對等差數(shù)列與等比數(shù)列的幾點探討

姚祥利

【摘 要】站在高等數(shù)學(xué)的角度上看等差數(shù)列與等比數(shù)列，探討這兩個特殊數(shù)列的聯(lián)系。將本來離散的問題轉(zhuǎn)化成連續(xù)問題研究，用生成函數(shù)方法將數(shù)列構(gòu)造成一個整體，用極限方法求解無限數(shù)列的相關(guān)問題。

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列；等比數(shù)列；生成函數(shù)

中圖分類號： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2017）35-0019-002

Discussion on Pairs of Almost Difference and Equal Sequence

YAO Xiang-li

（Shou County， Huainan City， Anhui Province Elementary School， Hefei， Anhui 230000， China）

【Abstract】From the perspective of advanced mathematics， we can see the relationship between these two special sequences by looking at the arithmetic progression and the arithmetic progression. The originally discrete problem is transformed into a continuous problem study. The generating function method is used to construct the sequence as a whole， and the limit method is used to solve the problem of infinite series.

【Key words】Equal number series； Equal ratio series； Generate function

引例：圓木堆放成橫截面為梯形，頂層有3根，底層有8根，每相鄰兩層相差1根，共6層，問這堆圓木有幾根？

解法一：把每根圓木看成直徑為1，這樣堆積成的是一個上底為3，下底為8，高是6的梯形，求有多少根圓木可以看成求這個梯形面積：

S=■=33.

解法二：一個個相加

3+4+5+6+7+8=33.

在本題中我們可以發(fā)現(xiàn)：等差數(shù)列求和公式中的“首項”與“末項”相當(dāng)于梯形面積公式中的“上底”與“下底”，“項數(shù)”相當(dāng)于梯形的“高”.梯形面積公式與等差數(shù)列求和公式進(jìn)行了完美的對接.

問題1：等差數(shù)列為離散型的，而梯形面積是連續(xù)的，為什么兩者之間的類型不同卻存在著相似性？它們之間的聯(lián)系該如何建立？

已知等差數(shù)列：an=a1+（n-1）d，n∈N+.

不妨設(shè)d>0，故可建立寬為1，高為an，（n∈N+）的長方形小條，并建立坐標(biāo)系，見圖1.

此時，每個長方形小條的面積正好對于其高an，故等差數(shù)列an=a1+（n-1）d，n∈N+前n項求和可構(gòu)造成n個長方形小條的面積求和.

當(dāng)連接每個長方形小條上端中點并延長時，可得到一條直線y=a1-■+xd而此時，易發(fā)現(xiàn)長方形小條的面積總和等于梯形ABCO面積.

這時我們已將等差數(shù)列求和構(gòu)造成面積問題.這個面積如何求？有兩種方法：一種是用梯形面積公式，一種是用積分的方法.

方法一：利用用梯形面積公式：

|OA|=a1-■，|BC|=an+■（n>1），|OC|=n，

SABCD=■·|OC|=■·n=■·n.

方法二：因為y=a1-■+xd為連續(xù)的函數(shù)，故可積，

S=？蘩■■（a1-■+xd）dx=[（a1-■）x+■x2d]|■■=na1+■d.

由方法一與方法二得到的結(jié)果即是等差數(shù)列前n項求和的求和公式，這種將離散的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成連續(xù)型面積問題是可行的.

問題2：等差數(shù)列求和公式Sn=■n中■與梯形（三角形）的中位線公式，均勻分布的期望，線段中點公式非常相似，那么它們之間是否有什么聯(lián)系？

對于等差數(shù)列{a1，a2，a3，…an}，公差為d.

當(dāng)n為奇數(shù)時，■（a1+an）=a■，即為a1，a2，a3，…an的中位數(shù)；

當(dāng)n為偶數(shù)時，■（a1+an）=■（a■+a■），即為a1，a2，a3，…an的兩個中位數(shù)的平均數(shù).

（1）■與梯形（三角形）的中位線公式有什么關(guān)系呢？與線段中點公式又有什么聯(lián)系呢？

圖2

在圖2中是一系列坐標(biāo)為（n，an）的點，其中an=a1+（n-1）d，n∈N+，連接這些點，可得到一條直線y=a1-d+xd.對于？坌n∈N+且n>1，有點（n，an），過該點做x軸的垂線，過（1，a1）點做x軸的垂線可得到一個梯形.其中，上底為a1，下底為an.

梯形中位線長度=■.

當(dāng)時a1=0，則上述梯形變?yōu)槿切危慈切慰煽礊樯系诪?的梯形，這種關(guān)系仍然存在.

同樣的對于點（1，a1），（n，an）構(gòu)成的線段上的中點為（■，■）.

（2）■與均勻分布的期望又有什么關(guān)系呢？

均勻分布的期望定義[1]：

設(shè)ζ～[a，b]，則Eζ=？蘩■■x.p（x）dx=？蘩■■x■dx=■.

因為ζ是連續(xù)型的隨機(jī)變量，在區(qū)間上每點的概念都是相同的，它的期望正是它的均值.

對于數(shù)列{an}來說，■也是其均值.

不管數(shù)列{an}看成是離散的點或是線段，我們都可以在n有限的條件下，找到一個穩(wěn)定的位置.endprint

問題3：等比數(shù)列求和時，n為有限數(shù)和n→∞，有無區(qū)別？

等比數(shù)列求和公式：

Sn=■，q≠1，

Sn=■=a1（1+q+q2+…+qn-1）

=>1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）.

這個等式a=1是時的一個常見的因式分解公式：

an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+…+bn-1），

且當(dāng)q∈Z，q≠1時，（1-q）|（1-qn）.

數(shù)學(xué)分析中有幾何級數(shù)（等比級數(shù)）[2]：■qn-1=1+q+q2+…+qn+….

這個幾何級數(shù)■qn-1，正是首項為1，公比為q的等差數(shù)列（無限數(shù)列）求和.

當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{an}為有限項時，我們直接可用求和公式；可若是{an}為無限數(shù)列時，我們就可以用運用部分和數(shù)列{Sn}，Sn=■ai，用級數(shù)理論[2]來求解.

故n→∞時，{an}的求和就可以轉(zhuǎn)化為■ai=■Sn=■■a1.

問題4：當(dāng)n→∞時，等比數(shù)列的求和公式與q有什么樣的關(guān)系？

S=■Sn=■■a1，

當(dāng)|q|≥1時，qn→∞（n→∞），故■a1→∞（n→∞），即S是分散的；

當(dāng)|q|<1時，qn→0（n→∞），故■a1→■a1（n→∞），即S=■；

且當(dāng)|q|<1時，我們可由洛朗展開式[3]得：1+q+q2+…=■，則S=a1（1+q+q2+…）=■.

故對于無限等比數(shù)列求和

S=∞，|q|≥1■，|q|<1.

問題5：由常數(shù)列{a，a，…}生成的函數(shù)[4]是冪函數(shù)：A（x）=a+ax+ax2+…，這個冪函數(shù)的形式與等比數(shù)列求和極其相似，那么它們之間是否存在聯(lián)系？

由于只有收斂的冪級數(shù)才有解析意義，并可以作為函數(shù)進(jìn)行各種運算，這樣就有了級數(shù)收斂性的問題[4].故此時討論的問題與問題3和問題4本質(zhì)是一樣的，主要用到收斂性.不同的是在該問題中，我們將數(shù)列{a，a，…}用冪級數(shù)A（x）=a+ax+ax2+…表示成一個整體.故當(dāng)x取值為一個常數(shù)時，冪級數(shù)A（x）即為等比數(shù)列求和.

當(dāng){a，a，…a}為有限項時，其冪級數(shù)A（x）=a+ax+ax2+…+axn-1；

當(dāng){a，a，…}為無限項時，其冪級數(shù)A（x）=a+ax+ax2+…+axn-1+…，其結(jié)果與問題4相同.

小結(jié)：在本文中我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的各個知識點之間存在著許多聯(lián)系.初等數(shù)學(xué)中的問題，可以用高等數(shù)學(xué)解決.同時，高等數(shù)學(xué)中的問題，也可以轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)中的問題.而我們要做的，就是深入的思考每個問題，找到并探索其中的關(guān)系.從而使數(shù)學(xué)問題之間的聯(lián)系更加緊密，也可提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第二版）.北京：高等教育出版社.2008.4.

[2]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析（第二版）.北京：高等教育出版社.2004.5.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第二版）.北京：高等教育出版社.2004.1.

[4]許胤龍，孫淑玲.組合數(shù)學(xué)引論（第2版）.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2010.4.endprint