4類平面多項式微分系統的Lyapunov量復算法

， ， ，

(1. 黃淮學院 數學與統計學院， 河南 駐馬店 463000； 2. 信陽師范學院 數學與統計學院， 河南 信陽 464000； 3. 北京工業大學 應用數理學院， 北京 100124)

Lyapunov量及其等價的焦點量在微分方程的定性理論和分岔理論中非常重要，可以用于判斷微分方程的穩定性，并且與極限環的研究聯系緊密。借助于計算軟件進行Lyapunov量的計算，可以判斷原點是否為細焦點或中心。文獻[1-3]中系統地研究了Lyapunov量的一些性質。文獻[2]中主要研究了計算一類平面多項式系統Lyapunov量的復算法以及判斷中心的方法，并使用符號計算軟件進行實例分析。文獻[4-5]中研究2類平面多項式系統到基本形式的轉換， 拓寬了文獻[2]中的研究范圍，給出計算Lyapunov量的計算流程。文獻[6]中研究了一類三次系統的中心判定問題，證明了該系統以原點為中心的充要條件是其前五階焦點量全為0。文獻[7]中研究了2類一致等時系統的小振幅極限環分支問題，證明了從細焦點分支出小振幅極限環。在文獻[1-5]中研究的基礎上，文獻[8-11]中對平面多項式系統的Lyapunov量復算法進行了深入探討。文獻[12-13]中討論一類四次多項式微分系統的中心條件與極限環分支問題，通過對系統所對應的伴隨復系統奇點量的計算，得到系統的原點成為中心和細焦點的條件。文獻[14-15]中通過研究受擾平面的Hamilton向量場，得到了盡可能多的極限環及其分布構型的方法。

本文中分別討論2類四次平面多項式微分系統和加單擾動項、雙擾動項的2類多項式微分系統的Lyapunov量復算法，通過計算相應系統的Lyapunov量，分析系統在原點的中心焦點問題，在文獻[12-15]中結果的基礎上給出原點成為中心和細焦點類型的證明，并判斷在具體參數控制下的細焦點的穩定性。

1 Lyapunov量復算法

由文獻[2]，可得相關理論基礎。平面多項式系統形式為

(1a)

式中：x,y∈；f(x,y)和g(x,y)為解析函數。 當x2+y2→0時，有

f(x,y)=O(x2+y2),

g(x,y)=O(x2+y2)。

式(1a)對應的復系統為

(1b)

式中：z=x+iy；

(2)

性質1[10]如果所有的Lyapunov量都為0，則原點是式(1a)的中心；否則是細焦點；如果Lk是第1個非零的Lyapunov量，則稱原點為k階細焦點。

性質2[10]如果Lk<0，則原點是穩定的；如果Lk>0，則原點不穩定。

2 第1類四次平面多項式微分系統的Lyapunov量復算法

主要計算第1類四次平面多項式微分系統的Lyapunov量，研究系統在原點的中心焦點判定問題。第1類四次平面多項式微分系統[12]形式為

x·=-y+(a12-3)xy2+a21x2y+(a12+1)x3+a21y3+a31x3y+a31xy3+2x2y2+12b31+1?è???÷x4+1-12b31?è???÷y4,y·=x+b12xy2+(b21+3)x2y+b12x3+(b21-1)y3+b31x3y+b31xy3-12a31x4+12a31y4,ì?í????????????(3)

式中aij、bij(i,j=1,2,3)均為實數。

令z=x+iy,系統(3)轉換為如下復形式：

(4)

利用Lyapunov量的復算法， 借助數學計算工具， 可以求出系統(4)的Lyapunov量， 具體步驟如下：L1=a12+b21；L2=-a21-b12(L1=0，此時b21=-a12)；L3=a31(L1=L2=0，此時b21=-a12,b12=-a21)；L4=2a12(b31+1)-2(L1=L2=L3=0，此時b21=-a12,b12=-a21，a31=0)。

根據文獻[2, 5, 11]中的相關理論， 可得如下2個結論。

結論1 原點成為系統(3)的中心所滿足的條件為b21=-a12,b12=-a21，a31=0，b31=(1-a12)/a12,a12≠0。

證明： 當滿足b21=-a12,b12=-a21，a31=0，b31=(1-a12)/a12,a12≠0這些條件時，L1=L2=L3=L4=…=0，因此原點為系統的中心。

結論2 原點成為系統(3)的最高階細焦點的階數為4。

證明： 當且僅當b21=-a12時，L1=0； 當且僅當b21=-a12，b12=-a21時，L1=L2=0； 當且僅當b21=-a12，b12=-a21，a31=0時，L1=L2=L3=0；當且僅當b21=-a12，b12=-a21，a31=0，a12(b31+1)=1時，L1=L2=L3=L4=…=0； 因此， 只有在滿足b21=-a12，b12=-a21，a31=0，a12(b31+1)≠1這些條件時，L1=L2=L3=0，L4=2a12(b31+1)-2≠0，此時原點成為系統(3)的最高階細焦點，階數為4。

下面給出一組數值進行模擬。取b21=-a12=-2.4，b12=-a21=2，a31=0，b31=1.2，此時系統(3)具有形式

(5)

通過計算，L1=L2=L3=0，L4=8.56>0，此時原點是不穩定的四階細焦點。

3 第2類四次平面多項式微分系統的Lyapunov量復算法

主要計算第2類四次平面多項式微分系統的Lyapunov量，研究系統在原點的中心焦點判定問題。第2類四次平面多項式微分系統[13]形式為

x·=-y+a20x2+a20y2+(2a20+b21)x3+a21x2y+(2a20+b21)xy2+a21y3+a13x3y+a13xy3-b13x2y2-b13y4,y·=x+b20x2+b20y2+(2b20-a21)x3+b21x2y+(2b20-a21)xy2+b21y3+b13x3y+b13xy3-a13x4-a13x2y2,ì?í??????????(6)

式中aij、bij均為實數。

令z=x+iy，系統(6)轉換為復形式

(7)

根據文獻[2,5,11]中的相關理論可得如下2個結論。

結論3 原點成為系統(6)的中心所滿足的條件如下：

1)b21=-a20,b20=a13a20/b13,b13≠0,a20=0；

2)b21=-a20,b13=0,a20=0；

3)b21=-a20,b13=0,a13=0。

證明：當分別滿足條件1)、 2)、 3)時，L1=L2=L3=L4=…=0，因此，原點是系統(6)的中心。

結論4 原點成為系統(6)的最高階細焦點的階數為3。

證明：1)當b21=-a20時L1=0；當b21=-a20，b20=a13a20/b13，b13≠0時，L1=L2=0； 當b21=-a20，b20=a13a20/b13，b13≠0，a20=0，L1=L2=L3=L4=…=0。

2)當b21=-a20時L1=0；當b21=-a20,b13=0,a20=0時，L1=L2=L3=L4=…=0。

下面給出一組數值進行模擬。取b21=-a20=2.4，a21=1，a13=3.6，b13=-2，b20=4.32,此時系統(6)具有形式

(8)

通過計算，L1=L2=0，L3=-73.27<0，此時原點是穩定的三階細焦點。

4 第3類加單擾動項的多項式微分系統的Lyapunov量復算法

討論加1個擾動項的多項式微分系統[14]

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷,y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4)ì?í??????????(9)

的Lyapunov量復算法問題， 其中0<ε?1，λ=0,m=1,μ、r、k、n為參數。

系統(9)可簡化為

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷,y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4)。ì?í??????????(10)

討論單擾動系統(10)在以下2組控制條件下的中心和細焦點問題。

1)在第1組控制條件下， 系統的擾動參數組為(μ,r,k,n)=(55.578 506 73, -15.438 847 42, 3.123 873 423,-2.604 067 373)。在該組控制條件下，求出系統(10)的Lyapunov量為L1=-2.315 49ε，L2=-12.630 8ε，L3=-13.081 28ε-235.556 36ε3，L4=7.079 179ε-3 825.635 8ε3，…。

當ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(10)的中心。

如果取ε=0.01， 則L1<0，L2<0，L3<0，L4>4，L5>0……， 此時原點為系統(10)的一階穩定細焦點。

2)在第2組控制條件下，系統的擾動參數組為

(μ,r,k,n)=(-2.519 836 620, -17.038 846 67, -35.999 344 34, 3.150 348 690)。在該組控制條件下，求出系統(10)的Lyapunov量為L1=15.559 097ε，L2=-1.997 08ε，L3=-22.026 57ε-4 757.026ε3，L4=-71.594 0ε-10 650.573ε3，…。

當ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(10)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2<0，L3<0，L4<0，L5<0，…， 此時原點為系統(10)的一階不穩定細焦點。

5 第4類加雙擾動項的多項式微分系統的Lyapunov量復算法

討論加2個擾動項的多項式微分系統[15]

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷+εx(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4),y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4)ì?í????????????(11)

的Lyapunov量復算法問題， 其中0<ε≤1，λ=0,m=1,μ、r、k、n為參數。

系統(11)可簡化為

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷+εx(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4),y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4)。ì?í????????????(12)

討論雙擾動系統(12)在以下2組控制條件下的中心和細焦點問題。

1)在第1組控制條件下，系統的擾動參數組為

(μ,r,k,n,m)=(-0.924,-6.830 26,-3.112 99,1.7, 0.415 312 5)。在該組控制條件下，求出系統(12)的Lyapunov量為L1=7.754 26ε，L2=-1.170 30ε，L3=-10.926 2ε-202.874 1ε3，L4=-35.280 7ε-220.579 8ε3，…。

當ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(12)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2<0，L3<0，L4<0，L5<0， …， 此時原點為系統(12)的一階不穩定細焦點。

2)在第2組控制條件下，系統的擾動參數組為

(μ,r,k,n,m)=(-12.805 773, 10.671 735 4, -0.479 846 23, 1.2, -0.768 029)。在該組控制條件下， 求出系統(12)的Lyapunov量為L1=23.477 5ε，L2=1.636 2ε，L3=-28.946ε-80.189ε3，L4=-109.85ε-1 149.661ε3，…。

當ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(12)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2>0，L3<0，L4<0，L5<0，…，此時原點為系統(12)的一階不穩定細焦點。

6 結論

本文中主要探討了4類平面多項式微分系統的Lyapunov量復算法。計算出前2類平面多項式微分系統的Lyapunov量，得到2類四次系統的原點成為中心的充分條件和原點成為系統最高階細焦點的階數，階數分別為4和3。最后取定參數值探討了具體情況下的系統的最高階細焦點的穩定性；討論了在幾組不同的控制參數組下，加單擾動項和雙擾動項的后2類系統的Lyapunov量復算法。

[1] WANG D. A recursive formula and its application to computations of normal forms and focal values[M]//LIAO S T. Dynamical Systems. Singapore: World Sci Publ, 1993: 238-247.

[2] WANG D, MAO R. A complex algorithm for computing Lyapunov values[J]. Random & Comput Dyn, 1994，2(2/3):261-277.

[3] WANG D, MAO R. Jumping property of Lyapunov values[J]. Science in China, 1996，39(12):1280-1287.

[4] LI J, CHEN Y, ZHANG W. The complex algorithm for computing Lyapunov values for two planar polynomial systems[C]//中國力學學會.第二屆國際動力學、振動與控制學術會議論文集. 北京：中國力學學會, 2006：27.

[5] LI J, CHEN Y, ZHANG W,et al. Computation of Lyapunov va-lues for two planar polynomial differential systems[J]. Appl Math & Comput, 2008, 204(1):240-248.

[6] 桑波.一類三次系統的中心判定問題[J].數學年刊:A輯，2014, 35(3):361-372.

[7] 桑波.兩類一致等時系統的小振幅極限環分支[J].系統科學與數學， 2016, 36(5):728-735.

[8] 陳瑩，李靜.Bautin系統的Lyapunov量復算法[J].力學季刊， 2009， 309(1)：88-91.

[9] 陳瑩，師建國，李靜. 托卡馬克裝置三次系統的Lyapunov量計算[J].揚州大學學報(自然科學版)，2010,13(1)：10-12.

[10] 陳瑩，彭真，李靜. 兩類五次平面多項式系統的中心判定[J].河南科技大學學報(自然科學版)，2012,33(3) :70-74.

[11] 陳瑩，李小朝，李靜. Lyapunov量復算法對細焦點和中心的判定的研究[J].山西大學學報(自然科學版)， 2012, 35(4): 613-619.

[12] 趙大虎，盧景蘋.一類四次多項式系統原點的中心條件與極限環分支[J].黑龍江大學自然科學學報，2012，29(6):767-770.

[13] 盧景蘋.一類四次多項式系統原點的極限環分支[J].廣西科學，2013,20(2)：85-87.

[14] LI J. Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar poly-nomial vector fields[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos,2003,13:47-106.

[15] LI J , CHAN H S Y, CHUNG K W. Investigations of bifurcation of limit cycles inZ2-equivariant planar vector field of degree 5[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12:2137-2157.