抓住根本分類思考

張安嫻

摘 要：通過研究相似三角形判定的方法，歸結(jié)出兩類不同的問題，掌握分類標(biāo)準(zhǔn)分析圖形。希望學(xué)生能通過有效的學(xué)習(xí)，掌握分類要求，培養(yǎng)圖形分析的能力，對(duì)這類的數(shù)學(xué)問題找到行之有效的方法，使相似問題的學(xué)習(xí)變得輕松，掌握牢固。

關(guān)鍵詞：相似三角形；對(duì)應(yīng)；分類

相似三角形是初中平面幾何部分的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。題目條件和圖形的千變?nèi)f化，往往成為學(xué)生判定相似三角形的最大障礙。在問題分析中，常常有些問題出現(xiàn)多解的情況，為此學(xué)生感到非常困惑，難以把握。因此，在學(xué)生掌握了相似三角形的基本性質(zhì)和判定之后，設(shè)計(jì)了一堂專題學(xué)習(xí)課，希望通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能從問題分析中掌握解決相似三角形多解問題的基本方法，學(xué)會(huì)分類思考，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變成基本題型，從而讓以前難以解決的問題得到根本的解決。

環(huán)節(jié)一：邊的分類

例題1：已知△ABC三邊長分別是4，6，8，△DEF的一條邊為12，要使△DEF與△ABC相似，則另兩邊的長分別是多少？

問題分析：要使△DEF與△ABC相似，根據(jù)三角形相似的判定定理，相似三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。但是根據(jù)現(xiàn)有條件，并不清楚△DEF的這條邊12與△ABC的哪條邊對(duì)應(yīng)。因此根據(jù)相似定理以及對(duì)條件的分析，需要根據(jù)邊的對(duì)應(yīng)做分類討論：

環(huán)節(jié)二：角的分類

例題2：如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，點(diǎn)D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一點(diǎn)E，使△ADE與原三角形相似，則AE等于多少？

問題分析：△ADE與△ABC相似，已經(jīng)具備了什么條件呢？∠A是兩個(gè)三角形的公共角，如果兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定定理：兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等，那么還需要找到∠A的兩條鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，因此這個(gè)問題依然可以通過對(duì)邊的分類找到解決問題的方法：若AD與AB成比例，則AE與AC成比例，從而求出AE；若AD與AC成比例，則AE與AB成比例，從而求出AE。但換個(gè)角度思考，判定兩個(gè)三角形相似除了上述方法，還可以用“兩角對(duì)應(yīng)相等”這一判定方法解決問題，因此抓住“角”進(jìn)行分類：若∠AED=∠B，則△AED∽△ABC；若∠ADE=∠B，則△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，計(jì)算AE的長度。

例題3：如圖，若△ADC與△CDB相似，試判斷△ABC的形狀，猜想CD與AB有何特殊的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論。

問題分析：這是一道難度比較大的相似問題，仔細(xì)分析條件，思考的難點(diǎn)在哪呢？這個(gè)問題和例1、例2 中所呈現(xiàn)的較為明顯的分類標(biāo)準(zhǔn)不同的是，要使△ADC與△CDB相似，缺乏任何一個(gè)已知條件，無論是邊還是角都沒有找到一組對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就讓我們學(xué)生的分類思考陷入無從下手的境況。因此如何分析解決，有層次的思考，是本道題的突破點(diǎn)。其實(shí)我們依然要抓住相似的本真：對(duì)應(yīng)角相等來分析。下面我們通過簡單的思維導(dǎo)圖來幫助分析：

通過思維導(dǎo)圖我們不難發(fā)現(xiàn)問題解決的根本依然是抓住角的對(duì)應(yīng)相等來進(jìn)行分類，理清思路，問題就不難解決了。

縱觀一堂課所設(shè)置的兩個(gè)環(huán)節(jié)，其實(shí)就是抓住相似問題討論的最根本兩個(gè)方面：“邊和角”。通過三個(gè)例題，希望學(xué)生能理清分類標(biāo)準(zhǔn)，有層次地思考、討論，抓住本質(zhì)，解決問題。學(xué)生在這樣的數(shù)學(xué)思維中很好地培養(yǎng)了自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)習(xí)了有意義的數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

朱德全.基于問題解決的處方教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高等教育研究，2006（5）.