借助“五環法”解決“不等式組模型”問題

■顏廷亮

一、提出問題

對數學課堂教學而言，利用數學模型解決問題，是數學課堂教學中的重點板塊之一。在學習完方程、不等式、函數等主干內容之后，教材都會安排“用……解決問題”的教學內容，如學完了“一元一次方程”之后，就有“用一元一次方程解決問題”，讓學生充分體會數學知識的應用價值，學會用“數學建模”思想建立數學模型解決實際問題。從初一到初三，盡管教材和課堂多次出現“利用所學知識建立數學模型、解決實際問題”，但我們依然發現，這仍是學生學習中的一個最大難點。究其原因，初中階段總模型雖然只有“方程（組）、不等式（組）、函數”三個，但實際問題呈現的情景、方式多種多樣，學生能夠從實際問題中識別出總模型已屬不易，甚至有許多問題是幾種模型的融合，無形中增加了解決的難度。另一方面，雖然學生用數學模型解決實際問題的基本步驟趨于一致，但不同問題的詳細路徑卻不一樣。基于此，為了在確定模型時和確定模型后都有一定的有效路徑可走，就有了下面“五環法”的構思與實踐。

二、“五環”構思

所謂“五環法”是指：第一環節，從實際問題中進行信息收集，確定問題中存在的是等量關系、不等關系還是變化關系；第二環節，對收集的信息進行數據處理，把實際問題中涉及的量、關系分別用代數式表示后變成方程（組）、不等式（組）或函數；第三環節，對方程（組）、不等式（組）、函數進行求解，確定解的值或者范圍，其中方程（組）及函數題目考慮隱性限制、不等式（組）題目重點考慮顯性條件的限制；第四環節，根據題目要求得出答案或解決方案；第五環節，根據問題要求進行最后的決策。按照“五環法”，學生不僅可以解決一般的方程（組）、不等式（組）、函數實際問題，而且可以解決較為復雜的方案設計類問題。以解決問題的“五環”為主線，相當于將一粒粒散落的“珍珠”串成線，最后形成“一條美麗的項鏈”。

三、“五環”實踐

下面呈現利用“五環法”教學的一則案例，重點說明“五環法”教學實踐。

師：同學們，數學來源于生活，數學又服務于生活，如果一個公司要對一件事情做決策，往往需要經歷哪些流程呢？

學生提出流程，教師完善，逐步產生“五環法”。

下面教師和學生利用剛才研究的“五環法”步驟來共同解決一些實際問題。

例1 （2014·瀘州中考題改編）某工廠現有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件，已知生產一件A產品需要甲原料9kg和乙原料3kg，生產一件B產品需要甲原料4kg和乙原料10kg。

（1）設生產x件A種產品，寫出x應滿足的不等式組。

（2）有哪幾種符合條件的生產方案？

（3）若生產一件A產品可獲利700元，生產一件B產品可獲利1200元，那么采用哪種生產方案可使生產A、B兩種產品的總獲利最大？最大利潤是多少？

分析：這是一道典型的“用料限制”應用題，用“五環法”分析如下：

①信息收集：360kg與290kg是不等關系，50件是等量關系。

②信息處理：生產x件A種產品，則生產（50-x）件B種產品。

③確定范圍：解不等式組。

④得出方案：因為x取整數解，可以得出方案。

⑤最后決策：要想利潤最大，則多生產B種產品。

教學思考：將教材上的“審、設、找、列、解、答”步驟用“五環”這一條主線串起來，比如“審題”這一環節，對于許多學生來說不知道從何入手，“五環法”讓學生有法可依，有法可循。在教學的過程中，帶領學生一起經歷、熟悉“五環法”，應該讓學生明白，這幾個環節并不是“橫空出世”的，它來源于實際生活，我們需要做的就是“激活”它，讓數學的知識與實際相聯系，從而產生數學活動經驗，這樣既提高了數學解題能力，又培養了數學意識。

例2 （2011·涼山州）為了讓苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇等珍寶走出大山，政府決定組織21輛汽車裝運這三種土特產共120噸，參加全國農產品博覽會。現有A型、B型、C型三種汽車可供選擇。已知每種型號汽車可同時裝運2種土特產，且每輛車必須裝滿。根據下表信息，解答問題。

每輛運費1500 1800 2000苦蕎青花野生蘑菇每輛汽車運載車型A型B型C型茶2 4 0椒2 0 1 0 2 6

（1）設A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，求y與x之間的關系式。

（2）如果三種型號的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案。

（3）為節約運費，應采用（2）中哪種方案？并求出最少運費。

分析：學生在上一個問題的解決過程中初步體會了“五環法”，嘗試自己用“數學”的思維，沿著主線去解決問題。下面的分析，學生為主，教師為輔。

①信息收集：不少于4輛是不等關系，120噸、21輛是等量關系。

②信息處理：設A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，則C型汽車安排（21-x-y）輛。A型車貨物+B型車貨物+C型車貨物=120，x≥4，y≥4,21-x-y≥4。

③確定范圍：此處既有等式又有不等式，要讓學生意識到等式是用于建立方程、代入消元并解決多元不等式（組）。

④得出方案：因為x取整數解，可以得出方案。

⑤最后決策：為了節約運費，則需要少安排C型號的車，當A、B、C型車的數量分別為5、12、4輛時，運費最少。

教學思考：在例1中激活“五環法”之后，為了強化這樣的主線引領，本例的目的在于讓其“生長”，進一步讓學生體會這樣的數學化思考過程。圖表型問題，有時能夠提供很多信息，有時又會造成一定的干擾，讓部分學生無從下手，此時教師應該稍作指導，排除干擾，讓學生的主要精力回到“五環”的“生長”中來。另外本題的三個問題應該逐步呈現，做完題（1）之后不妨稍作停頓，不要展示第（2）題的限制“不少于4”，讓學生思考此時是否能夠確定方案（隱形限制：車輛數不小于0），在例1已有的“五環”大框架上，進一步完善細節。

例3 （2002·甘肅中考題改編）A公司和B公司分別準備提供電腦12臺和6臺，支援給C學校10臺和D學校8臺。已知調運電腦的費用如下表：

運費C D 50 80 A B 30 40

要求總的運費不超過840元，問有幾種調運方案，并指出運費最低的方案。

分析：經歷了“激活”五環、主線引領的“生長”，學生可以獨立解決本題，從而達到“啟智”要求。

①信息收集：12臺、6臺、10臺、8臺都用于等量關系。不超過840元的限制是不等關系，另外還有一個現實限制：每種方案的車輛數應該是非負數。

②信息處理：設A公司往C學校安排x輛車，則B公司支援給C學校（10-x）臺，A公司支援給D學校（12-x）臺，B公司支援給D學校（x-4）臺，總運費≤840，車輛數≥0。

③④⑤略。

四、總體思考

數學課堂教學需要明確的教學主線。教學主線是指圍繞教學目標預設的、貫穿課堂教學首尾的主要發展脈絡。根據不同的內容可以是外顯的，也可以是內隱的，還可以是明暗兩條線。根據不同的內容還可以按照科學方法線、學科知識發展線、情感發展線等去組織。本節課的“利用模型解決問題”教學正是利用了顯性的科學方法線指導學生深度學習。可以這樣說，成功的課堂教學，必定包含預設與提煉的教學主線。

1.主線的邏輯必要。

數學學科有其特質，即知識的產生、形成、發展有著必要的邏輯順序；知識結構的逐步完善、學生邏輯思維的訓練也有著必要的邏輯要求。這就需要我們設計符合學科知識發展的教學主線，這是基于“理解數學”層面的教學思考。

例如學完了“線段的軸對稱性”之后，教師可以依據知識發展的主線，進行角的軸對稱性、等腰三角形軸對稱性的引入與研究；由三大變換到常見圖形變換的研究；由一元到多元、一次到高次方程的研究，都是一脈相承的。教學主線的存在有其邏輯必要性。

2.主線的教學意義。

首先，教學主線可以實現導學目標，實現其引領價值。例如本節課的“五環法”，就可以真正幫助學生學會思考，幫助學生通過解決幾個問題，達到會解決一類問題的目的，完成了教學主線真正意義上的“串項鏈”功能。

其次，基于“理解數學”的思考，教學主線的存在，使課堂簡潔凝練，能把真正的課堂思考交給學生，把主動權交給學生，教師不僅僅是“教數學”，而是“教學生會進行數學思考”。數學課堂不要只盯著“高效”的解題速度，應該加入教學主線潛移默化的引領，其結果更利于學生用數學思想思考問題。所以說，教學主線的設計，使一節數學課有了靈魂。

3.主線的能力發展。

因為教學主線的設計符合學生的認知規律，易于被學生所接受、內化，所以，在設計了教學主線的課堂中，學生的自主學習能力、邏輯思維能力、數學活動經驗等都能得到一定程度的發展和累積。

對于本節課所設計的“五環法”教學主線，學生有一定的知識基礎，有一定的數學經驗，有一定的方法指導，通過三個實際問題“激活、生長、啟智”后，其數學思維得到了鍛煉與發展。基于“理解學生”的教學思考，實際上，在我們平時的課堂教學中可以提煉并運用的教學主線有許多，例如幾何圖形的研究一般都是按照“定義、性質、判定、運用”的內容與順序進行的，這樣結構式的教學主線，就非常有利于學生架構每一塊幾何知識的結構體系。

章建躍.如何設計課堂教學主線[J].中小學數學（高中版），2014（6）:66.