古希臘三大幾何問題概述

丁嘉琪

摘要：古往今來，古希臘三大幾何問題吸引了古今中外的數學家進行前仆后繼的探索。在探索的過程中，人們不僅清楚了解了三大幾何問題的結果，還從中得到了許多意外的收獲。本文將從歷史由來、問題概述、解決過程及現實意義四個方面對古希臘三大幾何問題進行概述。

關鍵詞：倍立方體；化圓為方；三等分角；尺規作圖

1.背景

在數學學科的發展歷史中，古希臘三大幾何問題一直是數學領域中十分受關注的話題。古希臘三大幾何問題不僅促進了幾何學的發展，而且還促進了人類思想的進步和發展。從古至今，古希臘三大幾何問題的提出和解決過程一直是數學領域中重要的學習內容，具有十分重要的意義。本文將對古希臘三大幾何問題的產生歷史、古希臘三大幾何問題的描述、古希臘三大幾何問題的解答及古希臘三大幾何問題的意義四個方面進行簡要的介紹。

2.古希臘三大幾何問題的產生歷史

2.1 倍立方體問題

傳說在古希臘時期，提洛斯（Delos）島上蔓延著十分嚴重的傳染病，民不聊生。為了避免傳染病的繼續蔓延，島上的居民求助于太陽神阿波羅，然而阿波羅卻對祈求的人們說：只要將阿波羅神殿前的立方體祭壇擴大為原來體積的兩倍，且保持立方體的形狀，那么傳染病就會隨即消失。居民聽到后很高興，立即建造了一個長、寬、高都為原來2倍的祭壇，然而，傳染病卻蔓延地更快，更多的人罹患疾病，一時間人心惶惶。后來有學者指出了錯誤：立方體的棱長變為兩倍后，體積變為原來的八倍，而不是要求的二倍。因此，人們就去請教古希臘最著名的學者柏拉圖，而柏拉圖也對此一籌莫展。這個問題被稱作倍立方體問題，因為這一個傳說，倍立方體問題也叫作提洛斯問題。

2.2 化圓為方問題

幾乎在同一時期，一名叫安納薩戈拉斯（Anaxagros）的哲學家因褻瀆神靈而被捕入獄，而且被判處了死刑。在獄中被關押的日子里，他依舊保持著對世界的思考。一天夜晚，他透過方形的鐵窗看見圓圓的月亮，心中不免疑惑：如果已知一個正方形，如何利用尺規作圖法做出與其面積相等的圓呢？

在獄中的安納薩戈拉斯一直為此問題而困惑不已，完全忘記自己仍處在即將被判處死刑的局面。幸運的是，當時有一位杰出的政治家伯利克里，恰好是他的好朋友，在好朋友的營救之下，安納薩戈拉斯獲釋出獄。出獄后，他依舊對這個問題念念不忘，后來他組織了許多數學家來研究這個問題，但都沒有得到解決。由此便誕生了另一個幾何問題——化圓為方問題。

2.3 三等分角問題

在公元前4世紀的時候，有一位公主住在亞歷山大城郊外的圓形別墅中。公主的居室恰好在別墅的中心處，別墅中間有一條河流穿過。因此，別墅中的河流上建了橋梁，而橋與別墅的南門和北門剛好位于同一直線上。每天，國王派侍從將賞賜公主的物品運送到北門，經過橋梁送往位于南門旁邊的物品倉庫。當公主需要某件物品的時候，她便派侍從從南門倉庫將物品運到居室。

有一天，公主想知道北門到居室的距離和北門到橋的距離哪一段更遠，于是派了侍從去測量，發現兩段路的長度是一樣的。在幾年之后，公主的妹妹也長大成人，國王決定也為她修建別墅供其居住。與姐姐十分要好的妹妹提出要求，想要她的別墅和姐姐的別墅一個樣子，別墅中有河流穿過，河流上修建橋梁，也有南門和北門。國王欣然同意，于是別墅很快便開始修建起來。當別墅的南門位置確定，想要修建橋梁和北門的時候，問題出現了：如何能確保北門與居室之間的距離等于北門與橋梁之間的距離。修建別墅的工匠利用當時流行的尺規作圖方法進行測量，卻發現無從下手。在一籌莫展之際，工匠們決定去請教古希臘著名的數學家阿基米德來解決這個問題。

阿基米德經過思考，最終用直尺和圓規解決了角三等分的問題，工匠利用阿基米德的方法，很快便確定好了北門的方位，大家也紛紛稱贊阿基米德的智慧和思維。但是，阿基米德表示，這個方法雖然能夠確定北門的位置，但在尺規作圖的過程中，由于利用了尺子做標記的辦法，所以說只是一個暫緩之計，并不是完美的辦法。在古希臘的尺規作圖法規定中，是不允許在直尺上做刻度的。由此，最后一個問題——三等分角也誕生了。

3.古希臘三大幾何問題的描述

古希臘三大幾何問題用數學語言，可以概述為：

（1）倍立方體問題

給定一個立方體V，利用尺規作圖法求得新立方體的邊長l，使新立方體的體積等于原來體積的2倍，即求立方體邊長l，使得V=2V。

我們現在知道，這樣的新立方體邊長為無理數，因而利用尺規作圖法來做圖是十分困難的，因而它成為了千百年來難以解決的數學問題。

（2）化圓為方問題

給定一個圓O，利用尺規作圖法求得新正方形的邊長，使得新正方形的面積與給定圓的面積完全相等。阿基米德將化圓為方問題表述為如下形式：給定圓的半徑為r，則其周長為2πr，面積為πr2；如果能夠求得一個直角三角形，其直角邊長分別為2πr和r，那么則能夠很容易得到：

通過這個直角三角形，我們便不難得到滿足要求的正方形。但這個直角邊如何來用尺規作圖得到，便成了一個千百年來的數學難題。

（3）三等分角問題

三等分角的問題出現的時間要早于前兩個問題。在公元前600-500年期間，古希臘的數學家便已經用尺規作圖解決了二等分角的問題，這個方法在中學課本中便已經介紹過，方法簡單且易于理解。在這種情況下，數學家自然而然便聯想到：如何能用類似的方法來解決三等分角的問題。

從表面上看，三大幾何問題貌似很容易，但卻使無數數學家付出了無盡的努力，雖屢戰屢敗卻越挫越勇，這恰恰顯示出了數學學科的無限魅力。

4.古希臘三大幾何問題的解決

古希臘三大幾何問題如何解決，古往今來，無數的科學家進行了不懈的奮斗與努力。直到十七世紀，笛卡爾創立了解析幾何之后，數學家們開始利用“幾何與代數”統一的思想，才令這三個問題有了進一步的發展。

在化圓為方問題上，公元前五世紀下半葉的數學家希波克拉底沒能解決問題。后來，希臘巧辯法的代表人物安蒂豐提出了窮竭法，但也沒有解決問題。不過，窮竭法成為了近代數學中極限論的雛形。

1837年，法國著名數學家旺策爾在研究阿貝爾定理時，以六十度角為例證明了對任意角進行三等分是尺規作圖所不能解決的問題，之后又證明了倍立方體問題不能用尺規作圖來進行解決。

1830年，法國數學家伽羅華創立了一套理論，通過嚴格的數學證明，表明僅用無刻度的直尺和圓規對給定的角進行三等分是無法做到的。由此可知，三大幾何問題之所以未被解決，不是因為數學家不夠睿智，而是因為當時的工具條件受到限制。

1882年，化圓為方問題產生了令人信服的答案。德國數學家林德曼通過嚴格的數學方法證明：圓周率為超越數，無法用傳統的代數法進行表達。他還指出，尺規作圖無法表示出超越數。

最后，克萊因（Klein.F）在總結前人研究成果的基礎上，于1895年在德國數理學家改進社開會時宣讀了一篇文章，從而證明三大幾何問題不可能僅用無刻度的直尺以及圓規來完成，從而使得疑惑了兩千多年的問題得以解決。

5.古希臘三大幾何問題的意義

雖然三大幾何問題最終都被證明是無法用傳統的尺規作圖方法進行解決，但千百年來，數學家為解決這些問題所做出的努力和探索，推動了數學學科的進步與發展。與此同時，在三大幾何問題的探索過程之中，數學家們也發現了許多新的數學定理和解決數學問題的方法，為人類的生產帶來了理論指導，促進了生產力的發展。由此，我們也可以得到啟發，解決問題并不是非要得到一個結果，而是在這一過程中我們所使用的數學思想以及我們由此而得到的啟發。

參考文獻：

[1]王家傳.尺規作圖無法逾越的鴻溝——三大幾何難題的由來[J].語數外學習：初中版八年級，2008（6）：32-32.

[2]佚名.古希臘的三大世界數學難題[J].小學教學：數學版，2007（6）：16-16.

[3]三等分角.古希臘三大幾何問題[J].初中生學習，2004 （7）：85-85.

[4]高峰.三大幾何難題[J].中學生語數外：初中版，2004 （7）：38-39.

[5]陳督武.三大幾何作圖問題的產生、研究與解決[J].數學教學通訊，2011（6）：18-19.