抓住根本分類思考

張安嫻

摘 要：通過研究相似三角形判定的方法，歸結出兩類不同的問題，掌握分類標準分析圖形。希望學生能通過有效的學習，掌握分類要求，培養圖形分析的能力，對這類的數學問題找到行之有效的方法，使相似問題的學習變得輕松，掌握牢固。

關鍵詞：相似三角形；對應；分類

相似三角形是初中平面幾何部分的重點，也是難點。題目條件和圖形的千變萬化，往往成為學生判定相似三角形的最大障礙。在問題分析中，常常有些問題出現多解的情況，為此學生感到非常困惑，難以把握。因此，在學生掌握了相似三角形的基本性質和判定之后，設計了一堂專題學習課，希望通過本節課的學習，學生能從問題分析中掌握解決相似三角形多解問題的基本方法，學會分類思考，把復雜問題轉變成基本題型，從而讓以前難以解決的問題得到根本的解決。

環節一：邊的分類

例題1：已知△ABC三邊長分別是4，6，8，△DEF的一條邊為12，要使△DEF與△ABC相似，則另兩邊的長分別是多少？

問題分析：要使△DEF與△ABC相似，根據三角形相似的判定定理，相似三角形三邊對應成比例。但是根據現有條件，并不清楚△DEF的這條邊12與△ABC的哪條邊對應。因此根據相似定理以及對條件的分析，需要根據邊的對應做分類討論：

環節二：角的分類

例題2：如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，點D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一點E，使△ADE與原三角形相似，則AE等于多少？

問題分析：△ADE與△ABC相似，已經具備了什么條件呢？∠A是兩個三角形的公共角，如果兩個三角形相似，根據相似三角形的判定定理：兩邊對應成比例及夾角相等，那么還需要找到∠A的兩條鄰邊對應成比例，因此這個問題依然可以通過對邊的分類找到解決問題的方法：若AD與AB成比例，則AE與AC成比例，從而求出AE；若AD與AC成比例，則AE與AB成比例，從而求出AE。但換個角度思考，判定兩個三角形相似除了上述方法，還可以用“兩角對應相等”這一判定方法解決問題，因此抓住“角”進行分類：若∠AED=∠B，則△AED∽△ABC；若∠ADE=∠B，則△ADE∽△ABC，然后根據相似三角形對應邊成比例，計算AE的長度。

例題3：如圖，若△ADC與△CDB相似，試判斷△ABC的形狀，猜想CD與AB有何特殊的位置關系？并證明你的結論。

問題分析：這是一道難度比較大的相似問題，仔細分析條件，思考的難點在哪呢？這個問題和例1、例2 中所呈現的較為明顯的分類標準不同的是，要使△ADC與△CDB相似，缺乏任何一個已知條件，無論是邊還是角都沒有找到一組對應關系，這就讓我們學生的分類思考陷入無從下手的境況。因此如何分析解決，有層次的思考，是本道題的突破點。其實我們依然要抓住相似的本真：對應角相等來分析。下面我們通過簡單的思維導圖來幫助分析：

通過思維導圖我們不難發現問題解決的根本依然是抓住角的對應相等來進行分類，理清思路，問題就不難解決了。

縱觀一堂課所設置的兩個環節，其實就是抓住相似問題討論的最根本兩個方面：“邊和角”。通過三個例題，希望學生能理清分類標準，有層次地思考、討論，抓住本質，解決問題。學生在這樣的數學思維中很好地培養了自己的學習習慣，提升了數學素養，學習了有意義的數學。

參考文獻：

朱德全.基于問題解決的處方教學設計[J].高等教育研究，2006（5）.