基于形變模型的空間陣列位置誤差估計方法

霍立寰, 廖桂生, 楊志偉

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

從20世紀(jì)60年代中期以來,隨著空間科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,空間陣列[1]在衛(wèi)星通信、空間探索、地球觀測等方面得到廣泛應(yīng)用。空間陣列沿軌道運(yùn)行時,遭遇的周期性冷熱交變和較大的溫度梯度將造成空間陣列變形,造成的陣元誤差嚴(yán)重影響雷達(dá)系統(tǒng)性能,尤其對于多通道陣列處理,明顯減弱雜波抑制效果和降低動目標(biāo)檢測能力[2],因此有必要提出有效的適合空間陣列的誤差校正算法。

目前,針對空間陣列形變誤差的研究主要集中在形變陣列的方向圖分析[3-7]、陣元位置的測量與補(bǔ)償[8-11]及陣列形變對信號處理影響[12-14]3個方面。文獻(xiàn)[9]利用衛(wèi)星上的探針天線觀測陣面,通過比較陣面形變前后的測量結(jié)果,最后對每個陣元的相位誤差進(jìn)行補(bǔ)償;文獻(xiàn)[10]通過在天線板上放置多個測溫傳感器,結(jié)合地面熱真空實(shí)驗得到的大量數(shù)據(jù)來估計陣元位置誤差并進(jìn)行電補(bǔ)償處理;美國空軍研究實(shí)驗室和噴氣推進(jìn)實(shí)驗室合作開發(fā)的L波段大孔徑星載雷達(dá),通過天線上搭建的自動校準(zhǔn)和計量系統(tǒng),對陣元的空間位置進(jìn)行持續(xù)測量[11]。

空間陣列的位置誤差校正問題本質(zhì)上為陣列誤差的校正問題,在不同的條件和背景下提出多種校正方法[15-21]。其中最典型的是文獻(xiàn)[15-16]基于子空間原理,提出的基于聯(lián)合迭代求解的經(jīng)典算法，簡稱WF算法。該算法實(shí)現(xiàn)簡單且不需要輔助信源,雖然具有較高的校正精度,但是容易產(chǎn)生局部收斂,并且對于線陣的估計存在模糊[22-23],在實(shí)際應(yīng)用中無法達(dá)到理想的效果。針對方位依賴的陣元誤差,文獻(xiàn)[21]等提出陣列校正的輔助陣元法,通過引入少量精確校正的輔助陣元,實(shí)現(xiàn)陣列誤差進(jìn)行無模糊聯(lián)合估計,但是由于星載系統(tǒng)的限制,輔助陣元的實(shí)現(xiàn)較困難。

針對空間陣列的位置誤差問題,提出基于形變模型的誤差估計方法。該方法首先根據(jù)初始位置采用多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法估計角度,然后通過對代價函數(shù)進(jìn)行泰勒一階近似,最小化代價函數(shù)得到陣元位置初步估計;再利用形變模型,對初步估計的位置采用總體最小二乘法獲得形變模型參數(shù),并且根據(jù)形變模型對陣元位置進(jìn)行優(yōu)化,更新陣元位置繼續(xù)迭代直到代價函數(shù)收斂。本文算法具有快速收斂和高精度的優(yōu)點(diǎn),并且在低信噪比情況下仍具有良好的穩(wěn)健性。

1 信號模型

在空間環(huán)境中,星載平面陣列受到各種載荷的作用發(fā)生復(fù)雜的形變。空間陣列由各子板構(gòu)成,復(fù)雜的形變退化到三維的拋物柱面,能夠用拋物柱面進(jìn)行描述,如圖1所示。

圖1 面陣拋物柱面形變模型Fig.1 Parabolic cylindrical distortion model of the planar array

考慮由M×N個陣元組成二維陣列,并以第一個陣元(參考陣元)為坐標(biāo)原點(diǎn),理想陣面為XY平面建立直角坐標(biāo)系。陣元(m,n)的實(shí)際坐標(biāo)定義為(xmn,ymn,zmn),理想坐標(biāo)定義為(xmn0,ymn0,zmn0),滿足

(xmn,ymn,zmn)=(xmn0,ymn0,zmn0)+(Δxmn,Δymn,Δzmn)

(1)

Dx、Dy分別為陣列在X軸、Y軸上孔徑長度,zmax為拋物柱面的最大形變量,因此拋物柱形變曲面上的坐標(biāo)(x,y,z)滿足

(2)

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場窄帶信號sk(t)入射到該二維陣列,中心波長為λ,入射角為(θk,φk),其中k=1,2,…,K。方位角θk為入射信號投影到XY平面后與X軸的夾角,俯仰角φk為其與Z軸的夾角。實(shí)際陣列的輸出向量為

(3)

式中,n(t)是加性噪聲向量;a(θk,φk)是(θk,φk)方向的實(shí)際陣列導(dǎo)向矢量,表示為

a(θk,φk)=[1,…,e-j2πdmn,K/λ,…,e-j2πdMN,K/λ]T

(4)

式中

dmn,k=xmncosθksinφk+ymnsinθksinφk+zmncosφk

將式(3)表示成矩陣形式為

X(t)=A(θ)S(t)+n(t)

(5)

式中,A(θ)的第k列為a(θk,φk);S(t)的第k個元素為sk(t)。

實(shí)際接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(6)

對R進(jìn)行特征值分解,其最小的MN-K個特征值所對應(yīng)的特征向量un(n=K+1,K+2,…,MN)組成噪聲子空間Un=[uK+1,uK+2,…,uMN]。

實(shí)際中陣列協(xié)方差矩陣由有限次快拍數(shù)據(jù)來估計,即

(7)

式中,x(l)表示第l次快拍數(shù)據(jù)；L為快拍數(shù)。

2 位置誤差自校正方法

2.1 傳統(tǒng)WF方法原理

傳統(tǒng)WF算法[16]是同時估計角度和位置誤差的聯(lián)合迭代算法。該方法首先利用子空間正交原理構(gòu)造代價函數(shù)式(8);然后通過位置誤差的一階泰勒級數(shù)展開為式(9)形式,將耦合的位置誤差與來波角分離,進(jìn)而根據(jù)估計的角度計算得到位置誤差;最后將角度和位置進(jìn)行聯(lián)合迭代,通過最小化代價函數(shù)直至收斂得到誤差估計結(jié)果。

(8)

(9)

2.2 基于形變模型的位置誤差估計

WF求解陣元位置時,沒有利用陣面結(jié)構(gòu)約束,對空間陣列形變導(dǎo)致的陣元位置誤差估計結(jié)果精度較差。考慮到空間陣列形變引起的位置誤差具有相關(guān)性,因此在每一次迭代后,所提方法對解得的位置根據(jù)形變模型進(jìn)行約束,進(jìn)而得到修正的陣元位置。陣元位置優(yōu)化方法如下。

依據(jù)拋物柱面形變模型,設(shè)

可得

yρ=z

(10)

考慮到陣元位置在每一維都存在位置誤差,因此利用總體最小二乘法來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的曲面擬合效果,ρ的總體最小二乘解為

(11)

(12)

估計出陣列形變參數(shù)后,結(jié)合形變模型對陣元位置進(jìn)行修正,解決優(yōu)化問題,即

(13)

基于形變模型的陣元位置誤差估計方法步驟如下:

步驟3初始化:設(shè)迭代次數(shù)l=0,根據(jù)各個陣元的理想位置構(gòu)造空間譜為

(14)

(15)

步驟5對求得的陣元位置進(jìn)行總體最小二乘擬合形變模型參數(shù),并代入式(13)進(jìn)行優(yōu)化,解得修正后的陣元位置估計;

步驟6計算代價函數(shù)值Ql并判斷收斂條件是否滿足,若Ql-Ql-1>ε,則返回步驟4繼續(xù)迭代,并令l=l+1,否則結(jié)束迭代。

算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flow diagram of proposed algorithm

3 仿真實(shí)驗

3.1 驗證算法有效性實(shí)驗

通過仿真實(shí)驗,對比本文方法和傳統(tǒng)WF算法對形變陣列的誤差估計結(jié)果,驗證本文方法的有效性。采用二維平面陣,陣元數(shù)M=32,N=32,入射信號波長λ=0.3 m,理想陣面在行和列均等間隔放置,間距d=0.5λ,陣列形變最大值zmax=0.25λ。由于實(shí)際中存在微小的隨機(jī)機(jī)械誤差,因此附加上在±0.01d范圍內(nèi)均勻分布的位置擾動誤差。3個遠(yuǎn)場窄帶信號分別θ1=30°、φ1=20°，θ2=60°、φ2=70°和θ3=100°、φ3=45°到達(dá)陣列,信噪比為20 dB,采樣數(shù)為200,迭代次數(shù)為30。

根據(jù)仿真參數(shù),對陣元位置列向取平均后的估計結(jié)果如圖3所示,代價函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖4所示。

圖3 陣元位置估計結(jié)果Fig.3 Estimation result of the sensor positions

圖4 代價函數(shù)隨迭代次數(shù)變化Fig.4 Cost function versus iteration number

由圖3和圖4可知，傳統(tǒng)WF算法得到的陣元位置明顯有很大的偏差;基于形變模型的方法能夠得到精確的估計結(jié)果。結(jié)合圖4中兩種方法的代價函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系可知,傳統(tǒng)WF算法雖然能估計出較準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量,但是由于沒有考慮形變陣列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),不能得到實(shí)際位置結(jié)果估計。本文方法根據(jù)形變模型對陣元位置進(jìn)行修正,能夠得到準(zhǔn)確的陣元位置估計值。

為便于性能比較,定義平均陣元位置誤差為位置估計結(jié)果的性能指標(biāo),用符號poserror表示為

(16)

兩種方法的平均陣元位置誤差隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系如圖5所示,兩種方法的三維空間譜估計曲線如圖6所示。

圖5 陣元位置誤差隨迭代次數(shù)變化Fig.5 Sensor position errors versus iteration number

圖6 三維空間譜比較Fig.6 Comparison of the three-dimensional spatial spectra

由圖5和圖6可知，初始的平均陣元位置誤差約為33%,利用WF算法校正時平均陣元位置誤差在30次迭代后約為25,利用本文方法校正時在12次迭代后即可收斂至0.43%(波長0.3 m時，對應(yīng)0.65 mm);WF算法角度估計結(jié)果為

θ1=32.0°,φ1=20.4°

θ2=60.1°,φ2=70.4°

θ3=99.9°,φ3=45.8°

基于形變模型方法的角度估計結(jié)果為

θ1=30°,φ1=20.1°

θ2=60°,φ2=70°

θ3=100°,φ3=45°

仿真結(jié)果表明:對于形變陣列,WF算法對陣元位置和波達(dá)角不能得到正確的位置和角度估計結(jié)果;本文算法在實(shí)現(xiàn)快速收斂的同時,能夠得到正確的角度估計值和高精度陣元位置估計結(jié)果。

3.2 信噪比影響實(shí)驗

傳統(tǒng)WF算法對形變天線的誤差估計偏差較大,仿真對比輔助陣元法[21]與本文算法在低信噪比情況下的估計性能。實(shí)驗中采用列向取平均后的陣列,最大形變量zmax=0.1λ,蒙特卡羅實(shí)驗次數(shù)100,其他仿真參數(shù)與上個實(shí)驗相同,只是改變信源的信噪比。平均陣元位置估計誤差和角度估計均方根誤差隨信噪比的變化關(guān)系分別如圖7和圖8所示。

圖7 陣元位置估計誤差曲線Fig.7 Sensor position errors versus SNR

圖8 角度估計均方根誤差曲線Fig.8 RMSE of direction angles versus SNR

由圖7和圖8可知,在低信噪比的情況下,輔助陣元法性能下降嚴(yán)重;而基于模型的方法在信噪比低于5 dB時,平均陣元位置估計誤差的估計結(jié)果在5%以內(nèi),同時能夠得到高精度的角度估計,表明在低信噪比情況下,所提算法對于位置誤差和角度估計具有良好的穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

在實(shí)際工作環(huán)境中,空間陣列受熱載荷等因素的影響產(chǎn)生形變,導(dǎo)致陣元位置誤差嚴(yán)重影響雷達(dá)系統(tǒng)性能。提出基于形變模型的陣元位置誤差估計方法,在迭代過程中根據(jù)模型參數(shù)逐步修正估計結(jié)果。仿真結(jié)果表明該方法能夠快速收斂,并且在低信噪比情況下能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)于二十分之一波長的位置估計精度,滿足高分辨空間譜估計要求。

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