把握結構特征，了解數學本性

沙國祥

結構，《現代漢語詞典》釋義為“各組成部分的搭配或排列”，指事物基本單元或部件之間的關系.無論是具象世界，宏觀如太陽系，中觀如建筑，微觀如分子，還是抽象世界，如文章、詩詞，均有各自的結構.數學也不例外，數學對象如代數式、數列、函數、圖形等，同樣也有相應的結構.結構，在很大程度上決定了事物的本性.本文以數列為例，談談如何抓住數學對象的結構特征，研究、了解其本性，由此可以把準很多很多高考題的命題立意，尋得解題思路.

命題往往采用逆向思維來立意，尋求刻畫數學對象本性的充要條件.

以上我們探討了等差數列的結構特征.那么，等比數列的結構有何特征？這些結構特征又怎樣決定了它的本性？有關高考題是怎樣以此立意的呢？

現在來看一個有趣的滴水問題：

往一個水池中滴水，第1s，1滴水；第2s，2滴水；第3s，4滴水；第4s，8滴水；……每秒滴水量為前一秒的2倍.若加滿半池需要ns，問：加滿整個水池還需要多長時間？

半池水，共有

1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1（滴）.

再用1s，加水2ⁿ滴，已經超過了前ns所加水的總滴數，因此加滿整個水池，還需要不到1s的時間就足夠了！

簡直不可思議！實際上，這個問題的結果生動地反映了等比數列的重要特性：

性質一 設各項均為正數的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，當公比q≥2時，S_nn+1.

這表明，當公比大于或等于2時，等比數列的項增長極快，以至于所有前項的和S_n還抵不上緊接著的后一項a_n+1.這種指數增長的特性，是由等比數列前n項的和S_n的結構所決定的：

以此眼光來看一道高考題：

該題命題的立意基于：1.等差數列通項的一次函數特征（也即線性特征：一個等差數列的各項同時乘以或同時加上同一個數，所得新數列仍然是等差數列）；2.等比數列的前n項和與第n+1項之間存在線性關系（**）.

由于等差數列、等比數列具有各自的結構特征和本性，只有極個別特殊數列可兼有二者身份.

（ii）求n的所有可能值.

（2）求證：對于給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差均不為零的等差數列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列.

本題第（1）題的立意，基于數列的一個簡單性質：

性質二 如果一個數列既是等差數列又是等比數列，那么該數列必定是常數列.

從等差數列與等比數列的結構和變化特征，可以直覺地領悟這一點：除了常數列以外，等差數列是均勻變化的，而等比數列則是非均勻變化的，可以是滾雪球或指數式增長！

對于第（2）題，仍然要抓住等差數列通項的一次函數特征，并再次利用數列的基本特性，即性質二.