探究數列問題的思想方法

卓雅

[摘 要] 數列是高中的主干內容，是學習基礎數學不可或缺的知識，高考對數列的綜合性及創新性要求較高，注重思維方法和邏輯推理的考查. 本文就2015年廣東卷的一道數列壓軸題進行分析拓展，給出了相應的教學建議，希望對師生有所幫助.

[關鍵詞] 數列；等比數列；化歸思想；縮放法

高考數列題型綜合性強，注重知識點之間的結合，難度較大，解決此類問題要從基礎入手，注意思維方式以及通性方法的學習. 課堂教學以引導為主，注重思路的拓展和邏輯推理，通過對真題的變式分析提升學生的解題能力.

真題呈現

試題（2015年廣東卷）數列{an}滿足a1+2a2+3a3+···+nan=4-，n∈N.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前n項之和Tn；

（3）令b1=a1，bn=+1+++…+an（n≥2），證明：數列{bn}的前n項之和Sn滿足Sn<2+2lnn.

解法探究及評析

1. 解法探究

（1）對于題干所給出的條件“a1+2a2+3a3+···+nan=4-”，可以利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”求解.

當n≥2時，設Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-，則Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=4-，Mn-Mn-1=nan=-=，所以an=n-1.

又因為a1=4-=1=1-1也符合條件，所以可得an=n-1.

（2）由（1）可知，數列{an}是等比數列，它的首項為1，公比為，因此它的前n項之和為Tn==2-n-1.

（3）證明：根據題意可知，當n≥2時，bn=+1++…+·an，b1=a1，b2=+1+a2，b3=+1++a3，所以有Sn=b1+b2+b3+…+bn=1++…+·（a1+a2+an+…+an）=1++···+Tn=1+++…+·2-<21++…+.

由問題所證明的結論“Sn<2+2lnn”入手，利用縮放法可得出Sn<21+++…+后，則問題可以轉化為求證21+++…+<2+2lnn=2（1+lnn），即++…+

因上式不等式的左邊有（n-1）項，則可以考慮將lnn分裂為n-1項的和，又可知lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1=ln+ln+…+ln，因此可將問題轉化為證明ln>. 此時用構造函數的方法解決.

設f（x）=lnx+-1（x>1），則f′（x）=-=>0，所以可知f（x）在（1，+∞）上是增函數. 因為f（1）=0，所以f（x）>0. 又因為k≥2且k∈N*時，>1，所以f=ln+-1>0，即ln>，所以

2. 試題評析

數列是高考考查的重點，本題考查了求數列的通項公式、前n項之和以及證明不等式，題目難度較高，求通項公式和證明不等式分別采用了前……