可逆矩陣算法研究

宋曉輝

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451150)

0 引言

矩陣?yán)碚摬粌H在數(shù)值分析、微分方程、控制論等數(shù)學(xué)學(xué)科有廣泛的應(yīng)用，而且在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域也起著重要的作用.矩陣的可逆在矩陣?yán)碚撝姓加泻苤匾牡匚唬跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，矩陣的可逆只是從理論上闡述了其方法，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，理論與實(shí)際結(jié)合更加密切，求逆矩陣的方法也在不斷更新，所以我們有必要進(jìn)一步去研究學(xué)習(xí)，來(lái)豐富發(fā)展逆矩陣的知識(shí).

1 可逆矩陣的求法

1.1 利用線形方程組求逆矩陣

若n階矩陣A可逆，則AA-1=E，將A-1和E以列分塊，

Aξ1,ξ2,···,ξn=ε1,ε2,···,εn

(1)

(i=1,2,...,n)的解.

同理可求得

故

1.2 行列同時(shí)變換法

解

即

所以

1.3 分塊矩陣法[1]

則

所以

1.4 Hamilton-Caylay定理求逆矩陣

Hamilton-Caylay

定理[3 ]設(shè)A是n階方陣，A的特征多項(xiàng)式為fλ=λE-A，則

設(shè)n階方陣A的特征多項(xiàng)式

fλ=A-λE=C0+C1λ+···+Cnλn，

令λ=0，得A=C0.可見(jiàn)A可逆的充要條件是C0≠0.當(dāng)A可逆時(shí)，由

fA=C0E+C1A+···+CnAn，

得

所以

2 可逆矩陣的應(yīng)用

可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用[4 ].保密通信是信息社會(huì)非常重要的課題，其中基于加密技術(shù)的加密保密通信模型是最基本、最重要的一種.

2.1 加密保密通信模型

圖1 基于加密技術(shù)的保密通信模型

2.2 可逆矩陣的應(yīng)用

密文能否還原成明文決定了加密技術(shù)是否有效.設(shè)矩陣C=AB，其中矩陣B未知，若矩陣A可逆，則方程有唯一解B=A-1C.因此，可逆矩陣可以應(yīng)用于加密技術(shù).

2.2.1 加密算法

加密時(shí)，采用下面的矩陣乘法:C=BA或C=AB.

若設(shè)加密密鑰矩陣A為

明文矩陣B為

則密文矩陣

2.2.2 解密算法

解密時(shí)，采用下面的矩陣乘法：B=CA-1，B=A-1C其中，A-1為A的逆矩陣.

如加密矩陣A為

則解密矩陣A-1為

若密文矩陣

則明文矩陣

[1]陳瑞,王星星.矩陣可逆的若干判別方法研究[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2017,34(2):69-70.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2014:156.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003:378.

[4]熊小兵.可逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2017,23(3):108-109.