立體幾何中探究性問題

謝炳劍

立體幾何的探究、存在性問題是一類很好的問題，通過解決這類問題，學生能很快地深入理解立體幾何中平行垂直的判定定理和性質定理，對培養學生的空間想象能力、邏輯推理能力有很大的幫助.解決立體幾何中的開放探索性問題，常常借助空間概念轉化為平面幾何問題的探究，或將運動觀念化歸為特殊位置確定解決，或將幾何中的位置關系轉化為函數與方程問題，其關鍵還是化歸思想的滲透.

一、利用平行的判定定理和性質定理進行轉化

例1 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，在棱AC上找點N使平面AB1M∥平面BC1N.

解：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M=AM，平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四邊形ANC1M為平行四邊形，

∴AN=C1M= A1C1= AC，∴N為AC的中點.

反思感悟：對于探索性問題，一是可直接運用題中的條件，結合所學過的知識探求；二是可先猜想，然后證明猜想的正確性.

二、利用線面垂直的判定定理進行轉化

例2 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF= 時，CF⊥平面B1DF.

解：由已知得B1D⊥平面AC1，

又∵CF？奐平面AC1，∴B1D⊥CF，

故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF.

設AF=x（0

又∵CD2=a2+9a2=10a2，∴10a2=x2+4a2+a2+（3a-x）2，解得x=a或2a.故答案為a或2a.

反思感悟：線面垂直化歸為平面幾何中的兩直線垂直的探究，及從結論出發的逆向推理是關鍵.

三、利用線面角的概念進行轉化

例3 如圖，在△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2.將△BAO沿AO折起，使B點與圖中B′點重合.當三棱錐B′-AOC的體積取最大時，試問在線段B′A是否存在一點P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為 ？證明你的結論，并求AP的長.

解：在平面B′OC內，作B′D⊥OC于點D，因為B′D⊥OA，

又∵OC∩OA=O，∴B′D⊥平面OAC，即B′D是三棱錐B′-AOC的高，

又∵B′D≤B′O，∴當D與O重合時，三棱錐B′-AOC的體積

最大，連接OP，在（1）的條件下，易證OC⊥平面B′OA，

∴CP與平面B′OA所成的角為∠CPO，

∴sin∠CPO= = ，∴CP= .

又∵在△ACB′中，sin∠AB′C= = ，

∴CP⊥AB′，∴B′P= = ，∴AP= .

反思感悟：本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面角等基礎知識.

四、利用二面角的平面角的概念進行轉化

例4 如圖，在幾何體SABCD中，AD⊥平面SCD，BC∥AD，AD=DC=2，BC=1，又∵SD=2，∠SDC=120°.試確定SC上是否存在一點E，使二面角S-AB-E的平面角的大小為30°？

解：如圖，過點D作DC的垂線交SC于F，以D為原點，分別以DC，DF，DA為x，y，z軸建立空間直角坐標系.

∵∠SDC=120°，∴∠SDF=30°，又∵SD=2，則點S到y軸的距離為1，到x軸的距離為 .則有D（0，0，0），S（-1， ，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）.

設 =λ ，所以 - =λ（ - ），∴ = （ -

λ ）

E ， ，0，∴ = ， ，-2，∵ =

（2，0，-1）

設平面EAB的法向量為 =（x，y，1），則

· =2x-1=0 · = x+ y-2=0？圯x= y=

∴ = ， ，1= （ ，5-2λ，2 ），取 =（ ，5-2λ，2 ）

因為平面SAB的法向量為 =（ ，5，2 ）

∴cos< ， >= = = ，

化簡得λ2+10λ-20=0，解得λ=-5±3 ，

經檢驗，當λ=-5-3 <0時，二面角S-AB-E的大小為30°.

反思感悟：本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面角等基礎知識.同時考查空間向量的應用，考查空間想象能力和運算求解能力.

立體幾何中的探索性問題有利于考查學生的歸納、推理、論證等各方面的能力，也有利于創新意識的培養。常從條件出發，探索出要求的結論是什么。另外，還有探索的結論是否存在，常假設結論存在，再尋找與條件相容的結論。

編輯 李建軍