攔截導彈的制導律辨識與彈道預報

胡志恒, 周 荻, 鄒昕光

(1. 哈爾濱工業大學航天學院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近幾十年來,導彈制導律的研究取得了許多成果。從經典的比例導引律到增廣比例導引律,再到各種現代制導律。導彈制導律的不斷改進,給導彈規避方提出了更大的挑戰。單純對導彈運動參數進行觀測已經不能滿足要求,因此產生了識別制導律的新思路,即利用我方觀測器對敵方攔截導彈的外部觀測數據,對敵方攔截導彈的制導律進行辨識和參數估計。與傳統的彈道預報相比,可以得到對方攔截導彈未來加速度的變化規律,從而建立更精確的運動模型,對未來位置進行更精確的預報,對于機動突防和反攔截有著重要意義。

制導律辨識問題中,由于制導律的多樣性,識別問題的難點在于構造統一的通用數學模型,對制導行為進行描述。文獻[1]假設敵方攔截導彈使用比例導引律,然后以比例導引系數作為未知量建立觀測數據方程,通過求解制導控制量方程得到制導律參數。文獻[2]的仿真結果表明,對于未知的制導律同樣可以假設為比例導引律,通過調整比例導引系數擬合任意未知的制導律。為了濾除測量噪聲對識別結果造成的影響,用取均值的簡易濾波方法對數據進行了處理,提高了識別結果的精確度和穩定性。文獻[3]令觀測方進行某種機動,通過參照模型庫辨識大氣層外攔截器的導航比。文獻[4]采用交互多模型(interacting multiple model, IMM)思想,基于擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)算法和CV、CJ、CA模型,實現對來襲導彈的狀態估計。文獻[5]通過線性化導引律方程,利用多模型自適應估計(multiple model adaptive estimation, MMAE)思想,實現了二維平面內的導引律辨識。文獻[6]采用無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)方法和MMAE方法,設計了導彈的導引律及參數辨識器,在三維坐標內實現了對多種制導律及參數的辨識。文獻[7]從決策的角度研究了攔截末端導彈導引律的辨識問題,文獻[8]研究了自動尋的導彈三自由度攔截的導彈導引律辨識問題。

在實際應用中,制導律通常采用零化視線角速率的思想,其都可以等效為不同導航系數的比例導引律。因此,用比例導引律作為制導律的模型,把制導律辨識問題轉化為比例導引律的參數辨識問題。

系統的可觀性是濾波器設計的理論前提,但是在前述制導律辨識的研究中并沒有對該問題從理論上給出嚴格的證明。

非線性系統的可觀性問題比較復雜,通常的做法是將其局部線性化,然后利用線性系統的可觀性理論進行研究。文獻[9]對非線性系統可觀性理論的發展做了詳細的介紹;文獻[10]利用微分幾何理論,提出了“局部弱可觀”概念,為非線性系統可觀性理論分析做出了重大貢獻。

彈道預報主要分為兩個問題:通過濾波估計目標的位置和速度,提高濾波的精度,為預報提供準確的初值;為目標運動建立準確的預報模型,得到準確的預報結果。

目前關于彈道預報問題也已經有了不少研究,但是研究對象多為彈道導彈。文獻[11]使用基于當前統計模型和UKF進行估計,然后用修正的動力學模型進行預報。文獻[12]使用基于IMM算法的UKF算法估計彈道系數。

傳統的彈道導彈在大氣層外時做慣性運動，進入大氣層后主要受氣動力作用，故其運動模型容易建立。當預測目標有主動機動時,模型建立比較困難。而本文研究的內容中,預測目標的加速度受到制導律約束。因此,用待定制導系數的比例導引律擬合預測目標的制導律,可以得到未來加速度的變化規律,從而實現對未來軌跡更精確的估計。

1 問題描述

考慮三維平面內導彈攔截目標的問題。在本文研究的問題中,導彈是敵方,目標是我方。建立坐標系如圖1所示,我方慣性坐標系Txyz,原點T為我方初始位置,Tx軸指向敵方初始位置,Ty軸鉛垂向上,Tz軸由右手定則確定；敵方慣性坐標系Mxyz,原點M為敵方初始位置,Mx軸指向我方初始位置,My軸鉛垂向上,Mz軸由右手定則確定。為處理敵方導彈制導律,建立敵方的視線坐標系Mxsyszs,原點M為敵方位置,Mxs軸指向我方,即敵方的視線方向,Mys軸在鉛垂平面內垂直于視線指向上,Mzs軸由右手定則確定。由敵方的慣性坐標系和視線坐標系可以定義兩個視線角qε、qβ。

圖1 坐標系關系圖Fig.1 Relation of coordinates

將系統狀態變量取為

式中,rx、ry、rz為目標-導彈位置在我方慣性系下的分量;vx、vy、vz為目標-導彈速度在我方慣性系下的分量;axm、aym、azm為導彈的制導加速度在我方慣性系下的分量;Ny、Nz為導彈俯仰、偏航兩通道的制導系數。則系統狀態方程為

(1)

式中,axt、ayt、azt為目標的機動加速度在我方慣性系下的分量;uxm、uym、uzm為導彈制導指令在我方慣性系下的分量;τ是導彈動態特性的時間常數。

按照比例導引律,視線系下導彈的制導指令為

(2)

式中,r、qε、qβ分別是目標-導彈的相對距離和俯仰、偏航視線角。

為簡化方程形式,對制導律進行解耦。在俯仰平面內,比例導引律的制導指令在視線系下為

(3)

式中

由視線系到我方慣性系的轉換矩陣為

(4)

式中

于是導彈加速度指令在我方慣性系下為

(5)

類似地,得到偏航平面

(6)

代入式(1)得到完整的狀態方程表達式。

目前,在對敵方防空反導導彈的近程探測預警系統中,被動探測方式依然是主流,但是隨著激光雷達的發展,主動探測方法也變得可行。

激光雷達是傳統雷達技術與現代激光技術相結合的產物,具有分辨率高、體積小、簡單方便等優點。將新興的激光雷達技術與業已成熟的被動紅外探測技術相結合,綜合利用紅外技術優秀的目標方位、俯仰參數測量能力以及激光雷達精確的距離測量能力,可以更加準確測量可疑飛行器的飛行方向、距離和速度參數[13],未來可以應用于大氣層外攔截導彈動能攔截器。

(7)

2 制導律辨識問題的可觀性分析

非線性系統的可觀性比線性系統復雜得多。文獻[10]利用微分幾何方法研究了非線性系統的局部弱能觀性。

已知非線性系統為

這里假設X是連通的n維C∞流形。F表示由f(x,u*)(u*是任意常數)生成的最小對合分布。h=[h1,…,hr]T,hi都是C∞類的。H是包含h1,…,hr且關于F的微分不變的最小函數空間,dH是它在X上的余分布,dH關于F也是不變的。

定義1[9]對于x0,當x1≠x0時,總有u(t)和T>0,使得在0≤t≤T時,y(t,x0,u(t))≠y(t,x1,u(t)),則稱系統在x0處是可觀的。如果對于一切x∈X都成立,則稱系統是可觀的。

定義2[9]存在x0的鄰域U,任給x0的鄰域V?U,當x1∈V,x1≠x0時,總有u(t)和T>0,使得在0≤t≤T時,x(t,x0,u(t))?V,x(t,x1,u(t))?V,且y(t,x0,u(t))≠y(t,x1,u(t)),則稱系統在x0處是局部弱可觀的。如果對于一切x∈X都成立,則稱系統是局部弱可觀的。

已知x0∈X,如果dim dH(x0)=n,那么系統在x0處是局部弱可觀的。如果對于一切x∈X都成立,那么系統是局部弱可觀的[9]。

將系統(1)寫成一般形式

(8)

沒有外部輸入,所以易得

F=span{f(x)}

(9)

定義導數為

記

則

h01(x)=rx

h02(x)=ry

h03(x)=rz

h11(x)=Lf(x)h01(x)=Lf(x)rx=vx

h12(x)=Lf(x)h02(x)=Lf(x)ry=vy

h13(x)=Lf(x)h03(x)=Lf(x)rz=vz

h21(x)=Lf(x)h11(x)=Lf(x)vx=axt-axm

h22(x)=Lf(x)h12(x)=Lf(x)vy=ayt-aym

h23(x)=Lf(x)h13(x)=Lf(x)vz=azt-azm

h31(x)=Lf(x)h21(x)=-(uxm-axm)/τ

h32(x)=Lf(x)h22(x)=-(uym-aym)/τ

h33(x)=Lf(x)h23(x)=-(uzm-azm)/τ

?

h10,3(x)=Lf(x)h93(x)=…

H為以上向量張成的函數空間,即

H=span{rx,ry,rz,vx,vy,vz,axt-axm,axt-aym,azt-azm,

-(uxm-axm)/τ,-(uym-aym)/τ,-(uzm-azm)/τ,…}

將以上各項分別對各狀態變量求偏導,生成的函數空間即為dH。將函數空間的維度改寫成矩陣的秩,因此局部弱可觀條件變成

(10)

式中,?um/?r是控制量um對于相對距離的偏導數矩陣;?um/?v是控制量um對于相對速度的偏導數矩陣;?um/?Ny、?um/?Nz是控制量um對于導航比Ny、Nz的偏導數。

仿照線性系統可觀性理論,可以把式(10)中的矩陣看作非線性系統的可觀性矩陣。

如果?um/?N≠0,那么就可以得到可觀性矩陣滿秩,系統可觀。在這里忽略坐標系偏差,近似認為在比例導引律中

(11)

因而

(12)

(13)

不滿秩。

這一點結合實際情景也很容易說明。控制指令為0就相當于制導律沒有起作用,自然無法觀測制導系數。

3 濾波器設計

設系統的非線性模型為

(14)

式中,X(t)是系統的狀態變量;Z(t)是測量量;W(t)是干擾;V(t)是測量噪聲。

根據泰勒公式,有

(15)

忽略二次項以后,系統可離散為

(16)

式中,F(X(k))是f(X(k))的Jacobi矩陣。

因此對應的EKF算法為

(17)

其中

(18)

(19)

Q是狀態轉移預測過程中的處理噪聲協方差矩陣。制導律解耦對x軸方向造成的誤差更大,故令vx、ax的分量大一些。為使制導系數收斂得更快,令Ny、Nz的分量大一些,令Q=diag(10,10,10,50,10,10,50,10,10,1,1),R是觀測值噪聲的協方差矩陣。這里測量標準差設為3 m,故取R=diag(9,9,9)。

4 彈道預報

4.1 預處理

通過卡爾曼濾波獲得的估計值往往帶有一定的誤差,測量誤差的影響會使得估計結果出現抖動的現象,如果直接用濾波器獲得的結果進行預報,必然會帶來很大誤差,因此有必要將濾波結果進行必要的平滑處理。

(20)

由于濾波器初值選取存在誤差,濾波結果收斂到真值需要一定時間。因此需要結果收斂的指標,當濾波數據達到要求后,便可利用數據進行彈道預報工作。

對于濾波產生的若干個數據x1,x2,…,從第i個數據xi開始,順次選取N個數據,給定波動上界ε,若這N個數據中的最大值xmax和最小值xmin滿足xmax-xmin<ε,則認為數據收斂,用xi+N-1進行計算;否則,從i+1開始重新選取數據。

4.2 預報方程

通過濾波獲得對方制導律參數和位置速度信息后,便可通過求解微分方程進行彈道預報。

5 仿真

5.1 制導律辨識

以雷達對相對位置和相對速度的測量值作為濾波器的初值,有一定的誤差,根據誤差的大小設定濾波器的參數P。敵方加速度初值可取0,制導系數根據經驗可取2。導彈動態特性的時間常數τ可以根據經驗選取,這里取0.015,實際上,這個值對仿真結果影響很小。敵方導彈可以按照比例導引律順利攔截我方飛行器。慣性系下相遇過程雙方彈道如圖2所示。

圖2 相遇過程雙方彈道Fig.2 Trajectories of Engagement

相對距離、相對速度、攔截導彈加速度的真實值和濾波器估計值如圖3～圖5所示。其中,圖5還描述了攔截導彈的機動情況。

圖3 相對距離的真實值和估計值Fig.3 Estimate and actual range

由圖3～圖5可知,通過調整濾波器的各項參數,濾波器對各項參數的估計效果均能滿足要求。由于測量誤差的存在,對加速度的估計結果抖動現象會比較明顯。

圖4 相對速度的真實值和估計值Fig.4 Estimate and actual range rate

圖5 攔截導彈加速度的真實值和估計值Fig.5 Estimate and actual interceptor acceleration

制導系數估計值隨時間的變化情況，如圖6所示。

圖6 制導系數估計值Fig.6 Estimate guidance coefficient

由圖6可知,通過調整濾波器參數,制導系數的估計效果可以滿足要求。經過平滑處理后,濾波結果可以在1 s左右到達真值附近。

5.2 彈道預報

根據前面所述方法對濾波所得數據進行處理。取M=200,N=30,ε=0.1。處理之后系統認為在1.36 s時數據可以用來預報。攔截導彈彈道預報的誤差[exeyez]T如圖7所示。未來10 s后,即11.36 s時的位置預報結果誤差為[-2.861 0.515 -0.179]Tm,算法平均所用時間為0.045 599 s。

圖7 彈道預報誤差Fig.7 Error of trajectory prediction

在敵方導彈的運動過程中,x軸加速度不大,近似于勻速運動。所以初始速度一旦出現偏差,它的影響就會一直存在。而y軸和z軸,因為預報模型中有制導律的作用,所以即使初值有誤差,預報位置也會有向攔截目標位置接近的趨勢。這使得即使中間過程誤差比較大,最終的攔截點也會和真值比較接近。而制導律中的參數,即制導系數,與真值越接近,整條預報彈道與真值也就越接近。由此可見,預報初值的精度和制導律參數辨識的精度對最后彈道預報的精度影響較大。

6 結 論

以上理論分析和仿真實驗說明,在視線角速率不為0的條件下,通過EKF方法可以估計比例導引律的制導系數,收斂速度和最終精度都能滿足要求。以濾波器的估計結果為預報初值,進一步可以對攔截導彈未來的位置進行預報,滿足一定的精度和速度要求,對我方飛行器規避敵方的攔截具有一定意義。

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