應用二次指數平滑法的光柵信號細分方法研究

李 鋼，陳自然，田 偉，趙 建，李 云

(1.重慶理工大學 機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心，時柵傳感及先進檢測技術重慶市重點實驗室， 重慶 400054；2.五凌電力有限公司， 長沙 410004)

光柵傳感器由于具有容易實現自動化與數字化的優勢，在自動化測量領域應用十分廣泛，所以提高光柵傳感器的測量精度，無論是在機械加工還是在國防建設方面都具有重大意義。而分辨率是評價光柵傳感器性能的重要指標，傳統的光柵傳感器的分辨率取決于光柵柵距刻劃的密集程度。但由于高精密的柵線刻劃能力對制造設備以及相關技術的要求很高，因此無法得到大規模的普及，并且柵線密度過大會給光柵傳感器的動態性能帶來影響。因此，國內外學者將研究焦點由柵線的高密度刻劃轉移到了對光柵輸出原始信號的輔助細分[1-5]。由于半導體技術和信息化產業的發展，嵌入式系統也逐漸運用到了光柵細分領域。文獻[6-8] 提出一種采用高速 DSP 對光柵信號進行數字細分的方法,并應用數字濾波以提高細分精度。文獻[9-10]提出一種基于FPGA 的光柵信號細分及辨向方法,并設計了一種基于幅值采樣細分方法的電路，最終實現對光柵信號的細分和辨向。文獻[11]提出了基于智能數字鎖相技術的光柵細分方法，并研究了該方法中光柵跟蹤速度與細分數的關系，縮短了鎖相時間，提高了跟蹤速度。但上述文獻提到的細分方法最終的細分效果仍依賴于光柵傳感器輸出原始信號的信號質量,特別是對正弦性和正交性有較高的要求。本文提出一種應用指數平滑預測算法的光柵信號細分方法，將對空間的測量轉化為對時間的預測，是一種細分結果與光柵輸出信號的正弦性與正交性無關的方法。

1 光柵信號預測細分原理

在物體運動過程中，空間位置與運動時間存在著一一對應的關系，如果物體的運動軌跡固定，那么對空間位置的測量可以轉化為對時間的測量，對于柵式傳感器，刻劃在傳感器上的柵距類似于位置坐標。當傳感器運動時，每一時刻都對應著一個“坐標”。但“坐標”的精度受工藝制造水平的限制，而時間的精度可以精確到很小。這種將時空轉換的思路運用到光柵傳感器的輔助細分中的方法,能突破光柵傳感器在制造工藝上的局限，實現光柵的高精度細分[12-16]。

圖1 光柵預測細分模型

圖1所示為光柵預測細分模型，光柵單位柵距的大小是固定的ΔS，而經過每個柵距的時間與光柵運動速度相關,通過對歷史單位柵距的運行時間Δti,Δti+1，…，Δti+n-1分析并建立數學模型，預測經過下一個柵距的時間Δti+n，在Δti+n內，根據設定好的細分倍數，嵌入式微處理器即可輸出相對應的細分脈沖，實現光柵傳感器的預測軟細分。

2 光柵細分算法研究

光柵傳感器在運動的過程中，因為慣性的存在，使得光柵運動具有一定的穩定性，運動速度不會發生驟變，因此，由采樣得到的歷史柵距的通過時間構成的時間序列比較平滑，光柵通過當前柵距的時間Δt與上一個柵距的通過時間具有強的相關性。指數平滑法通過給過去的樣本觀測值不一樣的權重，使距離當前預測樣本時間越近，獲得的權值越大[17]。因此,可通過構建應用指數平滑法的光柵信號細分模型來對時間進行預測，實現光柵細分。

2.1 一次指數平滑法

采樣時間樣本Δti,Δti+1，…，Δti+n-1,為光柵通過前n個柵距時的時間，根據一次指數平滑法有：

(1)

(2)

即對第i+n個柵距的預測時間為ΔTi+n,有

ΔTi+n=αΔti+n-1+(1-α)ΔTi+n-2

(3)

進一步展開有

(4)

記β=1-α(0<α<1)，式(4)可化簡為

(5)

2.2 二次指數平滑法

一次指數平滑預測算法具有簡單、運算快的優勢，但當樣本序列的變動具有近似直線的趨勢時，如光柵傳感器做勻加速運動時，使用一次指數平滑法進行預測將會帶來滯后偏差。因此，通常在一次平滑的基礎上再一次進行平滑處理，能夠實現更精確的預測。

(6)

則根據二次指數平滑法得到預測結果為式(7)。

(7)

(8)

式中k為時間跨度，表示預測的長遠程度，預測越長遠即k值越大，那么帶來的誤差也就越大。由于光柵傳感器運動過程中具有連續性，觀測樣本數據可實時更新，因此本系統所做預測均為近期預測，所以令k=1。最終預測結果如式(9)所示。

(9)

2.3 初始值的確定

(10)

2.4 平滑系數α的確定

利用指數平滑法進行建模預測時，平滑系數反映了數學模型對歷史數據變化的靈敏程度，因此對平滑系數α的確定是關鍵，α的選擇是否合適對最終的預測效果有較大影響。傳統的確定平滑系數的方法有經驗估計法、試湊法、0.618選優法等。利用經驗估計法獲取平滑系數簡單迅速，但是最終預測誤差較大；而0.618選優法能夠確定最優的α值，使得最終的預測效果較好,但算法復雜[20-22]。在本系統中利用預測算法進行光柵軟細分不僅要考慮預測效果，而且不可忽略光柵細分過程中的實時性。因此，本系統考慮使用經驗估計法和0.618選優法結合的組合算法來確定最終的平滑系數。針對光柵傳感器不同的運動階段得到的觀測樣本序列穩定性不同的特點，先利用經驗估計法縮小平滑系數的取值范圍，然后利用0.618選優法搜尋最優平滑系數。

2.4.1 平滑系數經驗估計法

光柵在不同的運動狀態時，由于外界的干擾或自身運動狀態的特點，得到的觀測樣本序列穩定性不同，而經驗估計法則是根據觀測樣本序列的穩定性來確定最終的平滑系數。經驗估計法選優標準如下：

1) 當樣本序列趨于穩定、數據變化不大時平滑系數應取得小一些，一般α取值域為(0.1，0.4)。此時模型中的各期權數沒有較大差別，使得修正幅度比較小，最終的預測結果中有比較多的歷史觀測樣本序列成分。此時對應光柵傳感器運動過程中的相對高速近似勻速運動過程(此時光柵運動穩定)。

2) 當樣本序列波動較大時，平滑系數取值域為(0.4，0.6)，對應于光柵運動過程中的加速過程中的穩定階段和相對低速近似勻速運動過程(此時光柵運動不太穩定)。

3) 當樣本序列波動很大時，平滑系數應取大一些，通常取值域為(0.6，0.8)。較大的平滑系數能夠使得整個數學模型對歷史變化有大的靈敏度，使得最終預測值能與觀測樣本數據變化同步。此時，對應于光柵運動過程中數據變化非常大的過程，如光柵由勻速運動到變速運動的過渡階段(光柵運動很不穩定)。

考慮按照以上標準使用經驗估計法來初步確定光柵在不同運動階段時平滑系數取值范圍，提高細分過程中的實時性。

2.4.2 平滑系數0.618選優法

利用0.618選優法確定平滑系數，首先要確定目標函數，在本系統中考慮使用平均絕對百分比誤差MAPE作為目標函數，如式(11)所示。

(11)

將平滑系數取值域(0.1,0.4)劃分為3個子域(0.1,0.2)、(0.2,0.3)、(0.3,0.4)依次對每個子域(Xi，Yi)執行以下步驟：

① 計算αi=0.618Xi+0.382Yi。

選優部分流程如圖2所示。

3 預測細分硬件系統設計

圖3 光柵預測細分硬件系統框圖

圖3為本系統的硬件系統框圖。常見的光柵傳感器輸出信號為兩路相位相差90°的正弦波。圖3中的信號預處理模塊主要由過零檢測器構成，其功能是將兩路正弦波轉化為兩路PWM波。圖中Zynq-7000為一款集成了FPGA和ARM內核的嵌入式芯片。將FPGA和ARM組合運用在本系統中主要實現以下功能：

① 對PWM波進行計數并辨向。

② 獲取觀測樣本數據并建立基于二次指數平滑法的數學模型，對下一個柵距的運行時間進行預測。

③ 對誤差進行實時修正。由于實驗過程中總存在誤差，為消除誤差累計，需要對細分前和細分后的脈沖進行計數，然后根據細分前后脈沖計數的差值修正下一次的細分脈沖輸出量。

④ 依據細分倍數和細分誤差，輸出對應的細分脈沖。

4 細分實驗研究

圖4 光柵細分實驗系統

圖4為本系統的實驗平臺，為保證實驗結果的可靠性，需要作對比實驗進行驗證。圖4中光柵1和光柵2為兩個分辨率相同的光柵傳感器(均來自HEIDENHAIN公司)，但利用到的細分方式不同，光柵2采用的是基于二次指數平滑算法的軟細分方式，而光柵1利用HEIDENHAIN公司的IBV660B細分盒進行細分。為保證光柵1和光柵2運動狀態一致，將它們與數控轉臺同軸安裝。由于實驗過程中光柵傳感器微小的速度變化都能影響實驗結果，因此實驗平臺考慮利用PMAC可編程的多軸控制器對速度進行精確的控制，方便對不同運動狀態下的光柵細分效果進行研究。

圖5為光柵傳感器在PMAC控制器控制下的光柵運動時間-位移圖。起始位移為45.07°,終止位移為82.81°,運行總時間為10.937 4 s。圖6為對應過程中的速度變化曲線，為了檢驗光柵傳感器在不同的運動狀態下的細分效果，令光柵分別運動在低速勻速狀態、勻加速狀態、高速勻速狀態以及勻減速狀態，最后回到低速勻速狀態，分別對應于圖6所示的階段1～5。

圖5 光柵運動時間-位移曲線

圖7為根據本算法得到的預測采樣時間誤差，對數據和圖形進行分析可得：

1) 在光柵作相對低速運動的過程中，如圖7中所示1和5階段，由于此時PMAC控制系統的振動對光柵傳感器干擾較大，導致系統不穩定，故此時的預測誤差較大，預測效果能控制在±0.078 ms以內。

2) 在光柵作勻加速和勻減速運動時，如圖7中2和4階段，這兩個階段的中間過程由于光柵運動趨勢相對穩定，因此數據波動不大，而在2和4階段的開始過程和結束過程中，光柵傳感器處于由勻速運動到加速運動或加速運動到勻速運動的“臨界”階段，故此時數據波動很大。因此，在整個運動過程中預測誤差也最大，預測效果只能控制在±0.12 ms以內。

3) 圖7中階段3的預測誤差最小。因為此時光柵傳感器運動在相對高速階段，PMAC控制系統帶來的影響較小。此時系統穩定，數據波動較小，預測效果能控制在±0.048 ms以內。

圖8為系統細分誤差圖，對數據和圖形進行分析可知：

1) 細分效果最好的階段出現在光柵傳感器作相對高速近似勻速運動時，即圖8中3階段，細分誤差能控制在±0.67″。

2) 當PMAC控制系統帶來的干擾較大時,如圖8中1和5階段，細分誤差只能控制在±0.89″。

3) 細分效果最差出現在光柵運動趨勢不穩定、數據波動較大時，如圖8中2和4階段中的勻速運動與加速運動過渡過程中的“臨界”階段，細分誤差為±1.35″。

圖7 預測采樣時間誤差

5 結束語

本文提出一種基于指數平滑法的光柵信號細分新方法，與傳統的細分方法不同，此方法不依賴于光柵傳感器輸出信號的質量，充分利用現有的工藝制造水平，將對空間的測量轉換為對時間的預測。

結合光柵傳感器的運動特點,通過對采樣的時間序列進行應用二次指數平滑法的數學模型的建立。在預測過程中給不同的采樣觀測值不同的權重，從而實現對下一個柵距運行時間準確的預測。由于二次指數平滑法的預測效果受平滑系數的影響較大，考慮到兼顧光柵傳感器細分過程中的細分實時性和細分準確性，本文充分利用平滑系數經驗估計法以及0.618選優法兩種算法的優勢，構成組合式的平滑系數優選算法，從而確定最優的平滑系數，以實現又快又準的預測細分。

整個系統的預測效果和細分效果與樣本時間序列的穩定性相關，當外界干擾較大或者光柵傳感運動趨勢不穩定時，預測和細分效果較差。而當數據波動小，系統穩定時，預測效果較好。最終對實驗數據的研究分析結果表明：實驗結果達到要求，將指數平滑法運用到預測細分模型中能對光柵進行精密細分。

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