具有高聚類系數(shù)的加權分層組織結構網(wǎng)絡

陸肜肜

摘 要：現(xiàn)實生活中大多數(shù)的組織結構網(wǎng)絡都體現(xiàn)層次性。本文通過迭代的方式構建加權分層網(wǎng)絡以模擬組織結構網(wǎng)絡。該網(wǎng)絡每條邊都被賦予了權重以更好地描述個體之間關系的緊密程度。通過計算，根節(jié)點的度分布服從冪律分布，表明該模型具有無標度性質(zhì)。同時該網(wǎng)絡具有極高平均聚類系數(shù)0.7624。可見，層次化結構有利于促進整體的凝聚力，組織結構網(wǎng)具有層次性是合理且必然的。

關鍵詞：應用數(shù)學 無標度網(wǎng)絡 聚類系數(shù) 組織結構網(wǎng)絡

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）12（a）-0-02

在自然界里許多網(wǎng)絡上下層之間都遵循一個固定的組織原則，因此所抽象出來的網(wǎng)絡結構里廣泛出現(xiàn)層次結構。以部隊的三三制編制原則為例，即3個班編為1個排，3個排又編入1個連，依此類推。

分層網(wǎng)絡首次被Barabási等人提出[1，2]，其網(wǎng)絡的特點是具有層次結構，其生成方式是復制迭代。現(xiàn)實中很多的網(wǎng)絡都具有層次性的，例如社交網(wǎng)絡中每個人的朋友圈、科學家論文合作網(wǎng)、企業(yè)的組織機構網(wǎng)中都存在層次結構。在全國的教育網(wǎng)中，一班級由幾十人組成，一個年級由十幾個班級組成，一個學校由幾個年級組成，由此往上類推到一個市、一個省乃至全國。下面通過觀察部隊的班、排、連、營、團、旅、師、軍的分層組織結構，來構建分層網(wǎng)絡的模型。不難發(fā)現(xiàn)，在一個班內(nèi)的班長和自己士兵聯(lián)系緊密，同一班的士兵之間聯(lián)系緊密。排長與每個班的士兵聯(lián)系緊密。然而某班士兵與其他班士兵聯(lián)系并不緊密。根據(jù)這些特征，本文的分層網(wǎng)絡結構如下，初始網(wǎng)絡G（1）是由1個根節(jié)點及6個邊節(jié)點組成，根節(jié)點和邊節(jié)點之間有連邊，邊節(jié)點們之間互相有連邊。第二步，復制6個G（1）放在G（1）周圍，并且令復制的6個G（1）中的邊節(jié)點與初始網(wǎng)絡G（1）的根節(jié)點相連。接下來一直重復第二步直到形成滿意的模型，見圖1。因此，分層網(wǎng)絡可以很好的模擬組織結構網(wǎng)的層次性。

為了更好地描述網(wǎng)絡中節(jié)點與節(jié)點之間的關系，加權網(wǎng)絡的思想隨之產(chǎn)生。近年來復雜網(wǎng)絡的研究也是普遍圍繞加權網(wǎng)絡進行的。加權網(wǎng)絡是指每條連邊上都被賦予權重ω的網(wǎng)絡，權重ω表示連邊的意義或容量[3]。由于互聯(lián)網(wǎng)中每個路由器所接受的數(shù)據(jù)流量是不相等的，科學家合作網(wǎng)中學者之間合作的次數(shù)與深度也不盡相同，社會關系網(wǎng)中個體與個體的聯(lián)系緊密程度是不同的以及航空網(wǎng)絡中兩個機場間的客流量也是參差不齊的。因此，這些差異都可以用權重 來描述。本文將把加權思想加入分層網(wǎng)絡模型中，建立了一個加權分層網(wǎng)絡模型，以模擬組織結構網(wǎng)中的層次性。為了描述真實網(wǎng)絡中每條連邊的重要性且相應于組織結構網(wǎng)的層次結構，新網(wǎng)絡中的權重分配也是具有層次性的，如ω=at（t=1，2，3…）。

無標度網(wǎng)絡的特點是小部分節(jié)點的度很大，而大部分的節(jié)點的度很小[4]。網(wǎng)絡具有無標度性，這意味著節(jié)點的度具有如下性質(zhì)：p（k）～k-γ，其中γ是度指數(shù)。無標度網(wǎng)絡具有兩個互相矛盾的屬性：魯棒性、脆弱性。該類網(wǎng)絡的既具有魯棒性，即當網(wǎng)絡受到隨機性攻擊，網(wǎng)絡的破壞程度很低。其又具有脆弱性，即當網(wǎng)絡中的大節(jié)點受到蓄意攻擊，網(wǎng)絡極容易癱瘓。

聚類系數(shù)是用于衡量網(wǎng)絡中節(jié)點之間的凝聚程度的系數(shù)。網(wǎng)絡的平均聚類系數(shù)則是整個網(wǎng)絡的所有結點的聚類系數(shù)的均值。由此可知，如果一個網(wǎng)絡的平均聚類系數(shù)越大，那么整個網(wǎng)絡的凝聚程度越高。

為了研究該類具有層次性的組織結構網(wǎng)絡，本文構建了一個全新的加權分層網(wǎng)絡。通過計算其度分布和平均聚類系數(shù)，判斷其無標度性和內(nèi)部凝聚力。從而對該類網(wǎng)絡進行客觀合理的分析和評估。

1 加權分層模型的建立

1.1 初始網(wǎng)絡

G（1）表示第1代的模型。G（1）有7個節(jié)點，根節(jié)點與6個邊節(jié)點連線的權重為a（a>1），兩邊節(jié)點之間連線的權重為1（見圖1）。

1.2 網(wǎng)絡的復制生成

G（t）表示第t代的模型。復制6個G（t-1），將復制結構的各自的邊節(jié)點與原網(wǎng)絡G（t-1）的最中心的根節(jié)點相連接，且連線的權重都為at，見圖1。

1.3 網(wǎng)絡的迭代

一直重復第二步驟，直到生成了符合研究現(xiàn)象的模型為止。

2 網(wǎng)絡無標度性質(zhì)的分析

接下來，研究該網(wǎng)絡模型的度分布。

當根節(jié)點度為時的節(jié)點的數(shù)目為6·7t-i-1。則

有：

同理，當邊節(jié)點度為k=i+5時的節(jié)點的數(shù)目為6i7t-i-1。則有：

由此，得到了根節(jié)點的度分布服從冪律分布（見圖2）。

由此可見，該網(wǎng)絡具有無標度性質(zhì)，也就具有魯棒性和脆弱性。這一結果與現(xiàn)實情況相符，具有層次性的組織結構網(wǎng)的隨機節(jié)點受損對整個網(wǎng)絡影響不大。但若攻擊者針對度相對較大的節(jié)點進行攻擊，整個網(wǎng)絡將受到致命的打擊。從組織結構網(wǎng)的無標度性質(zhì)來看，層次性是把雙刃劍，即網(wǎng)絡既穩(wěn)固堅韌同時又不堪一擊。

3 聚類系數(shù)

節(jié)點i的聚類系數(shù)為，其中Ei表示節(jié)點i的

所有鄰點之間的連邊數(shù)，而Ki是節(jié)點i的度。整個網(wǎng)絡的平

均聚類系數(shù)為，其中N是網(wǎng)絡的大小。平均聚類

系數(shù)C體現(xiàn)了網(wǎng)絡全局的凝聚力。

由網(wǎng)絡迭代過程可知，度為k的根節(jié)點的鄰點有

條邊。則度為k的根節(jié)點聚類系數(shù)是

。同理，度為k的邊節(jié)點的鄰點有

條邊。則度為k的邊節(jié)點聚類系數(shù)是

。

因此，第t代整個網(wǎng)絡的聚類系數(shù)是：

當t→∞時，

可見，該網(wǎng)絡的聚類系數(shù)很高。聚類系數(shù)體現(xiàn)了整個網(wǎng)絡的凝聚程度和緊密性。因此，具有層次性的組織結構網(wǎng)內(nèi)的各個個體聯(lián)系得相當緊密。

4 結論

本文構建了一個通過迭代的方式生成的加權的層次結構的模型，用來模擬研究具有層次性的組織結構網(wǎng)。相應于其層次結構，在網(wǎng)絡的連邊上賦予具有層次性的權重。

通過研究得到新模型的根節(jié)點度分布是服從冪律分布的，即該網(wǎng)絡具有無標度性質(zhì)。無標度性質(zhì)是一把雙刃劍，其具有魯棒性與脆弱性。在網(wǎng)絡受到隨機攻擊時，網(wǎng)絡安全。但是其遇到針對大節(jié)點的攻擊時，網(wǎng)絡危險。針對該結論，今后我們研究方向為保持層次性網(wǎng)絡的魯棒性同時削弱脆弱性，優(yōu)化組織結構網(wǎng)。

同時，研究表明該組織結構網(wǎng)還具有高聚類系數(shù)0.7624，即該網(wǎng)絡的凝聚力很強。這就進一步表明層次性的組織結構網(wǎng)具有合理性，可以提高工作效率，增強集體的凝聚力。

參考文獻

[1] Albert-László Barabási， Erzsébet Ravasz，Tamás Vicsek.Deterministic scale-free networks[J].Physica A， 2001（299）：559-564.

[2] Erzsébet Ravasz，Albert-László Barabási.Hierarchical organization in complex networks[J].Physical Reviewe，2003（67）：026112.

[3] Barrat.The architecture of the complex weighted networks[J].Proc Natl Acad Sci U S A，2004，101（11）： 3747-52.

[4] Barabási，Albert-László，Albert，Réka.Emergence of scaling in random networks[J].Science，1999， 286（5439）：509-512.