十字路口的交通流模型及其應用

戴鐘保，李雅芳，林海欣，胡偉斌

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

交通運輸問題向來是國家民生及經濟發展的重要組成部分，雖然道路越修越寬，越建越多，但交通擁堵和道路通行效率低的問題依舊困擾著人們.元胞自動機自20世紀80年代被提出之后，于20世紀90年代得到迅猛發展.作為一種新的交通流動力模型，元胞自動機基于離散的時空和狀態變量，一方面易于計算機編程操作，能夠靈活地修改交通規則條件，另一方面保留了交通系統復雜的非線性行為和其他物理特征.

1992年Nagel和Schreckenberg提出了著名的NaSch模型[1]，該模型雖規則簡單卻可以模擬出很多的交通現象.隨后很多學者在其模型的基礎上擴展開了許多新模型，從而更好模擬交通路況.城市交通流模型是近來交通流模型的重要課題，而對于十字路口的瓶頸研究是城市交通流模型的重點，其中十字路口信號燈的合理配時是解決交通堵塞的重要方向之一.在對十字路口交通流模型的研究當中，基于有無信號燈的控制可分為兩大研究方向.在無信號燈控制的十字路口研究當中，2002年Ruskin等人[2]將可接受車頭距概念引入無信號燈控制的十字路口交通模型；2008年王俊驊等人[3]對無信號燈控制人行橫道的人車沖突進行了定量的分析；2010年袁紹欣等人[4]提出了基于混雜Petri網的車流通行模型，描述了無信號十字路口車流通行的基本特征.在對有信號控制的交叉路口研究中，2001年Brockfeld等人[5]將信號燈信號控制增添進NaSch和BML耦合模型中，有效避免了系統進入完全堵塞的狀態，研究了信號周期對車輛在十字路口通行能力的影響；同年我國學者楊曉光等人[6]對包含行人、非機動車和機動車在內的混合十字路口網絡進行分析，提出了行人專用控制信號設置的新模型；2006年葛宏偉[7]探究了不同類型公交站點車輛?？空军c與其他交通流之間的相互作用和影響機制，建立了對應的公交站點車輛停靠延誤模型及公交?？繉ζ渌煌餮诱`和道路通行能力的影響模型.

本文在以上學者的工作基礎上，采用基于Brockfeld等人對NaSch和BML耦合模型的優化模型，并進一步引入了Takayasu-Takayasu慢啟動規則[8]，建立二維元胞自動機的十字路口交通流模型，以廣東省汕頭市大學路西港路口為實際案例，分別設計了不同周期時長的信號燈周期模型及高架橋模型，并通過仿真實驗論證了信號燈周期時長對十字路口交通環境存在顯著影響，而高架橋模型能夠有效地提高車輛平均通行速度，降低平均耗時，改善道路通行能力，進行了模擬仿真研究，并通過實地考察，確定了西港路口各項交通狀況，用Matlab軟件進行仿真計算.

1 模型和演化規則

該模型為多車道十字路口交通流模型，在不考慮非機動車和行人的情況下，假設所有車輛具有相同的長度和寬度，這樣模型簡單同樣能夠反映十字路口模型的交通流特性.運用元胞自動機模型將道路視為離散化的格點，由n（n≥3）條長為L的東西雙向車道m（m≥3）條長為L的南北雙向車道組成，交叉路口為東西雙向車道與南北雙向車道的交叉處，交叉路口處車輛可以直行和左轉，在各個方向十字路口前設置右轉匝道，并在十字路口各個方向的十字路口處設置信號燈，各路口交通信號燈實行同步轉換，右轉匝道車輛不受交通信號燈控制，模型如圖1所示.

圖1 十字路口交通流模型

橫向車道用X表示，縱向車道用Y表示，X1車道上車輛由東向西行走，X2車道上車輛由西向東行走，Y1車道上的車輛由北向南行走，Y2車道上車輛由南向北行走.圖1為以Y2車道上車輛的運行示意圖，A，B，C分別表示三個車道，在交叉路口前分別設置左轉車輛與右轉車輛的特殊換道區域I和II，采取特殊換道規則，兩個特殊換道區域分別對應的元胞長度為L1和L2，除去交叉路口與特殊換道區域外，其他區域采取對稱的雙車道換道規則.斜線部分表示右轉匝道，豎線部分表示左轉匝道，交叉路口前為停止線.每一時刻，車道上的每個元胞可以被一輛車輛占據或為空，存在三種車輛，分別為左轉，直行和右轉車輛，最大速度根據不同區域取不同的值，在特殊區域與及交叉路口，所有車輛的最大速度為，其他區域車輛的最大速度為，其中，整個模型采取開口邊界條件.下面介紹車輛的運行規則和換道規則.

1.1 車輛換道規則

在整個模型中車輛分別采取兩種換道規則，分別為對稱的雙車道換道規則和特殊換道規則.首先介紹對稱的雙車道換道規則：

其中dn表示當前車輛與前車之間的空元胞數，dn，other，dn，back分別表示當前車輛與目標車道上的前車和后車之間的空元胞數.換道規則中為換道動機，表示車輛在當前車道不能按照期望的最大速度行駛，而目標車道的行駛條件比當前車道好.dn，back＞dsafe為安全條件，保證換道后不與目標車道上的后車發生碰撞，這里dsafe取值為.當車輛滿足換道動機和安全條件時，會以一定的概率Pchange進行換道，以rand＜Pchange表示.

當車輛處于特殊換道區域時，當車輛運行至區域I時，對于車道A上的直行車輛與及車道B和車道C上的左轉車輛，車輛采用主動換道規則為：dn，back≥dsafe.主動換道表示只要目標車道存在空間并且滿足安全條件，車輛就會換道.在停車線前車道B和車道C的左轉車輛必須換到車道A，車道A上直行車輛必須在停止線前一個元胞換到車道B，否則停車等待.當車輛運行至區域II時，對于車道A和車道B上的右轉車輛，車輛同樣采用主動換道規則，對于車道C上的右轉車輛采用主動換道規則進入右轉匝道.在區域II與區域I的分割線前，車道上右轉還沒進入右轉匝道的右轉車輛必須停車等待.

1.2 車輛運行規則

下面以一個路口的相位來說明車輛運行規則：

（1）綠燈時步T1，進入該十字交叉路口的左轉車輛按照圖中所示的左轉匝道運行，對于右轉匝道的右轉車輛均按圖1所示的右轉匝道運行，其余車輛按NaSch模型演化；

（2）紅燈時步T2，該路口內欲進入十字路口的左轉車輛和直行車輛在十字路口前停止演化，其余車輛按NaSch模型演化.對于右轉匝道的右轉車輛均按圖1所示的右轉匝道運行，不受信號燈控制.

（3）黃燈時步T3，對于已經進入交叉路口的車輛繼續按照原來的運行規則運行，未進入交叉路口的車輛則在停止線前停車等待，其余車輛按NaSch模型演化，其他路口均為紅燈時步.

2 仿真實驗

實驗以汕頭市大學路西港路口為實例.大學路西港路口是進出中心城區的交通要道，東北-西南雙向為四車道，西北-東南雙向為三車道，單車道道路寬4 m，各個方向道路建有右轉匝道，中間綠化帶道寬2 m，人行道寬約12 m，中心路口限速40 km/h，道路最高速度為60 km/h，最低限速為20 km/h.為能夠較好地模擬交通堵塞現象，同時考慮到程序界面可視化限制，將該十字路口做網格化處理，規格為81×81，每個網格代表4 m×4 m的正方形空間.暫不考慮不同汽車的尺寸，視每輛汽車能且僅能容納于一個網格；將最低限速20 km/h轉化為程序參數，即為1格/0.72 s，每一步長為0.72 s.

以40 km/h速度為車輛在十字路口和特殊換道區域的最高限速，將該速度轉化為模型標準速度即為2單位元胞/單位時間（，其余位置車輛的最大速度為3單位元胞/單位時間（V2max＝3），兩個特殊換道區域L1和L2長度均為5單位元胞.整個路口紅綠燈周期為229單位時長，左轉綠燈時長和直行綠燈時長相一致，黃燈時長均為3單位時間，其中西南方向綠燈時長為75單位時長，東南方向為94單位時長，東北方向為41單位時長，西北方向為19單位時長，各方向綠燈時長占比為3.8∶4.7∶2.2∶1.0，模型演化時間為30 min.

設計好初始十字路口仿真模型后，僅通過相關道路規則的調整，即可完成對應的初始信號燈周期模型、人工調節信號燈周期模型、智能信號燈周期模型和高架橋模型.初始信號燈周期模型即為實地考察的大學路西港路口交通路況；人工調節信號燈周期模型是在初始信號燈周期模型的基礎上，通過多次實驗觀察各個路口的交通擁堵情況，依據經驗調整最優的信號燈周期，即在各個路口黃燈時間步不變的情況下，在相對擁堵的路口相對應地增加綠燈時間步，其他車流量相對較少的路口相應地減少綠燈時間步；智能信號燈周期模型是通過檢測各個路口在十字路口前的單車道平均車輛數目，并經由慢啟動概率的調整后作為各個路口的綠燈時間步；高架橋模型則是以目前西港路口規劃藍圖為基礎，以工程建設時間劃分共有兩期工程：一期工程僅在西南方向與東北方向建有直行高架橋，其他路口依舊存有信號燈控制系統，二期工程會在各路口均建有高架橋，不存在信號燈控制系統，各道路相當于獨立的單車道模型；本文高架橋模型特指一期工程下的高架橋模型.下文進一步通過仿真實驗，分析實驗結果，以此探究不同模型對道路交通的影響.

3 模擬結果與分析

為進行計算模擬，定義如下有關交通流性質的量[9]：

下面首先通過比較上述四個交通流性質的量，確定更加接近現實的隨機慢化概率與慢啟動概率.隨后分別對上述四個交通流模型進行交通低谷期、平時期和高峰期仿真實驗，實驗以十次仿真取平均值的方式，記錄下不同模型各個時期下的車輛密度、平均通行速度、交通流流量和平均耗時，為了進一步分析關于交通信號燈對交通流性質的量的影響，對比前三個模型隨著各個路口出車概率的增長平均耗時的變化趨勢，從而更加直觀地觀察本文對于探討交通信號燈配時問題的重要性.最后論證了高架橋的合理性.

3.1 確定隨機慢化概率與慢啟動概率

為了更加真實地模擬現實的路況，進一步通過實地考察，確定了西港路口各項交通狀況.同一周期內各個路口在低谷期、平時和高峰期出現車輛的概率見表1，各個方向的車直行、左拐和右拐的概率見表2.

表1 出現車輛的概率

表2 各方向車輛運動方向的概率

隨機慢化概率和慢啟動概率依賴于十字路口的交通實際情況，可通過實地考察道路通行狀況，而后通過調整參數來確定相關概率.隨機慢化概率體現于駕駛員面對行駛過程中的各種不確定因素（例如道路條件、駕駛員心理變化等），為保障行車安全而降低行駛速度.慢啟動概率則反映了靜止車輛的啟動延緩效應.

以對隨機慢化概率的確定為例，通過仿真實驗發現：隨機慢化概率和平均通行速度、交通流流量、平均耗時存在顯著的相關關系；平均通行速度和交通流流量隨著隨機慢化概率的提高而降低，而平均耗時隨著隨機慢化概率的提高而提高，而這與我們直觀觀念相契合：隨機慢化概率的提高會加重道路擁堵程度，降低道路通行效率.當前，由于汕頭市大學路西港路口的交通狀況比較混亂，不遵守交通規則的行人和車輛較多，尤其是摩托車的隨意通行，每天早晚高峰期經常出現進堵塞現象，道路通行效率較低.基于實地考察發現，通過仿真模型對參數的調整發現，以隨機慢化的概率0.25，慢啟動的概率0.5能夠較好模擬出西港路口實情況更為合理.

3.2 信號燈周期配時問題對交通流的影響

在未調節信號燈時長和建立高架橋之前，西港路口一天中的低谷期、平時和高峰期的車輛密度、平均通行速度、交通流流量和平均耗時見表3.

表3 初始信號燈周期模型道路通行狀況

從表3可知，車輛從低谷期到平時期再到高峰期顯著增多，車輛密度、交通流流量和平均耗時增大，而車輛平均通行速度下降，展現了路口交通狀況的急劇變化.其中平均耗時這個指標是體現交通效率最為顯著的指標，下面對平均耗時進行著重分析.

圖2的模擬結果是不同模型各個路口出車概率與平均耗時的關系.由于模型的各個路口的出車概率不同，圖中的出車概率等級分別表示一組出車概率，即各個方向的出車概率.圖2中以出車概率等級為3表示低谷期的出車概率，出車概率等級越高，相對應的各個方向的出車概率越大，各個路口出車概率大小的增長趨勢由表1的數據決定.從圖中可以看到，三個模型平均耗時的變化趨勢基本相同，符合現實情況，這是由于隨著出車概率的增大，道路內的車輛數量不斷增大，導致車輛在信號燈路口前等待時間增多和交通環境趨于復雜所帶來的隨機慢化現象的增多，致使車輛在道路內的通行時間增多.根據平均耗時與出車概率等級的演化規律可以將出車概率大致分為三個區域.下面為方便表述，出車概率等級用P來表示.

圖2 三種模型在不同出車概率等級下平均耗時的關系

當P＜3時，在較低的出車概率下，人工調整信號燈周期模型為最優模型，智能信號燈周期模型并不適用，由于出車概率比較小時，道路上車輛數目較少，本文設置的智能信號燈由于各個路口的信號燈轉換速度快，因此反而會導致車輛的通行效率降低.

當3≤P≤5時，三個模型的車輛平均耗時相對比較平穩，這表明在此區間，隨著車輛數目的增多，道路上車輛的通行效率保持穩定.同時由P＝5時相對應的平均耗時可以看出智能信號燈周期模型相對于其他兩個模型的優越性.

當P＞5時，三個模型的車輛平均耗時與出車概率等級大致成正比.隨著出車概率的增長，即道路上車輛密度的增加，道路上的車輛開始擁堵，智能信號燈周期模型與初始信號燈周期模型的平均耗時之間的差距開始減少，但相對于人工調整信號燈周期模型與初始信號燈周期模型之間平均耗時的關系，智能信號燈周期模型對于改善道路上車輛通行的效率還是比較明顯.

3.3 論證高架橋模型的合理性

在城市發展后呈現的交通擁擠，同時又因建筑物密集導致難以拓寬的街道，造成了很多交通狀況問題；以建造高架橋來疏散交通密度，提高運輸速率成為大部分決策者的選擇.目前在大學路口修建金鳳路的直行高架橋，其他路口包括金鳳路左轉車道依舊存有信號燈控制系統.在此，我們模擬正在修建的金鳳路直行高架橋，通過分析該模型與初始信號燈周期模型、人工調節信號燈周期模型、智能信號燈周期模型的關系，探究修建高架橋的可行性.

圖3為高架橋模型與其他模型在平均耗時的關系圖，高架橋模型在不同出車概率等級下的平均耗時均優于或等于其他模型的平均耗時.

當P＜5時，即車流量在低谷期與平時之前的時候，相比較于其他三個模型，說明在該區間下的高架橋模型能夠保證道路的暢通，不存在道路擁堵現象；當 5≤P＜8時，高架橋模型同智能信號燈周期模型為最優模型，同時也表明智能紅綠燈可以很大程度上緩解平時期的道路堵塞現象；當P≥8時，高架橋模型下的平均耗時顯著低于智能信號燈周期模型及其他模型，相比較于智能信號燈周期模型，在道路上車流量大的時候，能夠更大程度上改善高峰期道路上的擁堵現象.

高架橋模型相比初始信號燈周期模型、人工調節信號燈周期模型和智能信號燈周期模型具有更優良性能，能夠極大地提高道路通行能力，降低平均耗時，故在大學路口修建高架橋，以期改善交通擁堵現狀的方案具備一定的可行性和優越性.但在出車概率非高峰期下，僅通過調整信號燈周期，初始道路便能改善道路通行狀況至高架橋模型的水平，說明信號燈周期時長對十字路口交通環境存在顯著性影響.

圖3 四種模型在不同出車概率等級下平均耗時的關系

4 結論

本文探究了基于元胞自動機的十字路口交通流模型，采用Brockfeld等人對NaSch和BML耦合模型的優化規則和慢啟動規則，分別建立了初始信號燈周期模型、人工調節信號燈周期模型、智能信號燈周期模型和高架橋模型，并運用于廣東省汕頭市大學路西港路口，對信號燈周期的配時及高架橋交通效益等問題進行了仿真實驗，得出以下結論：1.高架橋模型能夠極大地提升道路通行能力，改善交通效率，在西港路口修建高架橋具備理論上的可行性；2.信號燈周期時長對道路交通存在顯著性影響，合適的信號燈周期時長能夠在一定程度上改善交通環境；3.道路不同時期適用于不同的信號燈周期時長，信號燈周期需要一定的靈活性變化，以滿足高低峰期不同的交通需求.

致謝：感謝汕頭大學數學系李健老師的悉心指導.

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