∈R.因為f（-x）=-x-x3-x5=-f（x），所以函數f（x）=x+x3+x5是奇函數.

②學生模仿（老師叫一名學生解答）：教材例1（2）判斷函數f（x）=x2+1的奇偶性.學生解答略，參考答案：偶函數.老師再強調判定方法：定義域內，對稱，f（x）與f（-x）的關系.

③全體學生模仿：教材P49判斷下列函數是否具有奇偶性：

A.f（x）=x+x3B.f（x）=-x2

C.f（x）=1+x3D.f（x）=1x2+1，x∈[-1，2].

參考答案：A.奇函數；B.偶函數；C.f（x）與f（-x）既不相等也不相反，非奇非偶；D.定義域不對稱，非奇非偶.

（2）通過上面的模仿，我們基本知道了如何判斷函數的奇偶性.研究函數主要研究函數的圖象和性質，老師話題一轉，看一看奇函數和偶函數，他們的圖象有何特點.通過具體實例觀察，用特殊到一般的思想，給出奇函數和偶函數的圖象特征：如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數. 如果一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.

①教師模仿：教材P538.已知偶函數f（x）在y軸右邊的一部分圖象（如圖1），根據偶函數性質，作出函數在y軸左邊的圖象.教師根據偶函數圖象關于y軸對稱，作出y軸左邊的圖象（略）.

②全體學生模仿：教材P538.已知奇函數f（x）在y軸右邊的一部分圖象（如圖2），根據奇函數性質，作出函數在y軸左邊的圖象. 多數學生能根據奇函數圖象關于原點對稱，作出y軸左邊的圖象（略）.

教師強調奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱.

③師生共同模仿：教材P494（改編）.如圖3，給出函數y=f（x）的局部圖象，當函數f（x）是奇函數或偶函數時，試分別比較f（1）與f（3）的大小.參考答案：f（x）是奇函數時，f（1）>f（3）；f（x）是偶函數時，f（1）

④師生合作探究教材例2.研究函數y=1x2的性質并作出它的圖象.

通過討論及教師的啟發，學生很快發現此函數是偶函數.所以只考慮x>0時的圖象性質，就可以知道定義域內整體的性質和圖象（略）.

教師總結強調，進入下一輪.

2.二輪作業獨立解決（有時當堂可以做作業）

模仿完成開始布置作業：（1）逐字閱讀教材P47—P49 數遍，一字不差的背誦奇偶函數定義及圖象特征或一字不差的背誦從P47—P49 整篇內容.（2）能背誦下來后，獨立完成如下試題（第二天上交）：

①判斷下列函數是否具有奇偶性：

（1）f（x）=x2-2ax，x>0-x2-2ax，x<0；

（2）f（x）=-x2+ax，x>0-x2-ax，x<0

②已知函數f（x）=x+1+x-a是偶函數，求實數a.

③已知y=f（x）+x2是奇函數，且f（1）=1.若g（x）=f（x）+2，則g（-1）=.

④已知定義域為R的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=x2-x，求函數f（x）和g（x）的解析式.

⑤討論函數f（x）=a（a為不等于零的常數）的奇偶性.

⑥判斷函數f（x）=1-x2+x2-1的奇偶性，并由此題結論說明任給函數g（x），若從奇偶性角度分類，有幾種情況？

參考答案：①（1）奇函數（2）偶函數；②a=1；③g（-1）=-1；④f（x）=-x，g（x）=x2；⑤當函數定義域為對稱區間時，函數是偶函數.當函數定義域不是對稱區間時，函數為非奇非偶函數；⑥因為函數定義域為-1，1，且f（x）=0，所以函數f（x）為既奇又偶函數. 任給函數g（x）可分為：奇函數；偶函數；既奇又偶函數；非奇非偶函數.

3.三輪小組研討（有時課堂可以研討）

此輪由組長負責（找好時間、地點及方式等）完成下列任務（三天內完成）：（1）小組每個成員，結合數學的三種語言，簡單明了地用不同于教材的語言，敘述奇函數偶函數的定義.經小組交流補充后，推選一名最好的在全班面前展示.（2）運用集體智慧完成下列問題：

①若奇函數f（x）的定義域內含零，則f（0）=.從定義和圖象角度分別說明結論的正確性，若能舉例說明此結論的應用更好.

②對任意偶函數f（x），是否等式f（x）=f（x）一定成立，說明理由.若等式成立，能否舉例說明它的應用.

③定義域為對稱區間的函數f（x），在判斷其奇偶性時，除教材的方式外還有沒有其它方式？

④定義域相同的兩個奇函數f（x）、g（x）和兩個偶函數h（x）、t（x），它們經過加、減、乘、除后所得函數是否還具有奇偶性？

⑤已知定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的函數f（x），對于定義域內任意實數x，y都有f（x·y）=f（y）x+f（x）y成立，試判斷f（x）的奇偶性.

⑥設f（x）是連續的偶函數，且當x>0時f（x）是單調函數，則滿足f（x2-2x-1）=f（x+1）的所有x之和為.

⑦不等式8（x+1）3+10x+1+x3+5x>0.

參考答案：①f（0）=0.由定義f（-0）=-f（0），推出f（0）=0；由奇函數圖象性質，原點關于原點的對稱點是本身，所以圖象過原點，即f（0）=0；

②一定成立.因為當x≥0時，x=x，所以f（x）=f（x）.當x<0時，f（x）=f（-x）=f（x），所以f（x）=f（x）；

③f（x）±f（-x）=0（+號成立為奇函數，-號成立為偶函數），f（x）f（-x）=±1（f（-x）≠0）（+1為偶函數，-1為奇函數），f（x）·f（-x）=±f（x）2（+f（x）2為偶函數，-f（x）2為奇函數）等；

④f（x）+g（x）為奇函數，h（x）-t（x）為偶函數，f（x）·h（x）為奇函數等；

⑤若f（x）恒為零，則函數為既奇又偶函數.若f（x）不恒為零，函數為奇函數；

⑥由題意x2-2x-1=x+1或x2-2x-1=-（x+1），解得所有x之和為4；

⑦原不等式化為（2x+1）3+5×2x+1>-x3-5x①.設f（x）=x3+5x，則①變為f（2x+1）>-f（x）.又函數f（x）是奇函數且在R上遞增，所以f（2x+1）>f（-x），即2x+1>-x，解得x>-1為所求解集.

4.四輪自學升華

認真完成前三輪的學習研究，學生對奇偶性問題已經有點感覺和認識了.此時獨立完成一些奇偶性的問題，時機已經成熟.因此布置如下任務（三天內完成）：（1）獨立思考查資料，看一看奇偶性問題與學過的（也可以是沒學過的）哪些知識有關，有何關系？找出一點或兩點即可.（2）獨立完成下列問題：

①已知偶函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增，則滿足f（2x-2）

②設定義在[-2，2]上的奇函數f（x）在區間[0，2]上單調遞減，若f（m）+f（m-1）>0，則m的取值范圍.

③已知函數y=f（2x+1）是偶函數，則一定是函數y=f（2x）圖象的對稱軸的直線是（）.

A.x=-12B.x=0C.x=12D.x=1

參考答案：①f（2x-2）=f（2x-2）

②f（m）>-f（m-1）=f（1-m），推出-2≤m<1-m≤2，解得m∈[-1，12）；

③f（2x+1）=f[2（x+12）]，所以圖象向右平移12個單位，得y=f（2x） ，所以答案為C.

5.驗收

四輪完成后，就是老師收口的時候了. 在學完本節內容三天內，教師找一節課（有時是半節課或兩節課，不管多長時間，以完成教學任務為準），組織全班同學解決如下問題：（1）背課文（一字不差）（略）；（2）展示小組推選的不同于教材的奇偶性定義：這里舉幾例①人體就是偶函數模型②定義域內自變量取互為相反數時，所對應的函數值相等為偶函數，所對應的函數值互為相反數為奇函數③定義域內自變量取互為相反數時，所對應的函數值相減為零為偶函數，所對應的函數值相加為零為奇函數等；（3）自學查資料展示：這里舉幾例①奇函數若在y軸兩側單調，則單調性相同②偶函數若在y軸兩側單調，則單調性相反③非奇非偶函數，若其圖象有一條平行于y軸的對稱軸，則其函數可以通過圖象平移變為偶函數；若其圖象有一個對稱中心（a，0）（a≠0），則其函數可以通過圖象平移變為奇函數等；（4）師生研討解決（以教師為主）教師精選試題中的疑問及學習研究中的相關問題（有些問題師生之間、生生之間已經交流會了）（略）.

總之，教無定法，無論怎樣好的教學方法，老師、學生都要相互配合，并且付出很多辛苦和努力.如果感到數學難教，學生難學會，不妨試一試四輪漸近教學法，可能有一定的效果.

參考文獻：

[1]夏炎.談談數學學習的三種境界[J].中學數學月刊，2003（11）：4-5

[2]中學數學教材實驗研究組.人民教育出版社B版數學必修1，2008：47-49