一點五維的巴赫：巴赫與數字的隨想

馬慧元

一

一九七九年，一本叫作GEB（G?del， Escher， Bach： An Eternal Golden Braid，中譯《哥德爾，艾舍爾，巴赫：集異璧之大成》）的奇書橫空出世。作者侯世達（Douglas R. Hofstadter）自己說，“它并非意在討論數學、音樂和藝術的關系”，“而是指出無意義的元素中怎樣在自指和各種形式化規則（formal rules）中獲得意義”。書中舉了大量例子，比如任意的字符串如何在規則下形成語言，從無意義到有意義；阿基里斯和烏龜如何在悖論中纏繞；巴赫音樂在自指和遞歸中抽繭剝絲，在賦格進行中完成調性大循環，等等。

但本書還是不可避免地被當成討論“藝術和科學的普遍形式和體系”之作。受它的影響，對巴赫與數學的討論一時頗為興盛，其中最時髦的話題之一就是“巴赫與分形”。

分形（fractal）這個概念，由科學家曼德博（Benoit B. Mandelbrot）創立于一九七五年，主要用于研究粗糙、不規則的幾何形狀，比如海岸線。近年來，它的應用遍及生物、地震、圖像處理等領域。其中從視覺上更吸引普通人的一類是“自相似”的分形，也就是不斷按比例縮小下去仍然類似全體的一個門類。因為它的直觀、有趣和豐富的隱喻性，吸引了許多領域的人。演奏巴赫出名的美國鋼琴家圖蕾克對此就很有興趣，她喜歡探尋巴赫和科學的聯系，跟生物學家古爾德、物理學家彭羅斯以及創立“分形”概念的曼德博都有合作，可謂音樂家中的神奇跨界者。

在這里，只舉一個分形維（dimension）計算的小小例子。平常說到維度，一般都是一維、二維、三維等等，是分形的概念引入了一種新概念下的度量。比如常見的分形謝爾平斯基三角（圖1），維度值就是按比例縮小出來的小三角，需要“多少個”才能填充原先的大三角：

維度值D也就可以這樣算出來，它的結果告訴我們，這個謝爾平斯基三角是1.585維的分形結構：

而在復調音樂中，有時把主題（通常幾小節長）放在不同的聲部中疊奏（stretto），這樣主題既錯開又彼此呼應；有些時候，某個聲部把主題拉長或者縮短，音樂的形態有些新意卻仍然熟悉。這都是古已有之的寫法，巴赫將之發揮到了極致。有人把巴赫的《賦格的藝術》中的第七賦格（全曲共十四個賦格，四個卡農）按旋律線做成圖（圖2）。其中每個圓點是主題的一個音，而橫線是主題之外的音，不同長度代表不同時值。這樣一來，不同顏色的主題按不同的時值進行（跟前面提到的三角形一樣，按比例放縮），有時候，不同聲部之間就體現這種主題的比例，各種形態的主題平行行駛，有時相遇，最終交匯于靜止，仿佛是一種抽象意義上的謝爾平斯基三角。

幾十年過去之后，或許大家感到巴赫和分形的聯系，以及廣義上巴赫和數學的聯系已經挖到了盡頭，類似話題的論文和研究大為減少。畢竟，有著分形特質的音樂很多，人們隨時可以寫出比巴赫更有結構的音樂，但這不能表明它們是偉大的音樂。有個名叫Harlan Brothers的美國數學家兼吉他手，窮盡十年時間追索各種“分形音樂”，他認為巴赫的《勃蘭登堡協奏曲》第一首以及《大提琴無伴奏組曲》第三首都有典型的分形。他自己也寫了一些“分形音樂”，簡直走火入魔?？墒牵魳樊吘故且魳罚豢赡軗碛袩o窮的結構，更不可能像真正的分形那樣，無窮放大之后仍然見微知著。一味追求音樂和科學的對應的研究者，有時會受不了誘惑，索性讓算法和公式來解釋音樂。上文提到的音樂家圖蕾克，跟人就有過一些論爭，雖然她對“音樂與分形”的話題很感興趣，但不會接受巴赫的套路能被公式一網打盡。

不過，我認為賦格和卡農這類古老的形式，遲早有一天會與某種數學分支有所遇合，這是宿命。因為它發軔于“自相似”，以一個執著的主題牽引出無窮變體，并且高度程式化。這個主題正是GEB中那類“無意義”的元素，它幾乎可以是任意的四小節，巴赫只是讓它比較中性，有時是一個和弦中的幾個音，易于跟自己的變身仍然形成和弦。如此這般，并不稀奇。但巴赫在這個門類中累積極多，整體性、合理性無人能出其右。而數學也好，科學也好，總是始于最基本的結構，以簡單的數學表達囊括無窮的現象。發軔于極簡的東西相遇并有審視之眼存在，互相啟發的幾率是很大的。然而短暫的交匯之后它們仍會分手。

二

巴赫的音樂和數學的聯系或許有限，但它跟“數字”的聯系，仍然被人無盡地挖掘。最早，是神學家和音樂學家斯門德（Friedrich Smend，1893-1980）提出來從數字入手巴赫研究，巴赫的數字都有神學隱喻云云。比如多年來研究者都有這樣的共識：1、2、3之和與它們的乘積都是6（所謂完全數），所以這三個數字是最完美的。不僅是巴赫，不少同時代作曲家也寫六首一組的套曲。此外，巴赫的許多作品都有這樣的調性變化：B-A-C；還有14（BACH=14），41（J.S.Bach=41）等等。這些“關鍵詞”在巴赫作品中不斷出現。而數字和文化的“密碼”，并非巴赫獨創。古巴比倫、古希臘到后來的猶太文化中，都有一種古老的傳統Gematria（希伯來語），就是這樣的數字隱語或者密碼傳統。

近年來，瑞典學者塔特羅（Ruth Tatlow）在《巴赫的數字：寫作中采用的比例及

其意義》（Bach?s Numbers： Compositional Proportion and Significance）一書中把巴赫的“數字神學”研究到無以復加。在此之前她已經寫過一本Bach and the Riddle of the Number Alphabet，居然還方興未艾。

塔特羅對巴赫音樂長度的觀察很獨特，她也關注“數字隱喻”，但并非重點。她的重點是“比例”，不僅注意到作品內部的比例，還包括了作品集的整體長度，比如她指出《B小調彌撒》的長度是一千四百小節，《復活節清唱劇》（Easter Oratorio）和《升天清唱劇》（Ascension Oratorio）在不執行重復的情況下也是一千四百小節?！恶R太受難曲》是兩千八百小節；大型作品的小節數，都是十或一百的倍數等等。這些小節數，有可能是巴赫寫作的時候計劃的，也可能是抄譜的時候根據譜面定制的。休斯敦的巴赫協會有個播客（podcast）訪談了塔特羅，讓我印象深刻的是，她說寫書的初衷正是為駁斥巴赫研究中的“數字迷信”，想證明這些跟數字相關的結論都是巧合下的故作文章而已。不過在這個過程中，她發現了這些大作長度的內在比例以及正正好好的小節數，等等。這可能都是巧合嗎？于是初衷大改，從證偽變成求證，不過出發點與前人不同。endprint

可是，同時保持音樂的藝術完美和數字完美實在太難了，那么巴赫會因辭害意嗎（或者說，在不同需求面前如何取舍）？塔特羅的研究指出，會的。巴赫有時會做一些看上去無關緊要的改動，而原稿幾乎已經完美了。在BWV1006第三樂章“加沃特”中，巴赫在開頭用了反復記號而不是把最后八小節寫出來—如果寫出來的話，那么這段總數就是一百小節而不是九十二小節—九十二小節才正好湊成兩千四這個巴赫喜歡的數。僅就小提琴帕蒂塔BWV1001、BWV1002而言，塔特羅就做出一個表格（圖3），讓人嘆為觀止。

不過，塔特羅雖然做了無盡的“數小節”的工作，她一再強調，關鍵之處在于巴赫想要的比例，而不是數字；除此之外，巴赫非常在意作品中各個部分的內在聯系和整體性。所以她給巴赫的這類用意，取了個名字“proportional parallelism”，指的是巴赫在不同層面上體現的“平行”的隱喻性。這個比例，有時是指一部作品中各個“板塊”的長度比例，有時是大型作品的總長，多數時候，是指一部作品中可以分成明顯的兩部分，它們的長度比。巴赫喜歡簡單的1 ： 1、

1 ： 2、2 ： 3等比例，這不難理解，除了1 ： 1的對稱性，1 ： 2、2 ： 3也對應于從畢達哥拉斯時代就開始有的對簡單與和諧的相信。

說到數字、數學的起源，記得有人說數學是根植于人類本能的東西，或許，與數學相關的美感也是如此。但人在遭遇藝術的時候，大約并不會直接去感受復雜的數字，只會呼應簡單的比例，在時間和空間的藝術中都如此，除非經過特定的訓練。數字的“完整性”，在巴赫作品中俯拾皆是，但恐怕只有讀譜并且細數的人才能感知，除此之外頂多感到段落之間的短長。對多數人的感覺來說，精確的數字是一種“難溶物質”，很難轉化為聽覺上的美感。然而，幾百年前的建筑家同樣相信“上帝視角”，相信人所看不見、聽不見的東西，對上帝仍然是可感的。今人在巴赫盤根錯節的音樂面前驚嘆，恐怕不容易想到在賦格的規則、聽覺的美感之外，巴赫還自設了那么多屏障和捆綁，他在這些羈絆之中，居然仍能找到答案。而我們假設巴赫沒有這些“數字神學”的設定，他的作品又會是什么樣的呢？它們會更張狂、更豐富嗎？

三

美國音樂學家伯格（Karol Berger）的《巴赫之環，莫扎特之箭》（Bach?s Cycle， Mozart's Arrow）一書說的不是巴赫的“另一種可能性”—雖然我私心里會歪解一下，而是不同時代中人對時間的感知方式。伯格認為，在歐洲文化中，十八世紀后半葉之后，音樂中的時間才真正成為事件線索的重要元素。

眾所周知，音樂本身是有周期性的（比如音階），它天然地需要結構，需要折返。而伯格的重點在于，因為時代和文化的不同，巴赫的音樂經常呈現出封閉的結構，它指向開端，指向自己，它常常是完美的循環—周而復始，萬物皆有定時。而莫扎特這里的音樂結構已經是離弦之箭，分別、不對稱已經成為主導。他列舉了莫扎特鋼琴協奏曲K491、歌劇《唐璜》等例子。西方音樂史上，更為明顯的“離弦之箭”是貝多芬，他撕碎了圓滿的結構，讓音樂發生了就不再回轉。伯格也在本書中討論了貝多芬，但他認為真正的端倪是在莫扎特這里，莫扎特的音樂，已然是現代音樂。

伯格指出，巴赫的《馬太受難樂》中無處不在的“返始詠嘆調”（da capo aria）讓結構成為環形。“沒有一種時間如同上帝的時間”（There Is No Time Like Gods Time）這一章，說的就是這部受難樂既有線性的敘事結構，又有停止在瞬間的全面視角—時間在此凝固。在這里，詞作者皮坎得是有自己的長度規劃的，包括跟圣經相關的數字隱喻；巴赫更在乎自己的計劃，尤其是音樂的長度比例，所以沒有完全遵循皮坎得。

塔特羅的研究，在我讀來還有些“不明覺厲”，不知道巴赫的用意跟音樂成就有沒有確定的聯系。不過如果對照伯格的意圖和塔特羅的意圖，我才有幾分明白，甚至感到他們在此形成了有趣的對位—一面觀測巴赫音樂的“運動”，它的“速率”“方向”“角度”；一面是巴赫的“距離”，用數字衡量的巴赫的布局。上面說過《馬太受難樂》總長兩千八百小節（這是1727年版，1724年版是2400小節），包括反復和da capo-da capo這個手段，對巴赫來說實在太得心應手了，它如同變速箱一般，讓巴赫能湊出來各種自己想要的循環和數字比例，而事實也并非只有“湊”那么簡單，巴赫把材料準備得緊密充分，一環咬一環，看上去竟是哪句都少不得，因為到處都有呼應，不能隨便抽掉積木。所以，如今網上有那么多人繪出彩色的巴赫動圖，它們并不是隨機的萬花筒圖案。只是，伯格認為巴赫并不關注音樂構架的線性時間順序，他恨不得讓所有事件同時發生，透明地折疊，或者索性讓“過去”和“現在”一起鋪天蓋地地涌來。這在《馬太受難樂》中體現尤甚，視角忽遠忽近，一會是耶穌身邊的猶太人（歌詞中以“錫安的女兒”暗指），一會又是“今人”，環環相扣對答，聽者還真不容易清清楚楚地追隨。在巴赫的大型作品（不僅是這部受難樂）中，環狀結構無處不在，有大循環，有微循環，對稱、并置比比皆是，串起它們的主要是場景的變化。

這樣一來，巴赫無視事件發生的“大時間”，卻對音樂進行的“小時間”也就是從段落到整體的小節數精細切割，各個段落運動活躍，轉調大膽，而它們常常又是可交換和顛倒的?？墒侨绻麚Q個角度看，這種切割時間，讓諸事件平行穿透的手法，或許更現代，普魯斯特的巨作都能順利地呼應它。只是，巴赫的圣馬太故事畢竟是文化的一部分，它被講述了太多次，也循環了太多次。時間沒有勝利也沒有失敗，它睡在記憶里。

伯格所說的莫扎特的“不復返之利箭”，是時代使然。不過河西河東之后的二十世紀，巴赫看似靜止的音樂又回到時風，至少回到西方古典傳統之下的時風中—可是我們的時代，不是不斷摒棄死板的結構嗎？不錯，可是我猜所謂現代又是崇尚復雜的，越來越多的工具讓人破解復雜，也讓人欣賞復雜—世界的猙獰真相，本來也需要復雜的藝術來映射。這個時代也有了越來越多的工具讓時間靜止、提速，甚至倒轉。那么跟時間斗智的藝術，不會遠離我們—網絡游戲也好，電影也好，早讓我們浸潤在這樣的文化之中。endprint

四

《巴赫與機器》，這是管風琴家伊爾斯利（David Yearsley）的文集《巴赫以及對位的意義》（Bach and the Meaning of Counterpoint）中的一篇。

一七四七年，法國哲學家拉·美特利（Julien Offray de La Mettrie，1709-1751）出版了轟動一時的《人是機器》（LHomme Machine），認為動物和人一樣，都是機械裝置，并沒有“靈魂”這個東西。軒然大波之中，他從荷蘭逃到弗雷德里克大帝的普魯士。而就在一七四六年，一些有趣的新發明給拉·美特利的理論增加了佐證—德意志出現了吹長笛的機械小人，以及一只行動自如、會吃玉米粒（并且能“消化”?。┑臋C械鴨子。這都是法國發明家瓦克桑（Jacques de Vaucanson，1709-1782）的作品，他聲稱這些機械音樂家能演奏二十首曲子。弗雷德里克大帝喜歡音樂，會吹長笛，他的御用長笛老師正是最杰出的長笛演奏家之一匡茨?！伴L笛機器人”甫一出世，匡茨老師被驚動了，他說：“無論這些機械多么精巧，它們還是不可能打動人。不過，如果人覺得自己比機器高明，并且能打動人，演奏技巧千萬不能亞于它們?！笨梢?，機器人還是威脅到了大師的存在感。

當時的萊比錫有一位波蘭裔的醫生，米茲勒（Lorenz Christoph Mizler，1711-1778），此人對音樂、數學都有貢獻，做過巴赫的學生，還創立了一個大名鼎鼎的音樂協會。在瓦克桑發明“長笛手”的時候，米茲勒設計出一種能給音樂自動配低音的裝置。因為是用算法產生和弦，它甚至發展到能寫對位了，“而且迷人程度不亞于C. P. E. 巴赫（巴赫的兒子）”。既然如此，用機器產生音樂越來越可行并且好玩，很多能工巧匠兼業余樂手都開始施展身手?？磥?，作曲家們都要坐不住了，當時許多知識分子都在熱烈爭論“靈魂與機器”的問題。

說到巴赫的“機械性”，說起來大概要讓許多巴赫迷惱火，包括我在內。誰也不愿承認巴赫的藝術是冰冷的公式湊出來的—如果公式化、機械化是指空洞的程式化賦格，那么巴赫的許多同時代人，包括老師、學生輩，甚至如名家布克斯特胡德，遠比巴赫機械得多?？墒?，巴赫的音樂，讓人很難忽視它跟“機械”的聯系。在許許多多的對位作品中，《賦格的藝術》也好，《音樂的奉獻》也好，恒河沙數的管風琴作品也好，賦格主題好像只需“第一推動”，然后就自動前行，不再需要干預，它們各自長得羽翼豐滿，鬼魅一般彼此穿越。我自己在熟悉《賦格的藝術》的過程中，起先深為主題自身的孤迥之氣所感，但一個個賦格、卡農聽下去，直到相鄰兩段互為倒影的主題，就不斷感嘆它太“自動”、太圓熟，雖然有趣并好聽，但因過于智性，離普通人的情緒有著遙遠的距離。而稍稍通讀《賦格的藝術》樂譜，即便不是研究者，都會注意到X小節一段的定式在卡農、對位中頻頻出現。比如幾首對稱精準、聽起來又仙氣裊裊的卡農。不僅主題的出現有準確的間隔，連何時出現汗漫的半音階都有鐘點般的步伐—鐘點，對了，齒輪、咬合、倍數，這不都是分形的巴赫、平行的巴赫以及機器的巴赫嗎？

伊爾斯利認為，巴赫是在自然的表達和“公式”之間的溝壑里探索。他對名噪一時的瓦克桑并未表達意見甚至可能并不知曉，但他近于機器般嚴密的卡農，也可視為十八世紀文化中對“機器藝術家”的回應。晚期所寫《賦格的藝術》就是提交給音樂學會的作品，而這正是米茲勒創辦的音樂協會。那個年代中的音樂批評，已經有了如此發達的科學和理論。

順便說一下，今人用AI來作曲，據說巴赫的音樂是比較容易模仿出來的，其中做得比較好的，對許多人來說幾可亂真。我對此并不驚訝，并且相信大多數巴洛克的音樂，都可以在一定程度上“AI”出來，因為樣式明顯，特定語匯突出，程式化極高。巴赫也同樣，一些典型的樣式，比如鍵盤作品中大量的八分音符琶音，一些賦格的答題等等，幾乎在哪首曲子中都能見到一二。何況，賦格看上去太容易用算法生成了。但計算機寫得出巴赫未寫出的歌劇嗎？寫得出能和《歌德堡變奏曲》比肩的巨作嗎？此為另話，目前只能存疑。

可是GEB的作者侯世達，似乎在支持巴赫的“機械性”—無生命的關聯和隱喻的背后，只要有一套形式規則支持它們，就可涌現出語言、生命、認知與智能。細思恐極？

當年，巴赫在生命的末期，并不一定預知死亡，但因為最后的作品（如《賦格的藝術》）太過奇詭，又有最后一個對位未完的浪漫傳說，它注定有許多種敘述方式。伊爾斯利在逐一討論其中幾首卡農之后，認為巴赫終結于一個出乎預料的“他我”。它已經獨立于作曲家的存在了，它存在于自指和自我繁衍中，它像永動機，更如同一場模擬。在伊爾斯利此書寫成的二○○二年，還顯得頗為大膽。如今，網絡上這類問題已經鋪天蓋地：我們的世界是不是一場模擬（simulation）？而Youtube上那些煙花般絢麗而對稱的卡農動圖背后，又有誰在拈花微笑？

《賦格的藝術》中十度卡農演奏過程中形成的圖像（圖4），較大的圓點代表不斷重復出現的主題，每次出現都涂上不同的顏色。

五

當年，巴赫健康每況愈下之際，自己也知道需要節省精力，但仍然在斤斤計較作品的“比例完美”和“數字哲學”。即便在生命的最后十年中，他仍然對這種“看不見”“聽不見”的完美孜孜以求，這在他的兩部晚期大型作品《音樂的奉獻》和《賦格的藝術》中都體現了出來。這仍然是塔特羅的研究指出的?！顿x格的藝術》雖然未完，但仍大致體現了1 ： 2的比例—前八個賦格總長七百九十小節，之后的部分是一千五百八十小節（塔特羅依據研究“腦補”了未寫出的41小節，但數字無疑是接近的）。

只是，巴赫密集的心意從音樂輻射出去，又有幾許能抵達這空疏世界的遠方？

不敢說自己是接受《馬太受難樂》那樣大作的“天線”，只能說我一直是巴赫賦格身體力行的粉絲。曾經，《賦格的藝術》給我聽覺上的沖擊極大，主題一出來，有種太空般的寂靜與蒼涼，然而僅僅傾聽已經是過去式，過去感官所觸及的新奇、感官留下的熱情狂想，漸漸被技術問題埋葬。現在我被主題打動的時候不那么多了，取而代之的是小心翼翼地在譜上劃句子。主題從開頭輪流進來的時候尚可清晰感知，之后越埋越深，甚至混搭在不同的聲部中，別說一般人根本聽不出來，就是看譜也未必一下子能看清，但彈琴的人必須一個個地揪出來并且心如明鏡（我稱之為“抓特務”）。彈賦格還有這樣的難處：分句方式可以有多種，但你一旦確立自己的選擇，就算許下心愿、綁上賊船，無論用哪只手還是腳，都必須嚴守最初的承諾，處處踐行一致的分句方式（天知道有時候會別扭成什么樣），才算是達到賦格的基本要求。對演奏者來說，主題散掉，丟了頭尾，被周圍聲部淹死，都是常見事故。演奏者對待這種賦格，按說把句子咬清楚是基本要求，但做起來很難不說，也并不討好。因為在聽者那里得不到什么呼應，這不是激情表達、靈感涌現，而僅僅是維護賦格的“尊嚴”，讓作曲家本人在場聽了不會勃然大怒。endprint

此外，自己上手之前，還無知無畏地相信“《賦格的藝術》應該在羽管鍵琴上彈”這種話—大概最早是萊恩哈特大師說的，結論不一定錯，但需要高度的上下文界定。等到自己開始弄，才發現在什么琴上彈并不要緊，反正單件樂器最終會讓聽者迷路。這音樂不是給人“聽”的，它是供人彈奏、閱讀、交流用的。你可以把聲部做成上文那個彩色的動圖，也可以用好幾件樂器來放大它，讓摩擦成一堆的聲部拉開距離，從不透明但有花紋的石頭變成水晶。你也可以把它切成無數小段當作標本來學習?？傊覀兤胀ㄈ藳]有上帝的視角，不能瞬間穿透它，就只能線性地在時間之中用各個方式分別打開。最終，各個側面融會貫通，同時降臨，像《馬太受難樂》那樣一口氣泰山壓頂，那時候或許好意思回頭想想它“究竟屬于什么樂器”。

至于音謎、字謎，我只感念巴赫和那個時代的“相信”。謎語可以留給上帝，多少代人無知無覺，多少代人無從勘破，信徒還是帶著相信而死。

《賦格的藝術》有數個版本，在巴赫死后的版本中，那神秘的最后四個音“B-A-C-H”之后附了一首未完的管風琴眾贊歌BWV 668，它是《十八首萊比錫眾贊歌》的一部分，不少學者相信這才是真正的巴赫臨終之作。《十八首》中的前十五首是巴赫自己收集的，塔特羅指出它們的總長為一千二百小節，這是巴赫在晚年不斷修改編訂的結果。而最后三首是他的學生兼女婿Johann Altnickol后來所抄錄，終于打破了巴赫計劃得好好的總小節數和長度比例。而伊爾斯利把這首題為《我來到主的寶座前》的BWV 668稱為巴赫的“死亡的藝術”，更有意味的是，GEB的作者侯世達稱巴赫未完之賦格（指《賦格的藝術》中“B-A-C-H”音符含巴赫名字的“自指”），好比哥德爾不完備定理中的悖論（尤其在系統包含自指的時候）：“我不能被這個系統所證明?！?/p>

參考文獻：

1. Bach's Numbers： Compositional Proportion and Significance， by Ruth Tatlow， Cambridge Press， 2016

2. Bach's Cycle， Mozart's Arrow： An Essay on the Origins of Musical Modernity， by Karol Berger， University of California Press， 2007

3. Bach and the Meanings of Counterpoint， by David Yearsley， Cambridge University Press， 2002endprint