三角恒等變換之題型總結及解題策略分析

王傳勇

三角恒等變換是解決三角函數問題的重要工具.三角恒等變換是高中數學的一個重要模塊，在歷年的高考中都是必考內容，同時也是很多學生學習，考試的難點.本文將三角恒等變換的一些常見題型及解決策略作了梳理，僅供參考，希望能對學生學習有所幫助.

一、公式的變形

三角公式是變換的基礎，應熟練地掌握公式的順用、逆用及變形應用.

1.化簡

（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ；（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

解：（1）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=cos[（α+β）-α]=cosβ

（2）sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=sin[（α+β）-α]=sinα

2.求證：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.

證明：由tan（20°+40°）=得

tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°），所以

（1-tan20°tan40°）+tan20°tan40°=.

二、角的變換

在表達式中或者在已知條件和所求問題中出現較多的相異角，可以通過觀察，尋找兩角之間的和差、倍半、互補、互余等關系，從而應用角的變換，建立已知和結論之間的聯系，使問題得以解決.

1.已知cosα=，cos（α+β）=-且α，β均為銳角，求cosβ.

思路分析：通過尋找題目中的角α，α+β，β三者之間的關系，利用角的變換來解決.

解：因為cosα=，cos（α+β）=-，且α，β均為銳角，

所以sinα==，sin（α+β）==

cosβ=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ

=-×+×=

2.已知cos（α-β）=-，cos（α+β=），且（α-β）∈，π

（α+β）∈，2π，求cos2α.

思路分析：通過尋找題目中的角α-β，α+β，2α三者之間的關系，利用角的變換來解決.

解：因為cos（α-β）=-，（α-β）∈，π，所以sin（α-β）==.

因為cos（α+β）=，（α+β）∈，2π，所以sin（α+β）==-.

所以cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]

=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）

=-×-×-=-

三、函數名稱的改變

三角變形中，常常需要變不同函數名稱為同名函數.如在三角函數中正余弦是基礎，通常化切為弦，化弦為切，變異名為同名.

1.求sin15°sin30°sin75°值.

解：sin15°sin30°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=×=

2.化簡.

解：原式=

==

===2.

四、常數變換，巧用“1”

在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數1轉化為三角函數值來代換，以達到解決問題的目的.

1.已知tan+θ=3，求sin2θ-2cos2θ.

解：由tan+θ=3得，tanθ=.

sin2θ-2cos2θ====-.

2.求.

解：原式===tan30°=

五、冪的變換

升降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法，降冪并非絕對，有時需要升冪.

求使函數f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x為正值的x的集合.

解：f（x）=cos4x+sinxcosx-sin4x=（cos4x-sin4x）+sin2x=（cos2x-sin2x）（cos2x+sin2x）+sin2x=cos2x+sin2x=sin2x+，由sin2x+>0得2kπ<2x+<2kπ+π，k∈z.解得-+kπ

所以x的集合為x-+kπ

六、結構的變換

通過表達式結構特點，通過構造上的變換，從而使問題得到解決.

求cos20°cos40°cos80°的值.

解析：根據式子結構特點，乘以并除以2sin20°.

解：cos20°cos40°cos80°=

==

===.

參考文獻：

[1]牛曉偉.三角恒等變換的技巧及其應用[J].考試周刊，2012（49）.

[2]黃偉軍.三角恒等變換之七變[J].泛舟學海（高中），2008.

[3]華麗鳳.三角恒等變換之“差異分析”策略[J].高中數理化，2011（22）.

[4]杜春輝.例談三角恒等變換中的“變角”技巧及其應用[J].考試周刊（數理系），2011（78）.

編輯 謝尾合