具有高聚類系數的加權分層組織結構網絡

陸肜肜

摘 要：現實生活中大多數的組織結構網絡都體現層次性。本文通過迭代的方式構建加權分層網絡以模擬組織結構網絡。該網絡每條邊都被賦予了權重以更好地描述個體之間關系的緊密程度。通過計算，根節點的度分布服從冪律分布，表明該模型具有無標度性質。同時該網絡具有極高平均聚類系數0.7624。可見，層次化結構有利于促進整體的凝聚力，組織結構網具有層次性是合理且必然的。

關鍵詞：應用數學 無標度網絡 聚類系數 組織結構網絡

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）12（a）-0-02

在自然界里許多網絡上下層之間都遵循一個固定的組織原則，因此所抽象出來的網絡結構里廣泛出現層次結構。以部隊的三三制編制原則為例，即3個班編為1個排，3個排又編入1個連，依此類推。

分層網絡首次被Barabási等人提出[1，2]，其網絡的特點是具有層次結構，其生成方式是復制迭代。現實中很多的網絡都具有層次性的，例如社交網絡中每個人的朋友圈、科學家論文合作網、企業的組織機構網中都存在層次結構。在全國的教育網中，一班級由幾十人組成，一個年級由十幾個班級組成，一個學校由幾個年級組成，由此往上類推到一個市、一個省乃至全國。下面通過觀察部隊的班、排、連、營、團、旅、師、軍的分層組織結構，來構建分層網絡的模型。不難發現，在一個班內的班長和自己士兵聯系緊密，同一班的士兵之間聯系緊密。排長與每個班的士兵聯系緊密。然而某班士兵與其他班士兵聯系并不緊密。根據這些特征，本文的分層網絡結構如下，初始網絡G（1）是由1個根節點及6個邊節點組成，根節點和邊節點之間有連邊，邊節點們之間互相有連邊。第二步，復制6個G（1）放在G（1）周圍，并且令復制的6個G（1）中的邊節點與初始網絡G（1）的根節點相連。接下來一直重復第二步直到形成滿意的模型，見圖1。因此，分層網絡可以很好的模擬組織結構網的層次性。

為了更好地描述網絡中節點與節點之間的關系，加權網絡的思想隨之產生。近年來復雜網絡的研究也是普遍圍繞加權網絡進行的。加權網絡是指每條連邊上都被賦予權重ω的網絡，權重ω表示連邊的意義或容量[3]。由于互聯網中每個路由器所接受的數據流量是不相等的，科學家合作網中學者之間合作的次數與深度也不盡相同，社會關系網中個體與個體的聯系緊密程度是不同的以及航空網絡中兩個機場間的客流量也是參差不齊的。因此，這些差異都可以用權重 來描述。本文將把加權思想加入分層網絡模型中，建立了一個加權分層網絡模型，以模擬組織結構網中的層次性。為了描述真實網絡中每條連邊的重要性且相應于組織結構網的層次結構，新網絡中的權重分配也是具有層次性的，如ω=at（t=1，2，3…）。

無標度網絡的特點是小部分節點的度很大，而大部分的節點的度很小[4]。網絡具有無標度性，這意味著節點的度具有如下性質：p（k）～k-γ，其中γ是度指數。無標度網絡具有兩個互相矛盾的屬性：魯棒性、脆弱性。該類網絡的既具有魯棒性，即當網絡受到隨機性攻擊，網絡的破壞程度很低。其又具有脆弱性，即當網絡中的大節點受到蓄意攻擊，網絡極容易癱瘓。

聚類系數是用于衡量網絡中節點之間的凝聚程度的系數。網絡的平均聚類系數則是整個網絡的所有結點的聚類系數的均值。由此可知，如果一個網絡的平均聚類系數越大，那么整個網絡的凝聚程度越高。

為了研究該類具有層次性的組織結構網絡，本文構建了一個全新的加權分層網絡。通過計算其度分布和平均聚類系數，判斷其無標度性和內部凝聚力。從而對該類網絡進行客觀合理的分析和評估。

1 加權分層模型的建立

1.1 初始網絡

G（1）表示第1代的模型。G（1）有7個節點，根節點與6個邊節點連線的權重為a（a>1），兩邊節點之間連線的權重為1（見圖1）。

1.2 網絡的復制生成

G（t）表示第t代的模型。復制6個G（t-1），將復制結構的各自的邊節點與原網絡G（t-1）的最中心的根節點相連接，且連線的權重都為at，見圖1。

1.3 網絡的迭代

一直重復第二步驟，直到生成了符合研究現象的模型為止。

2 網絡無標度性質的分析

接下來，研究該網絡模型的度分布。

當根節點度為時的節點的數目為6·7t-i-1。則

有：

同理，當邊節點度為k=i+5時的節點的數目為6i7t-i-1。則有：

由此，得到了根節點的度分布服從冪律分布（見圖2）。

由此可見，該網絡具有無標度性質，也就具有魯棒性和脆弱性。這一結果與現實情況相符，具有層次性的組織結構網的隨機節點受損對整個網絡影響不大。但若攻擊者針對度相對較大的節點進行攻擊，整個網絡將受到致命的打擊。從組織結構網的無標度性質來看，層次性是把雙刃劍，即網絡既穩固堅韌同時又不堪一擊。

3 聚類系數

節點i的聚類系數為，其中Ei表示節點i的

所有鄰點之間的連邊數，而Ki是節點i的度。整個網絡的平

均聚類系數為，其中N是網絡的大小。平均聚類

系數C體現了網絡全局的凝聚力。

由網絡迭代過程可知，度為k的根節點的鄰點有

條邊。則度為k的根節點聚類系數是

。同理，度為k的邊節點的鄰點有

條邊。則度為k的邊節點聚類系數是

。

因此，第t代整個網絡的聚類系數是：

當t→∞時，

可見，該網絡的聚類系數很高。聚類系數體現了整個網絡的凝聚程度和緊密性。因此，具有層次性的組織結構網內的各個個體聯系得相當緊密。

4 結論

本文構建了一個通過迭代的方式生成的加權的層次結構的模型，用來模擬研究具有層次性的組織結構網。相應于其層次結構，在網絡的連邊上賦予具有層次性的權重。

通過研究得到新模型的根節點度分布是服從冪律分布的，即該網絡具有無標度性質。無標度性質是一把雙刃劍，其具有魯棒性與脆弱性。在網絡受到隨機攻擊時，網絡安全。但是其遇到針對大節點的攻擊時，網絡危險。針對該結論，今后我們研究方向為保持層次性網絡的魯棒性同時削弱脆弱性，優化組織結構網。

同時，研究表明該組織結構網還具有高聚類系數0.7624，即該網絡的凝聚力很強。這就進一步表明層次性的組織結構網具有合理性，可以提高工作效率，增強集體的凝聚力。

參考文獻

[1] Albert-László Barabási， Erzsébet Ravasz，Tamás Vicsek.Deterministic scale-free networks[J].Physica A， 2001（299）：559-564.

[2] Erzsébet Ravasz，Albert-László Barabási.Hierarchical organization in complex networks[J].Physical Reviewe，2003（67）：026112.

[3] Barrat.The architecture of the complex weighted networks[J].Proc Natl Acad Sci U S A，2004，101（11）： 3747-52.

[4] Barabási，Albert-László，Albert，Réka.Emergence of scaling in random networks[J].Science，1999， 286（5439）：509-512.