淺談初中數學的圖形運動問題

施小洋

摘 要：隨著近幾年課程標準實施的影響，使得中學數學命題改革幅度相應增大。以浙教版數學為例，在教材中刪去了部分原有的知識，更多地增加了圖形運動的內容；而且其重點變為了圖形運動的基本定義與理解，以及在坐標中圖形的運動。

關鍵詞：圖形；平移變換；圖形的運動

我國著名數學家華羅庚曾說過“形以數而入微，數以形而直觀”。這是將數與圖形結合后的精辟總結。因此，在新的課程標準實施后，初中數學課本內容更加貼近生活，相應的使得其解題方法也更加靈活多變。通過數與形之間的聯系來思考并解決問題的思路，我們將其稱之為數形結合思想，而教材中加重圖形運動內容的比重正是對數形結合思想的完美體現。我們就以浙教版初中數學的圖形運動為例，淺談其中數形結合問題中的精髓。在圖形的運動變換中，平移、旋轉和翻折是最為基礎的；圖形的運動變換無疑是以確定的法則為依據對已有圖形（或其中一部分）加以位置變化，然后在變換前后的兩個圖形中理清它們之間的關系。具體如下：

一、平面中圖形的平移變換

由一個圖形改變為另一個圖形，在改變過程中，原圖形上的所有點都向同一個方向運動，且運動相等的距離，這樣的圖形變化叫做圖形的平移變換，簡稱平移；移動的方向叫做平移方向，移動的距離叫做移動距離。

根據圖形平移的定義，我們能夠很容易得到：在圖形平移后，其圖形上每一點都沿著一個方向移動的距離都相同，因此圖形的形狀和大小在平移前后一定不會改變。而且，如果我們將一個圖形在方格紙上進行平移變換后，能夠很直觀地看到這樣的規律：

圖形上移動前后的點所連成的線段是平行且相等的（或者說是在同一條直線上），而且圖形移動前后對應的線段也是平行且相等的（或者說是在同一條直線上），其對應角也相等。這一點我們可以從下面這個例題中看到：

例1.怎樣平移半圓P，使它的像與半圓Q組成一個圓。

解析：由圖形平移的特性：圖形在經過平移變換之后，其形狀、大小、方向并不會改變，所以我們可以將整個半圓的移動看成是點P到點Q的移動（只有點P與點Q重合，兩者才能組合成一個完整的圓），那么從P點到Q點就應先向右平移4個方格再向上平移2個方格。

二、圖形的旋轉規律

在教材中這樣定義圖形的旋轉：一般的，一個圖形變為另一個圖形，在運動的過程中，原圖形上的所有點都繞一個固定的點，往同一個方向轉變同一個角度，圖形的這種變化運動，就叫做圖形的旋轉，而這個圍繞固定位置轉動的點叫做旋轉中心。

從定義上，我們可以提取到圖形旋轉的三要素：（1）旋轉的方向。（2）旋轉的中心。（3）旋轉的角度。因此在進行教學時，應該提醒學生解題時注意這三要素。

例2.在Rt△ABC中，斜邊AB=4，∠B=60°，將△ABC繞點B旋轉60°，頂點C運動的路線長是多少？

解析：Rt△ABC繞點B旋轉60°的過程，線段BC掃過的圖形是一個圓心角為60°、半徑為2的扇形，點C運動的路線就是一條弧，弧長為π。

對于圖形的旋轉，我們同樣可以通過在方格紙中畫出圖形再根據其定義得其相應旋轉后的圖形之后，觀察前后圖像的變化與相似之處，此舉非常直觀地表現出旋轉的一些特性：

1.圖形經過旋轉得到的圖形與原圖形全等。

2.對應點到旋轉中心的距離相等。

3.旋轉的角度就是任何一對應點與旋轉中心的連線所成的角度。

除此之外，還有一個比較具有特質的定義是：如果一個圖形繞著某一點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個旋轉的點的位置叫做對稱中心。

三、圖形的翻折

在新課標的教材中，翻折被定義為：把一個圖形按某一條直線翻折180°后所形成的新的圖形變化就是翻折。

在解決這類問題的時候，只需注意這幾點：（1）在翻折前后兩個圖形是完全一樣的。（2）對應點所連線段的垂直平分線就是它們的對稱軸。在中考考查三大圖形的運動時，掌握其特性是解題的秘訣。

例3.在圓柱形紙杯外側有一只小昆蟲，從A點到杯內B點去吃食物，而從A點沿母線到杯口C的長度為5厘米，且B點沿母線到杯口D的長度為3厘米，C、D兩點之間的杯口弧長為6厘米，如果小昆蟲想要以最快的速度吃到食物，請問小昆蟲爬行的路程是多遠？

解析：在這一題中我們需要將圓柱形杯側面展開，作如上圖所示的CD=6cm，且作點B關于杯口的對稱點F，則DF=DB=3cm，通過延長AC到E，使得CE=3cm，則AE=5+3=8cm。

又由線段公理可知，A到B的最短距離為AF的長。由勾股定理得，AF=10cm。在這一題中充分體現了其對稱圖形特性掌握的重要性，不論在平時的圖形運動中，還是在幾何圖形問題的考試中，無疑是一個重要的思路。

四、坐標中圖形的運動

一般而言，在解決幾何問題時，只需要將圖形間的關系理清，然后運用相應的幾何定理就能把幾何問題輕松解決。但有時我們會發現在一些特殊的幾何問題，只通過幾何定理來思考解決問題是冗長甚至無從下手，這時候我們就應該運用另一種數形結合的方法——坐標，將幾何問題放到坐標中往往能夠化繁為簡，輕松地解決問題。

那么，如何將圖形與坐標結合？這就需要一個媒介——直角坐標系。

什么叫做直角坐標系呢？浙教版教材中是這樣定義的：平面直角坐標系是由在同一個平面上互相垂直且又有公共原點的兩條數軸組成的，我們稱其為直角坐標系。一般來說，兩條數軸，一條位于水平位置，另一條位于垂直位置，同時我們一般會取向右或向上的方向作為兩條數軸的正方向。位于水平位置的數軸叫做x軸或橫軸，位于垂直位置的數軸叫做y軸或縱軸，x軸y軸合起來就叫做坐標軸，它們重合部分的原點O就稱為直角坐標系的原點，而以點O為原點的平面直角坐標系記為平面直角坐標系

xOy。而且坐標軸有著這樣的幾個特性：（1）兩條坐標軸是互相垂直的。（2）兩條坐標軸的原點（O）重合于一點。（3）一般取坐標軸的向右、向上為正方向標上數字。（4）兩個坐標軸之間的單位長度是相同的。

那么在直角坐標系中解決圖形運動的問題，就需要圖形在坐標系中有“位置”，這個“位置”就是圖形在直角坐標系中的坐標。想要將兩者之間的聯系弄清就需要知道以下這幾點：（1）在直角坐標系中，能夠將一個圖形經過坐標軸對稱之后，得到新的圖形，并且能夠根據原圖形的坐標寫出對稱之后的圖形的坐標，這在坐標系中解決幾何問題是很重要的。（2）能夠根據一個已知的圖形坐標將其沿坐標軸（x軸或y軸）的方向運動后得到圖形寫出它的坐標，并理清前后變化圖形之間的關系。

無論從教材內容上看還是考試中題目的考查，為了使學生能夠對數學有著探索的熱情，初中數學教學的思想就需要不斷創新改變，讓學生能夠有一個正確的學習態度，并且找到適合自己的學習方法。這更加需要進一步開發初中數學教學中數形結合的思想，將圖形的運動觀念更好地體現出來，讓教師與學生有更多的溝通交流，活躍學生的解題思維，使得學生有更進一步學習的

目標。

參考文獻：

[1]陳培培.數學實驗，讓課堂更精彩[J].中學數學，2016.

[2]徐偉健，吳冬琴.例談生動滲透數學思想[J].教學與管理，2009.

編輯 魯翠紅