《“楊輝三角”與二項式系數的性質》合作學習案例

李延龍

一、教學內容分析

本節是在學生學習了二項式定理的基礎上，對二項式系數這組特定的組合數的性質進行研究。本節內容對學生認識組合數和組合數的應用計算有著重要的作用，也為后續的微分方程打下了基礎。

二、設計思路

本節課設計是以學生合作小組學習為模式，學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究。通過恰時恰點的問題引入、引申，展開對“楊輝三角”和函數圖象性質的認識，在探究證明性質中理解知識，螺旋上升地學習核心數學知識和滲透重要數學思想。

三、教學目標

從函數的角度探究二項式系數的性質，認識組合數并會計算應用。體會用函數知識研究問題的方法，培養學生的觀察能力和歸納推理能力。

四、教學重難點

結合函數圖象，理解增減性與最大值時，根據n的奇偶性確定相應的分界點；利用賦值法證明二項式系數的性質。

五、教學過程設計

1.課前探究展示

【活動】各小組代表發言，從不同角度展示對“楊輝三角”的認識、應用以及其包含的規律。

【設計意圖】通過對“楊輝三角”的自學探究，弘揚我國古代數學文化，為二項式系數性質的學習做準備。

2.探究二項式系數性質

【活動】學生以小組為單位，展示找出的二項式系數與楊輝三角的關系。

【教師小結】（a+b）n展開式的二項式系數就是楊輝三角中的

第n行，其具有對稱性、增減性與最大值。這一點和楊輝三角同行中的規律相同。

【設計意圖】讓學生理解二項式系數具有楊輝三角同行中的規律。

3.再探二項式系數——對稱性、增減性與最大值

【活動】問題一：（a+b）n展開式的二項式系數C0n，C1n，C2n，…，Crn可以看成是以r為自變量的函數f（r）=Crn嗎？它的定義域是什么？

問題二：畫出n=6和7時函數f（r）=Crn的圖象，并觀察分析他們是否具有對稱性、增減性與最大值。

問題三：結合楊輝三角和所畫函數圖象說明二項式系數的性質。

【設計意圖】運用函數的思想畫圖并分析圖像來探究二項式系數的性質，鍛煉學生運用數形結合的數學思想解決問題。通過合作探究二項式系數的對稱性、增減性和最值問題，提高學生的合作意識。

4.三探二項式系數——系數和的探究

【活動】問題一：計算（a+b）n展開式的二項式系數的和（n=1，2，3，4，5，6）。

問題二：猜想（a+b）n展開式的二項式系數的和。

問題三：怎樣證明猜想成立。

問題四：C0n-C1n+C2n-C3n+C4n-C5n+…=？

【設計意圖】通過四個不同角度的問題的設計，讓學生在解決問題的過程中體會思維的層層升華，感受知識間的內在聯系，從深度和廣度上體驗數學知識的聯系。

5.小試牛刀——課堂練習

【活動】練習1：（a+b）n的展開式中的第四項和第八項的二項式系數相等，則n等于？

練習2：（2x-3y）11的展開式中二項式系數取得最大值的是第幾項。

【設計意圖】通過課堂練習，促進學生對二項式系數的性質的掌握。

6.課后延伸探究

【活動】布置任務，繼續尋找楊輝三角中更多的奧妙。

【設計意圖】鍛煉學生研究性學習的能力，讓學生充分開發課本資源。

六、教學反思

本節課是合作學習模式在課堂中的應用。教師通過精心設計層層遞進的問題，學生動口、動腦并動手合作探究了二項式系數的性質。從小試牛刀環節可以看出學生對本節課內容的掌握是不錯的。唯一不足的是，學生展示和活動有些時間緊張，要在時間規劃上再合理安排一下。