借助“五環(huán)法”解決“不等式組模型”問題

■顏廷亮

一、提出問題

對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，利用數(shù)學(xué)模型解決問題，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重點板塊之一。在學(xué)習(xí)完方程、不等式、函數(shù)等主干內(nèi)容之后，教材都會安排“用……解決問題”的教學(xué)內(nèi)容，如學(xué)完了“一元一次方程”之后，就有“用一元一次方程解決問題”，讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值，學(xué)會用“數(shù)學(xué)建模”思想建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題。從初一到初三，盡管教材和課堂多次出現(xiàn)“利用所學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型、解決實際問題”，但我們依然發(fā)現(xiàn)，這仍是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個最大難點。究其原因，初中階段總模型雖然只有“方程（組）、不等式（組）、函數(shù)”三個，但實際問題呈現(xiàn)的情景、方式多種多樣，學(xué)生能夠從實際問題中識別出總模型已屬不易，甚至有許多問題是幾種模型的融合，無形中增加了解決的難度。另一方面，雖然學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的基本步驟趨于一致，但不同問題的詳細路徑卻不一樣。基于此，為了在確定模型時和確定模型后都有一定的有效路徑可走，就有了下面“五環(huán)法”的構(gòu)思與實踐。

二、“五環(huán)”構(gòu)思

所謂“五環(huán)法”是指：第一環(huán)節(jié)，從實際問題中進行信息收集，確定問題中存在的是等量關(guān)系、不等關(guān)系還是變化關(guān)系；第二環(huán)節(jié)，對收集的信息進行數(shù)據(jù)處理，把實際問題中涉及的量、關(guān)系分別用代數(shù)式表示后變成方程（組）、不等式（組）或函數(shù)；第三環(huán)節(jié)，對方程（組）、不等式（組）、函數(shù)進行求解，確定解的值或者范圍，其中方程（組）及函數(shù)題目考慮隱性限制、不等式（組）題目重點考慮顯性條件的限制；第四環(huán)節(jié)，根據(jù)題目要求得出答案或解決方案；第五環(huán)節(jié)，根據(jù)問題要求進行最后的決策。按照“五環(huán)法”，學(xué)生不僅可以解決一般的方程（組）、不等式（組）、函數(shù)實際問題，而且可以解決較為復(fù)雜的方案設(shè)計類問題。以解決問題的“五環(huán)”為主線，相當(dāng)于將一粒粒散落的“珍珠”串成線，最后形成“一條美麗的項鏈”。

三、“五環(huán)”實踐

下面呈現(xiàn)利用“五環(huán)法”教學(xué)的一則案例，重點說明“五環(huán)法”教學(xué)實踐。

師：同學(xué)們，數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活，如果一個公司要對一件事情做決策，往往需要經(jīng)歷哪些流程呢？

學(xué)生提出流程，教師完善，逐步產(chǎn)生“五環(huán)法”。

下面教師和學(xué)生利用剛才研究的“五環(huán)法”步驟來共同解決一些實際問題。

例1 （2014·瀘州中考題改編）某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲原料9kg和乙原料3kg，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲原料4kg和乙原料10kg。

（1）設(shè)生產(chǎn)x件A種產(chǎn)品，寫出x應(yīng)滿足的不等式組。

（2）有哪幾種符合條件的生產(chǎn)方案？

（3）若生產(chǎn)一件A產(chǎn)品可獲利700元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品可獲利1200元，那么采用哪種生產(chǎn)方案可使生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總獲利最大？最大利潤是多少？

分析：這是一道典型的“用料限制”應(yīng)用題，用“五環(huán)法”分析如下：

①信息收集：360kg與290kg是不等關(guān)系，50件是等量關(guān)系。

②信息處理：生產(chǎn)x件A種產(chǎn)品，則生產(chǎn)（50-x）件B種產(chǎn)品。

③確定范圍：解不等式組。

④得出方案：因為x取整數(shù)解，可以得出方案。

⑤最后決策：要想利潤最大，則多生產(chǎn)B種產(chǎn)品。

教學(xué)思考：將教材上的“審、設(shè)、找、列、解、答”步驟用“五環(huán)”這一條主線串起來，比如“審題”這一環(huán)節(jié)，對于許多學(xué)生來說不知道從何入手，“五環(huán)法”讓學(xué)生有法可依，有法可循。在教學(xué)的過程中，帶領(lǐng)學(xué)生一起經(jīng)歷、熟悉“五環(huán)法”，應(yīng)該讓學(xué)生明白，這幾個環(huán)節(jié)并不是“橫空出世”的，它來源于實際生活，我們需要做的就是“激活”它，讓數(shù)學(xué)的知識與實際相聯(lián)系，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這樣既提高了數(shù)學(xué)解題能力，又培養(yǎng)了數(shù)學(xué)意識。

例2 （2011·涼山州）為了讓苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇等珍寶走出大山，政府決定組織21輛汽車裝運這三種土特產(chǎn)共120噸，參加全國農(nóng)產(chǎn)品博覽會。現(xiàn)有A型、B型、C型三種汽車可供選擇。已知每種型號汽車可同時裝運2種土特產(chǎn)，且每輛車必須裝滿。根據(jù)下表信息，解答問題。

每輛運費1500 1800 2000苦蕎青花野生蘑菇每輛汽車運載車型A型B型C型茶2 4 0椒2 0 1 0 2 6

（1）設(shè)A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，求y與x之間的關(guān)系式。

（2）如果三種型號的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案。

（3）為節(jié)約運費，應(yīng)采用（2）中哪種方案？并求出最少運費。

分析：學(xué)生在上一個問題的解決過程中初步體會了“五環(huán)法”，嘗試自己用“數(shù)學(xué)”的思維，沿著主線去解決問題。下面的分析，學(xué)生為主，教師為輔。

①信息收集：不少于4輛是不等關(guān)系，120噸、21輛是等量關(guān)系。

②信息處理：設(shè)A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，則C型汽車安排（21-x-y）輛。A型車貨物+B型車貨物+C型車貨物=120，x≥4，y≥4,21-x-y≥4。

③確定范圍：此處既有等式又有不等式，要讓學(xué)生意識到等式是用于建立方程、代入消元并解決多元不等式（組）。

④得出方案：因為x取整數(shù)解，可以得出方案。

⑤最后決策：為了節(jié)約運費，則需要少安排C型號的車，當(dāng)A、B、C型車的數(shù)量分別為5、12、4輛時，運費最少。

教學(xué)思考：在例1中激活“五環(huán)法”之后，為了強化這樣的主線引領(lǐng)，本例的目的在于讓其“生長”，進一步讓學(xué)生體會這樣的數(shù)學(xué)化思考過程。圖表型問題，有時能夠提供很多信息，有時又會造成一定的干擾，讓部分學(xué)生無從下手，此時教師應(yīng)該稍作指導(dǎo)，排除干擾，讓學(xué)生的主要精力回到“五環(huán)”的“生長”中來。另外本題的三個問題應(yīng)該逐步呈現(xiàn)，做完題（1）之后不妨稍作停頓，不要展示第（2）題的限制“不少于4”，讓學(xué)生思考此時是否能夠確定方案（隱形限制：車輛數(shù)不小于0），在例1已有的“五環(huán)”大框架上，進一步完善細節(jié)。

例3 （2002·甘肅中考題改編）A公司和B公司分別準(zhǔn)備提供電腦12臺和6臺，支援給C學(xué)校10臺和D學(xué)校8臺。已知調(diào)運電腦的費用如下表：

運費C D 50 80 A B 30 40

要求總的運費不超過840元，問有幾種調(diào)運方案，并指出運費最低的方案。

分析：經(jīng)歷了“激活”五環(huán)、主線引領(lǐng)的“生長”，學(xué)生可以獨立解決本題，從而達到“啟智”要求。

①信息收集：12臺、6臺、10臺、8臺都用于等量關(guān)系。不超過840元的限制是不等關(guān)系，另外還有一個現(xiàn)實限制：每種方案的車輛數(shù)應(yīng)該是非負數(shù)。

②信息處理：設(shè)A公司往C學(xué)校安排x輛車，則B公司支援給C學(xué)校（10-x）臺，A公司支援給D學(xué)校（12-x）臺，B公司支援給D學(xué)校（x-4）臺，總運費≤840，車輛數(shù)≥0。

③④⑤略。

四、總體思考

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要明確的教學(xué)主線。教學(xué)主線是指圍繞教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)的、貫穿課堂教學(xué)首尾的主要發(fā)展脈絡(luò)。根據(jù)不同的內(nèi)容可以是外顯的，也可以是內(nèi)隱的，還可以是明暗兩條線。根據(jù)不同的內(nèi)容還可以按照科學(xué)方法線、學(xué)科知識發(fā)展線、情感發(fā)展線等去組織。本節(jié)課的“利用模型解決問題”教學(xué)正是利用了顯性的科學(xué)方法線指導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。可以這樣說，成功的課堂教學(xué)，必定包含預(yù)設(shè)與提煉的教學(xué)主線。

1.主線的邏輯必要。

數(shù)學(xué)學(xué)科有其特質(zhì)，即知識的產(chǎn)生、形成、發(fā)展有著必要的邏輯順序；知識結(jié)構(gòu)的逐步完善、學(xué)生邏輯思維的訓(xùn)練也有著必要的邏輯要求。這就需要我們設(shè)計符合學(xué)科知識發(fā)展的教學(xué)主線，這是基于“理解數(shù)學(xué)”層面的教學(xué)思考。

例如學(xué)完了“線段的軸對稱性”之后，教師可以依據(jù)知識發(fā)展的主線，進行角的軸對稱性、等腰三角形軸對稱性的引入與研究；由三大變換到常見圖形變換的研究；由一元到多元、一次到高次方程的研究，都是一脈相承的。教學(xué)主線的存在有其邏輯必要性。

2.主線的教學(xué)意義。

首先，教學(xué)主線可以實現(xiàn)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)，實現(xiàn)其引領(lǐng)價值。例如本節(jié)課的“五環(huán)法”，就可以真正幫助學(xué)生學(xué)會思考，幫助學(xué)生通過解決幾個問題，達到會解決一類問題的目的，完成了教學(xué)主線真正意義上的“串項鏈”功能。

其次，基于“理解數(shù)學(xué)”的思考，教學(xué)主線的存在，使課堂簡潔凝練，能把真正的課堂思考交給學(xué)生，把主動權(quán)交給學(xué)生，教師不僅僅是“教數(shù)學(xué)”，而是“教學(xué)生會進行數(shù)學(xué)思考”。數(shù)學(xué)課堂不要只盯著“高效”的解題速度，應(yīng)該加入教學(xué)主線潛移默化的引領(lǐng)，其結(jié)果更利于學(xué)生用數(shù)學(xué)思想思考問題。所以說，教學(xué)主線的設(shè)計，使一節(jié)數(shù)學(xué)課有了靈魂。

3.主線的能力發(fā)展。

因為教學(xué)主線的設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，易于被學(xué)生所接受、內(nèi)化，所以，在設(shè)計了教學(xué)主線的課堂中，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等都能得到一定程度的發(fā)展和累積。

對于本節(jié)課所設(shè)計的“五環(huán)法”教學(xué)主線，學(xué)生有一定的知識基礎(chǔ)，有一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，有一定的方法指導(dǎo)，通過三個實際問題“激活、生長、啟智”后，其數(shù)學(xué)思維得到了鍛煉與發(fā)展。基于“理解學(xué)生”的教學(xué)思考，實際上，在我們平時的課堂教學(xué)中可以提煉并運用的教學(xué)主線有許多，例如幾何圖形的研究一般都是按照“定義、性質(zhì)、判定、運用”的內(nèi)容與順序進行的，這樣結(jié)構(gòu)式的教學(xué)主線，就非常有利于學(xué)生架構(gòu)每一塊幾何知識的結(jié)構(gòu)體系。

章建躍.如何設(shè)計課堂教學(xué)主線[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2014（6）:66.