巧設數學問題 引領探究活動

徐婧 劉銘 劉圣良

教學內容：人教版五年級上冊第六單元第一課時86～88頁。

教學目標：

1.理解并掌握平行四邊形的面積計算公式，會計算平行四邊形的面積。

2.通過操作、觀察、比較等活動，初步認識轉化的方法，培養學生的觀察、分析、概括、推理能力、發展學生的空間觀念。

3.感受數學與生活的緊密聯系，體驗學習數學的樂趣。

教學重點：探索并掌握平行四邊形的面積計算公式，并能正確地計算平行四邊形的面積。

教學難點：探究平行四邊形面積計算公式的推導過程。

教具學具：課件、若干個平行四邊形、剪刀。

教學流程：

一、 創設情境，生成問題

師：同學們，這是一幅校園門前的街道平面圖，觀察這幅平面圖，你發現了哪些我們學過的平面圖形？

生1：斑馬線是長方形。

生2：屋頂是梯形。

生3：指示牌是三角形。

生4：校門前的兩個花壇一個是長方形，另一個是平行四邊形。

師：你們真是火眼金睛，找到這么多的平面圖形。要想知道這兩個花壇誰大，就要比較它們的面積，我們可以用什么方法比較出這兩個圖形的面積呢？

生1：我可以把圖形放到格子紙上，數一數每個圖形都占了幾個格子，格子多的面積就大。

師：你這個方法真不錯，利用了我們以前學習的工具——方格紙，解決了難題。

生2：我想把兩個圖形放在一起，多出來的那個面積就大。

師：把兩個圖形重疊在一起比較，這種方法也不錯，一會兒我們動手試一試。

生3：老師，我想量一量正這個圖形的邊長，再想辦法算一算面積。

師：這是我們解決這類問題的一般思路，可是量出了邊長就可以算出面積嗎？怎么算呢？這節課我們可以研究一下。

師：你們的方法可真多，那我們就按照同學們的想法看看能不能比較出這兩個圖形的面積。

二、? ?探索交流，解決問題

（一）數格子，提出猜想

1.出示活動一的要求。

（1）可以數方格（一個方格代表1m2，不滿一格的都按半格計算），也可以畫一畫、拼一拼，數出圖形的面積。

（2）填寫表格。

學生自主學習，完成學習單一。

2.交流反饋，提出“轉化”。

方法一：直接數

師：你是怎么數的？為什么這樣數？（生匯報，師填寫表格。）

生：我是一個一個數的，長方形的長是6個格子，寬是4個格子，所以面積就是24個格子。平行四邊形的底是6，高是4，面積我是把不滿一個的都按一格去計算，然后一個一個地數，就是24個格子。

師：這位同學是把不滿一格的都按一格去計算，得出了圖形的面積。還可以怎樣做，能夠運用更精確的方法得出圖形的面積呢？

方法二：割補數

生1：將平行四邊形沿著高剪下左側的三角形再移到右邊拼到缺少的那部分，就將平行四邊形轉化成了長方形。

師：老師特別贊同你的用詞——轉化。掌聲送給這位同學。你非常有數學思想。

生2：從中間分割成兩個梯形，旋轉之后也將平行四邊形轉化成了長方形從而得到平行四邊形的面積。

生3：將不滿一格的拼在一起湊成一個整格，雖然沒有變成長方形，但是也變成了規則圖形，也可以精確地得到圖形的面積。

師：我們通過這幾種方法都得出了這兩個圖形的面積，回想剛才拼數的過程，觀察圖表，你發現了什么？

生1：我發現平行四邊形和長方形的面積相等。

生2：我通過表格發現平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，面積當然也相等。

師：剛才我們是在格子紙上比較出了兩個圖形的面積，如果沒有格子紙我們怎么辦呢？，能不能將平行四邊形轉化成我們學過的圖形再來推導出面積公式呢？

（二）動手實驗，驗證猜想

1.出示活動二要求：每位同學手中有兩個完全相同的平行四邊形紙片，可以選擇其中的一個進行操作。

（1）畫一畫，剪一剪：你是沿著哪條線剪切的，先畫下來。

（2）移一移，拼一拼：看看能不能將平行四邊形轉化成我們學過的圖形。

（3）想一想：觀察原來的平行四邊形和轉化后的長方形，你發現它們之間有哪些等量關系？

（4）說一說：平行四邊形的（? ? ）與長方形的（? ? ）相等

2.交流反饋，突出方法。

師：這里提出了幾個要求？

生：我們可以先把高或者要剪的那條線畫下來，再動手剪，最后將剪下來的部分移動拼補。（找幾位學生上黑板演示自己的剪法，師巡視期間激發生思考不同方法。）

師：看明白了嗎？有問題嗎？都沒有啊，我有：你是沿著哪兒剪的？我看下面有個同學隨便拿起來就剪。

生1：沿著高剪、拼。

生2：從中間剪開（高）。（師追問：這也是高嗎？引發學生思維的碰撞。）因為平行四邊形有無數條高，從而得出結論：只要沿著高剪切，就可以將平行四邊形轉化成長方形。

生3：我受剛才割補法的啟發，找出斜著兩條邊的中點，把它剪開，再拼補上，也可以把平行四邊形轉化成長方形。

生4：老師，我把這個平行四邊形旋轉一下，找到了這個平行四邊形的另一組底和高，沿著高剪切，也可以把平行四邊形轉化成長方形。

師：這么多種方法，同學們可真是善于思考啊！老師佩服你們的數學思考能力。

師：觀察原來的平行四邊形和轉化后的長方形，你發現它們之間有哪些等量關系？

生：平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，面積也相等。（貼板貼。）

師：我們觀察會發現這幾種方法幾乎都是將平行四邊形沿著高剪切開再拼成我們已經學過的圖形。那是不是所有的平行四邊形都可以沿著高剪拼成長方形呢？我們一起來看一看。（課件展示。）

師：果然和同學們所想的一樣，平行四邊形沿著高通過剪、拼、移的方法都可以轉化成了我們學過的長方形，把掌聲送給我們自己。

（三）推導公式

師：通過平行四邊形和長方形各部分之間的等量關系你能推導出平行四邊形的面積公式嗎？

師：先獨立想一想，然后小組內說一說推導過程。

生：因為長方形的面積和平行四邊形的面積相等，平行四邊形的高和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，而長方形面積等于長乘寬，所以平行四邊形面積等于底乘高。

師：用字母表示平行四邊形的面積? ?S=ah。

師：這就是我們這節課要學習的平行四邊形面積。（板貼課題。）

（四） 利用公式解決問題

師：現在我們用平行四邊形的面積公式再來求一求這塊平行四邊形的花壇的面積是多少。

（師課件演示過程，并強調書寫格式。先寫公式，再代入數據求值。）

三、鞏固練習，應用提高

（1）口算面積，對應底上的高

做一做

（2） 解決問題

（3）等底等高的平行四邊形面積相等。

四、數學文化介紹

師：其實古代數學家劉徽在解決圖形的面積時，就用到了我們今天所用的“剪拼”的方法，在當時叫做“割補術”。這一直是中國古代數學推導圖形面積公式的傳統方法。

微課介紹：劉徽，在中國數學史上有著相當重要的歷史地位。他解決了一個又一個的數學難題。用割補術系統地給出了各種圖形面積公式的證明。

一個平面圖形由一處移至他處，面積不變。若把圖形分割、移補，面積還是保持不變的。因而圖形移置前后各個面積的和、差有簡單的相等關系。立體圖形也是這樣。

這種以盈補虛出入相補的證明方式從劉徽之后，一直是中國古代數學推導圖形面積公式的傳統方法。

三角形、梯形的面積可不可以也利用出入相補的原理推導而來呢？這就是留給同學們課后思考的問題。

評析：

本節課，徐老師采用問題驅動的方式，巧妙設計數學探究活動，讓學生經歷了猜想——操作驗證——推導結論的科學探究過程，很好地培養了學生推理能力和空間觀念。同時，教學中能夠關注學生的差異，注重啟發、互動、合作交流，學生的主體地位和教師的主導作用得到體現。下面對本節課簡要評析如下：

1.巧設核心問題，明晰課堂教學主線。

“問題是思維的心臟”，每一節課都要有核心的問題引領學生的數學思考，才能使課堂煥發生機活力、激活學生思維碰撞的火花。本節課中，徐老師聚焦課堂教學的重難點，巧妙設計問題串引領課堂教學主線。課伊始，徐老師引領學生從生活情境中提煉出問題：怎樣比較長方形和平行四邊形的面積？然后，順應學生的思維，呈現兩個操作活動：數格子和剪拼活動。再聚焦平行四邊形，突出兩個核心問題：如何將平行四邊形轉化為長方形？平行四邊形和拼成的長方形有什么等量關系？這兩個問題的順利突破，為后續推導平行四邊形的面積公式提供了有利保障。本節課中教師對數學問題的設計精巧，善于捕捉學生的生成，進行有效引導和追問，使課堂各環節銜接緊湊，學生活動充滿濃濃的“探究味”。

2.注重策略多樣化，滲透 “轉化”思想。

《數學課程標準（2011版）》指出：數學課程內容要符合學生的認知規律，不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。我們知道，平行四邊形面積推導中核心的數學思想方法是“轉化”思想。如何讓學生自己發現并運用這一思想方法去探究平行四邊形的面積是教學的難點。本節課中，徐老師為學生提供充分的探究空間，數平行四邊形格數的時候，鼓勵學生運用多種方法數格子。當第一個學生按照不足一格按一格數出面積后，教師追問還有沒有更準確的方法。在教師的引導下，學生將平行四邊形的一個角的格移到另一邊，湊成一個長方形，長方形一行有6個格，有4行，就是24個滿格，長方形的面積就是24平方厘米，所以平行四邊形的面積也是24平方厘米。教師抓住這名學生所提到的“轉化”一詞，實時解讀“轉化”的數學思想，引導學生呈現出多種運用“轉化”割補數的方法。這個環節的處理，讓學生體會到直接數格子具有一定的局限性和“轉化”成整格來數的優勢，同時，也初步體會到長方形和平行四邊形的聯系，為后續探究平行四邊形的面積做好鋪墊。

3.豐富從“特殊”到“一般”體驗，培養學生推理能力。

推理能力作為《數學課程標準（2011版）》中十個核心概念之一，是學生必須具備的數學素養。而在小學階段，數學推理多采用舉例子說理的方式，這種推理需要學生多角度舉例子，通過歸納和類比才能得出一般性的結論。徐老師在驗證猜想的活動中，設計了剪一剪、移一移、拼一拼的動手操作活動，引導學生呈現多種方法，驗證只有沿高剪才能轉化為長方形，并且利用課件動畫呈現更多的例子進行體會，然后再通過觀察、比較、分析得出長方形的長與平行四邊形的底相等，長方形的寬與平行四邊形的高相等，長方形的面積等于平行四邊形的面積。在此基礎上，得出一般性的結論。這個環節的設計，注重“體驗”，同時關注從特殊到一般的數學推理過程，培養了學生科學嚴謹的精神和數學邏輯推理能力。

當然，本節課也存在一些問題。如，數格子和驗證猜想這兩個活動銜接不夠自然，兩個活動思考的問題有重復現象。建議：兩個活動應該有側重，第一個活動后，教師應該小結學生發現的數學問題。第二個活動要淡化發現等量關系，而要突出平行四邊形面積中高的理解，同時要驗證前面活動中發現的等量關系。