《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》合作學(xué)習(xí)案例

李延龍

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)上，對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究。本節(jié)內(nèi)容對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)組合數(shù)和組合數(shù)的應(yīng)用計(jì)算有著重要的作用，也為后續(xù)的微分方程打下了基礎(chǔ)。

二、設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課設(shè)計(jì)是以學(xué)生合作小組學(xué)習(xí)為模式，學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究。通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引入、引申，展開對(duì)“楊輝三角”和函數(shù)圖象性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，在探究證明性質(zhì)中理解知識(shí)，螺旋上升地學(xué)習(xí)核心數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透重要數(shù)學(xué)思想。

三、教學(xué)目標(biāo)

從函數(shù)的角度探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)組合數(shù)并會(huì)計(jì)算應(yīng)用。體會(huì)用函數(shù)知識(shí)研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

結(jié)合函數(shù)圖象，理解增減性與最大值時(shí)，根據(jù)n的奇偶性確定相應(yīng)的分界點(diǎn)；利用賦值法證明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.課前探究展示

【活動(dòng)】各小組代表發(fā)言，從不同角度展示對(duì)“楊輝三角”的認(rèn)識(shí)、應(yīng)用以及其包含的規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)“楊輝三角”的自學(xué)探究，弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，為二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

2.探究二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

【活動(dòng)】學(xué)生以小組為單位，展示找出的二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系。

【教師小結(jié)】（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)就是楊輝三角中的

第n行，其具有對(duì)稱性、增減性與最大值。這一點(diǎn)和楊輝三角同行中的規(guī)律相同。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生理解二項(xiàng)式系數(shù)具有楊輝三角同行中的規(guī)律。

3.再探二項(xiàng)式系數(shù)——對(duì)稱性、增減性與最大值

【活動(dòng)】問題一：（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C0n，C1n，C2n，…，Crn可以看成是以r為自變量的函數(shù)f（r）=Crn嗎？它的定義域是什么？

問題二：畫出n=6和7時(shí)函數(shù)f（r）=Crn的圖象，并觀察分析他們是否具有對(duì)稱性、增減性與最大值。

問題三：結(jié)合楊輝三角和所畫函數(shù)圖象說明二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用函數(shù)的思想畫圖并分析圖像來探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題。通過合作探究二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、增減性和最值問題，提高學(xué)生的合作意識(shí)。

4.三探二項(xiàng)式系數(shù)——系數(shù)和的探究

【活動(dòng)】問題一：計(jì)算（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和（n=1，2，3，4，5，6）。

問題二：猜想（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和。

問題三：怎樣證明猜想成立。

問題四：C0n-C1n+C2n-C3n+C4n-C5n+…=？

【設(shè)計(jì)意圖】通過四個(gè)不同角度的問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)思維的層層升華，感受知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從深度和廣度上體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

5.小試牛刀——課堂練習(xí)

【活動(dòng)】練習(xí)1：（a+b）n的展開式中的第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n等于？

練習(xí)2：（2x-3y）11的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值的是第幾項(xiàng)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過課堂練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的掌握。

6.課后延伸探究

【活動(dòng)】布置任務(wù)，繼續(xù)尋找楊輝三角中更多的奧妙。

【設(shè)計(jì)意圖】鍛煉學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生充分開發(fā)課本資源。

六、教學(xué)反思

本節(jié)課是合作學(xué)習(xí)模式在課堂中的應(yīng)用。教師通過精心設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問題，學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦并動(dòng)手合作探究了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。從小試牛刀環(huán)節(jié)可以看出學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握是不錯(cuò)的。唯一不足的是，學(xué)生展示和活動(dòng)有些時(shí)間緊張，要在時(shí)間規(guī)劃上再合理安排一下。