平面線圈型直線時柵參數(shù)優(yōu)化方法

徐清華，武 亮，彭東林，徐 是

(重慶理工大學(xué) 時柵傳感及檢測技術(shù)重慶市重點實驗室， 重慶 400054)

時柵位移傳感器基于“時空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論”，用時間變化量替代空間位移量，運用高頻時鐘脈沖插補的方式實現(xiàn)高精度測量[1]。新型磁場式直線時柵位移傳感器是一種平面線圈型直線位移傳感器，通過在測量平面刻劃“回”型線圈的方式產(chǎn)生行波磁場，抑制機械加工齒槽對行波磁場的非勻速性影響，測量精度達到±1 μm[2]。傳感器勵磁線圈導(dǎo)線之間的間隔和兩相鄰勵磁線圈中心距的大小是影響脈振磁場性能的重要參數(shù)。文獻[2]中的傳感器勵磁線圈導(dǎo)線之間的間隔相等，兩相鄰勵磁線圈中心距未做優(yōu)化，從而使測量平面的脈振磁場諧波成分較多，影響傳感器的測量精度。針對該問題，筆者所在課題組[3]前期采用枚舉法對其進行優(yōu)化，優(yōu)化時間約為1.817 h，優(yōu)化后諧波畸變率為0.167 4。該方法不僅費時，優(yōu)化效果也不盡理想。

目前，學(xué)者們提出了諸如隨機方向法、懲罰函數(shù)法、遺傳算法等有約束優(yōu)化方法[4]。其中隨機方向法過程簡單，但是計算效率較低。王普凱等[5]采用隨機方向法對變速箱擋比進行優(yōu)化，使車輛原地起步加速時間和累積燃油消耗量分別降低了7.133%、3.54%，但是優(yōu)化時間為7.283 h。懲罰函數(shù)法通過引進1個乘法因子把其轉(zhuǎn)化為無約束問題。邱麗芳等[6]采用懲罰函數(shù)法優(yōu)化了柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)，優(yōu)化后繞Z軸轉(zhuǎn)動能力增大，運動能力減小，但是優(yōu)化過程需要大量的時間。遺傳算法具有收斂性好、計算時間少等優(yōu)點[7-8]，但是該算法是一種全局優(yōu)化方法，解決局部最優(yōu)問題能力較差[9]。胡俊峰等[10]以微操作平臺強度為約束條件，采用遺傳算法對該平臺進行優(yōu)化，使平臺固有頻率增大了35.58%，最小應(yīng)力減小了38.97%，但是函數(shù)容易收斂于局部最優(yōu)值。對于上述傳統(tǒng)優(yōu)化方法的缺點學(xué)者們進行了大量的研究。Amirjanov等[11]提出了一種改變搜索區(qū)域的遺傳算法，用12個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)測試其尋優(yōu)性能，尋優(yōu)效果良好，但是過程較復(fù)雜，局部尋優(yōu)能力不高。Le Riche等[12]提出了一種隔離遺傳算法，通過2個懲罰因子的相互調(diào)節(jié)避免懲罰值過大或者過小，但是在實際應(yīng)用中效率較低。結(jié)合遺傳算法和非線性規(guī)劃算法的一種組合算法已被用到一些多參數(shù)、多約束的最優(yōu)化問題中，非線性規(guī)劃理論較強的局部搜索能力彌補了遺傳算法的缺陷。

對于平面線圈型直線時柵位移傳感器，勵磁線圈存在多個導(dǎo)線間隔，數(shù)學(xué)模型相對較復(fù)雜，如能利用非線性規(guī)劃遺傳算法進行優(yōu)化，不僅能使優(yōu)化時間縮短，而且能提高優(yōu)化效果。基于此，本文將傳感器數(shù)學(xué)模型和非線性規(guī)劃遺傳算法相結(jié)合，對線圈導(dǎo)線間隔和相鄰線圈中心距進行優(yōu)化，產(chǎn)生較好的脈振磁場，從結(jié)構(gòu)上減小了傳感器的原始誤差，提高了其測量精度。

1 傳感器參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 傳感器原理及參數(shù)優(yōu)化模型

平面線圈型直線時柵位移傳感器結(jié)構(gòu)如圖1所示，由方向相反的回型線圈串聯(lián)分別構(gòu)成正、余弦勵磁線圈并置于導(dǎo)磁基體上，共同構(gòu)成傳感器的定尺。磁場拾取線圈繞制在齒型磁芯上，構(gòu)成傳感器動尺。

圖1 傳感器基本組成結(jié)構(gòu)

對于單個勵磁線圈(如圖2所示)，當(dāng)通入電流Im，線圈上方任一點P的磁場強度是AB、BC、CD、DA四根導(dǎo)線產(chǎn)生磁場強度的疊加，利用畢奧薩法爾定律求得點P處的磁場強度：

(1)

式中μ0為真空磁導(dǎo)率。每匝線圈在點P處產(chǎn)生的磁場強度之和即為單個勵磁線圈在空間任意一點處的磁場強度：

(2)

式中n為線圈匝數(shù)。在z=z0處的k匝磁場拾取線圈沿x軸移動時，通過線圈的磁通量呈現(xiàn)周期性變化，可表示為傅里葉級數(shù)展開式：

(3)

式中：m為磁場拾取線圈匝數(shù)；sk為第k匝磁場拾取線圈的面積；φj為第j次諧波分量幅值；Pj為第j次諧波分量初相角；W為傳感器節(jié)距。

圖2 多匝線圈結(jié)構(gòu)和單個勵磁線圈計算模型

正、余弦勵磁線圈相差1/4個節(jié)距排列，當(dāng)正弦勵磁線圈和余弦勵磁線圈分別通入交流電流is=Imsinωt和ic=Imcosωt時，如只考慮總磁通量基波分量，磁場拾取線圈的感應(yīng)電動勢可表示為

(4)

在實際情況中，除去基波分量的其他諧波分量會帶來測量誤差。現(xiàn)有傳感器勵磁線圈導(dǎo)線采用等間隔排列，感應(yīng)信號存在較多諧波成分。

取單相勵磁線圈作為被優(yōu)化物理模型，當(dāng)磁場拾取線圈在勵磁線圈上方移動時，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢呈現(xiàn)周期性變化，因此可通過傅里葉級數(shù)展開，如式(5)所示。

(5)

式中：A0為直流分量；Ai為第i次諧波分量幅值，φi為第i次諧波分量初相角。由式(5)得諧波畸變率：

(6)

式中n為諧波頻次。諧波畸變率THD值越小表示感應(yīng)信號越接近理想的正弦信號，疊加后的行波電信號諧波成分更少，因此以此作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

勵磁線圈匝數(shù)為5匝，影響THD值的參數(shù)為每根導(dǎo)線與最外圈導(dǎo)線間隔r1、r2、r3、r4以及線圈中心距s。線圈外圈X方向?qū)Ь€寬度為定值5 mm，且導(dǎo)線直徑為0.1 mm。由于線圈對稱，因此導(dǎo)線間隔范圍取[0.2 mm，2.4 mm]。由于取單相勵磁線圈，兩相鄰線圈中心距最小值為10 mm，且傳感器規(guī)格限制，中心距最大值不宜過大，因此取最大值為11 mm。得到約束條件為：

(7)

1.2 非線性規(guī)劃遺傳算法

圖3 非線性規(guī)劃遺傳算法流程

非線性規(guī)劃遺傳算法是一種基于生物界自然選擇原理和進化機制的智能算法。非線性規(guī)劃理論作為經(jīng)典的優(yōu)化算法，其全局優(yōu)化能力較弱，但是具有較強的局部優(yōu)化能力，而遺傳算法的基本理論是在孟德爾遺傳定律上建立起來的，具有良好的并行性、極強的通用性和全局優(yōu)化能力，結(jié)合非線性規(guī)劃理論和遺傳算法，使二者互補，可解決平面線圈型直線時柵位移傳感器的脈振磁場優(yōu)化問題。

非線性規(guī)劃遺傳組合優(yōu)化算法優(yōu)化基本流程如圖3所示。

采用非線性規(guī)劃遺傳算法對勵磁線圈脈振磁場進行優(yōu)化需進行以下步驟：

1) 種群初始化

確立種群群體，即優(yōu)化變量設(shè)計解的集合。根據(jù)勵磁線圈參數(shù)取值范圍設(shè)計一組解向量，采用實數(shù)編碼法將這組解向量編碼，每組解向量中單個單元稱為染色體，對于傳感器勵磁線圈優(yōu)化問題該向量可表示為

(8)

2) 求解適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度值大的解向量越有機會進行下一代遺傳操作。對于勵磁線圈脈振磁場的優(yōu)化是求目標(biāo)函數(shù)THD的最小值，因此把函數(shù)THD的倒數(shù)作為染色體的適應(yīng)度函數(shù)：

(9)

3) 選擇

由于適應(yīng)度函數(shù)取THD的倒數(shù)，選擇運算可表述為將前一代種群中THD值較小染色體按一定的概率篩選出來組成新的種群。優(yōu)化過程中選擇運算的方法為輪盤賭法，解向量中適應(yīng)度值越大被選中的概率越大，個體i被選擇的概率如下：

(10)

式中：Fi為染色體的適應(yīng)度值；N為種群的染色體個數(shù)。

4) 染色體交叉

交叉運算方法選用實數(shù)交叉法，將2個染色體按照一定規(guī)則交換部分基因，染色體ak和染色體al在j位交叉運算的方法為：

akj=aij(1-b)+aljb

alj=alj(1-b)+akjb

(11)

式中b為[0,1]區(qū)間的隨機數(shù)。

5) 染色體變異

任意選取單個染色體，將該染色體對應(yīng)編碼的某個位置改變得到另一個染色體，同時為確保種群的穩(wěn)定性，變異染色體的個數(shù)不宜太多。染色體ai的第j個基因進行變異運算的方法為：

(12)

式中：amax為基因aij的上界；amin為基因aij的下界；f(g)為變異概率。

6) 非線性尋優(yōu)

種群進化了一定代數(shù)后得到優(yōu)化結(jié)果，以該結(jié)果作為非線性規(guī)劃理論做局部優(yōu)化的初始值，得到新的結(jié)果，以此作為新的解向量再進行遺傳操作。

2 優(yōu)化模型仿真

采用非線性規(guī)劃遺傳算法對傳感器勵磁線圈脈振磁場進行優(yōu)化，該傳感器平面線圈基本參數(shù)見表1。

2.1 Matlab建模仿真

優(yōu)化過程中非線性規(guī)劃遺傳算法采用的基本參數(shù)：種群規(guī)模為100，進化代數(shù)為100，交叉概率為0.6，變異概率為0.05，耗時約為38 min。算法中種群嚴(yán)格約束在給定的范圍內(nèi)，保證生成的每個個體都是一個可行解，得到r1、r2、r3、r4的值后，后者減去前者即為導(dǎo)線間隔b1、b2、b3、b4。

圖4反映了非線性規(guī)劃遺傳算法的優(yōu)化過程，線圈導(dǎo)線間距和線圈中心距優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表1 模型基本參數(shù)

圖4 非線性規(guī)劃遺傳函數(shù)優(yōu)化過程

圖5 傳感器三維仿真模型

2.2 Ansoft建模仿真

運用非線性規(guī)劃遺傳算法對傳感器線圈參數(shù)進行優(yōu)化后，采用ANSOFT軟件對優(yōu)化結(jié)果進行仿真驗證分析，根據(jù)表1中勵磁線圈基本參數(shù)建立基于ANSOFT軟件的傳感器三維仿真模型，如圖5所示。

提取仿真感應(yīng)信號結(jié)果，取幅值最大點進行傅里葉分解，得到諧波誤差成分,如表3所示。由表3可知：除基波外主要存在3次諧波誤差成分，諧波畸變率為0.017 7。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果得到理論的感應(yīng)信號結(jié)果，再進行傅里葉分解得到諧波誤差成分，如表3所示。由表3可知：同樣主要存在3次諧波誤差，且理論諧波畸變率值為0.016 4。對比理論與仿真感應(yīng)信號的諧波誤差成分和諧波畸變率可見：理論結(jié)果和仿真結(jié)果一致，說明用該方法優(yōu)化傳感器勵磁線圈導(dǎo)線間隔和中心距是可行的。

表3 感應(yīng)信號理論、仿真諧波值

提取原優(yōu)化方法仿真感應(yīng)信號結(jié)果，取幅值最大點進行傅里葉分解，得到諧波仿真值(表3)。對比兩種優(yōu)化方法可見：3次諧波誤差減少了90%左右，其他頻次諧波均下降明顯，且諧波畸變率減小為原來的1/10，從而減小了直線時柵位移傳感器的原始誤差，提高了測量精度。

3 實驗驗證

圖6 勵磁線圈

根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，基于PCB刻劃工藝加工傳感器勵磁線圈，如圖6所示。

圖7 磁芯與磁場拾取線圈

采用45鋼加工導(dǎo)磁基體。將帶有勵磁線圈的PCB板緊貼在導(dǎo)磁基體上，形成傳感器的定尺。根據(jù)本文理論、仿真建模分析可知：單匝磁場拾取線圈感應(yīng)信號主要存在3次諧波誤差成分，經(jīng)過兩磁場拾取線圈感應(yīng)信號疊加后得到的諧波誤差成分變?yōu)?次，為抑制單匝磁場拾取線圈感應(yīng)信號的3次諧波成分，使傳感器動尺磁芯上半部分和下半部分沿X軸方向設(shè)置，中心距為W/6，如圖7所示。兩齒分別反向繞制磁場拾取線圈，形成傳感器動尺。

圖8 實驗平臺安裝示意圖

搭建的實驗平臺如圖8所示。在大理石平臺上放置平面線圈型直線時柵、滾珠絲杠螺母副以及光柵尺(精度為±0.5μm)并固定，平面線圈型直線時柵的動尺和光柵讀數(shù)頭分別連接在絲杠螺母兩側(cè)，伺服電機帶動絲杠轉(zhuǎn)動，同時絲杠螺母做直線運動，保證光柵讀數(shù)頭和時柵動尺同步運動。帶有位置信息的時柵和光柵信號同時被信號處理電路采集、處理，最后將處理后的兩路信號發(fā)送到上位機進行比對。

平面線圈型直線時柵動尺運動21.85 mm即1個節(jié)距，取60個點做測量誤差曲線，如圖9所示。1個節(jié)距內(nèi)測量誤差峰峰值為10 μm，相較于本課題組前期測得的1個節(jié)距內(nèi)測量誤差減小了5 μm。傅里葉分解后可知節(jié)距內(nèi)4次誤差仍然存在，分析主要由于動尺磁芯機械加工過程中偏斜角度不能達到理想的偏角，以及實驗平臺安裝誤差等原因引起。

采用逐點修正法將傳感器240 mm范圍內(nèi)測得的結(jié)果進行數(shù)據(jù)擬合并重復(fù)測量多次后，任意3次測量誤差曲線如圖10所示，測量誤差為±0.8 μm。

圖9 優(yōu)化后一個節(jié)距內(nèi)測量誤差

4 結(jié)論

平面線圈型直線時柵位移傳感器通過在測量平面內(nèi)布置勵磁線圈產(chǎn)生測量需要的磁場分布，從而消除了開槽繞線式直線時柵傳感器的齒槽影響。然而平面線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)(如多匝線圈內(nèi)部導(dǎo)線間隔、相鄰勵磁線圈中心距)會對磁場分布產(chǎn)生重要影響。本文在前期研究的基礎(chǔ)上，提出了基于非線性規(guī)劃遺傳算法的平面線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法。通過建立優(yōu)化算法數(shù)學(xué)模型，獲取滿足約束條件的傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)；在Matlab和ANSOFT軟件中建立物理模型進行仿真驗證，并與枚舉法優(yōu)化結(jié)果進行對比。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)計傳感器樣機，搭建實驗平臺進行物理實驗驗證。根據(jù)算法分析和實驗驗證得到以下結(jié)論：

1) 利用基于非線性規(guī)劃遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化方法可有效削弱平面線圈產(chǎn)生的脈振磁場中的諧波成分；

2) 與枚舉法相比，傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)新優(yōu)化方法的優(yōu)化效率提高了65%；

3) 根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)計的傳感器精度有所提高，在240 mm的量程范圍內(nèi)測量精度從±1 μm提高到了±0.8 μm。

本研究為平面線圈型直線時柵的結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù)和實驗基礎(chǔ)，對進一步研究高精度直線時柵位移傳感器具有重要意義。

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