InAlN/GaN異質結二維電子氣波函數的變分法研究?

李群 陳謙 種景

1)(西安理工大學自動化與信息工程學院,西安 710048)

2)(中國衛星海上測控部,江陰 214431)

1 引 言

正確求解異質結二維電子氣(two-dimensional electron gas,2DEG)波函數是對與2DEG有關的電學行為做出合理解釋與精確預測的前提.求解2DEG波函數有數值法和解析法,其中數值方法通過直接求解垂直于異質界面方向的泊松方程與薛定諤方程，能夠得到波函數的精確解[1,2];解析方法往往采用多種近似處理,或避免直接求解理論模型,導致解析解不如數值解精確.但是相對于數值方法,解析方法能夠提供更清晰的物理圖像,并為電子輸運與光學躍遷的研究提供易于應用的解析公式,因此解析方法仍然在異質結能級結構研究中廣泛使用[3,4].規則勢阱近似與變分法是兩種常用的解析方法.規則勢阱近似將異質結界面處的導帶形狀近似為方形或三角形等規則形狀,此時電子波函數可以使用正弦函數、Airy函數等形式來表示[5,6].變分法使用嘗試波函數推導電子能量期望值,利用能量期望值取極小值的變分原理,確定嘗試波函數中的變分參數,能夠在接近工程實際的理論模型中確定波函數表達式,同時確定異質結導帶結構與子帶能級,是一種精度較高的近似方法[3,4].

近二十年來,以AlGaN/GaN,InAlN/GaN為代表的GaN基異質結材料得到了系統而深入的研究,并以高電子遷移率晶體管為主要器件形式,廣泛應用于高頻、高能器件領域[7?9].與傳統的AlGaAs/GaAs異質結相比,GaN基異質結具有很強的自發極化、壓電極化效應,并能夠在非有意摻雜的情況下形成高遷移率、高電子面密度的2DEG,施主類表面態被認為是形成2DEG的主要電荷源[10?12].但據我們所知,在已有的GaN基異質結的變分法研究中,還沒有將表面態的作用考慮在內,因此無法預測結構參數對2DEG電學特性的影響[3,4,13].本文將以InAlN/GaN異質結為例,建立考慮極化效應與表面態的靜電模型,使用變分法推導電子波函數與基態能級表達式,并討論InAlN/GaN異質結結構參數對2DEG面密度、費米能級、基態能級等參數的影響.

2 理論模型

InAlN/GaN異質結通常沿c軸([0001])方向生長,將該方向定義為z軸,InAlN勢壘層與GaN溝道層分別位于z＜0和z＞0區域.本文假設2DEG所有電子都處于基態，使用Ando提出的一個分段函數作為嘗試波函數[14]:

該函數的兩個表達式分別表示電子在InAlN和GaN層的分布,因此能夠描述電子向InAlN層的隧穿效應.(1)式中,A,B,c,b,k為變分參數,這5個參數并不獨立,應滿足以下約束條件:

其中(2a)、(2b)式分別由波函數ψ以及波函數的一階導數ψ′在InAlN/GaN界面處連續得到,(2c)式由波函數的歸一化條件得到.通過(2)式,A,B,c可以表示為b,k的函數:

InAlN/GaN異質結中電勢能的z向分布函數V(z)可表示為

其中e為電子電荷,?(z)為電勢,Θ(z)為階躍函數,當z＞0,Θ(z)=1;z≤ 0,Θ(z)=0.Θ(z)在InAlN/GaN界面(z=0)的位置引入了由InAlN,GaN導帶階ΔEc導致的能量突變,使InAlN層的電勢能被整體抬高一個常數.電勢?(z)由泊松方程確定:

其中ε為介電常數,σ(z)為電荷分布函數,描述InAlN/GaN異質結中的所有可能電荷分布.由于在非有意摻雜的情況下,InAlN,GaN層的殘余施主濃度不足以形成高面密度的2DEG,本文忽略了殘余施主對2DEG的貢獻,而采用表面態假設,認為施主類表面態是2DEG的電荷源.有研究表明[10,11],AlGaN/GaN,InAlN/GaN異質結表面態在表面禁帶內的一定范圍均勻分布[見圖1(a)].因此,本文采用兩個參數,即表面態密度Nsd與表面態到InAlN表面導帶的距離Ed來描述表面態.可以近似認為費米能級EF以下的表面態完全被電子占據,EF以上的表面態完全離化,離化表面態面密度表示為

其中d為InAlN層厚度.

InAlN、GaN的自發極化、壓電極化效應導致InAlN/GaN異質結上表面、界面、下表面存在凈剩的極化電荷,電荷面密度分別設為σTp,σIp,σBp.極化電荷面密度依賴于InAlN層In含量x,具體的計算方法可以參見已有的文獻報道[15].沿[0001]方向生長的GaN下表面極化電荷為正,必須認為σBp被下表面帶負電的表面態σBott完全補償,否則電子無法在InAlN/GaN界面處聚集形成2DEG.本文假設σBp與σBott恰好抵消,因此只需要考慮圖1(b)虛線框內的電荷成分,σ(z)的具體形式為

(7)式中除2DEG濃度Ne(z)外,其余電荷成分都是δ函數,σSurf,σTp位于InAlN 上表面(z=?d),σIp位于InAlN/GaN界面(z=0).應注意(7)式等號右邊的符號都表示電荷濃度的絕對值,各電荷成分的電性由各物理量前面的正負號表示.電子分布Ne(z)可以寫為

其中Ns為2DEG面密度.Ns取決于費米能級EF與電子基態能級E1的相對位置,利用費米-狄拉克公式在整個能量范圍內進行統計得到:

其中m?為電子有效質量,?為約化普朗克常數,kB為玻爾茲曼常數.異質結中所有電荷成分應滿足電中性條件:

(10)式表示對整個異質結區域進行積分,z=w為GaN下表面坐標.

圖1 InAlN/GaN異質結的(a)導帶結構與(b)電荷分布示意圖Fig.1. Schematic diagrams of(a)conduction band pro fi le and(b)charge distribution in InAlN/GaN heterostructure.

對(5)式兩端進行兩次積分可以得到電勢分布?(z),積分使用了兩個邊界條件:1)?′(∞)=0,意味著GaN深處電場強度為0,該邊界條件與GaN下表面呈電中性的假設保持一致;2)?(0)=0,該邊界條件將InAlN/GaN界面導帶能量設為0.

利用(4)式,可以得到V(z)的表達式:

其中，

(11)式將V(z)分成三部分,其中Vex來自InAlN/GaN異質結中離化表面態、極化電荷等固定電荷的貢獻,Vh來自2DEG的貢獻,VEc來自InAlN、GaN導帶階的貢獻.

電子總能量期望值〈E〉等于動能期望值〈T〉與勢能期望值〈V〉之和:

(13)式將2DEG貢獻的勢能期望值取半,避免重復計算電子間作用勢能;去掉1/2因子則得到電子基態能級E1的表達式。

對于結構參數已知的InAlN/GaN異質結,若已知Ns,則離化表面態面密度σSurf可由(10)式確定,〈E〉僅是變分參數b和k的函數，根據〈E〉取極小值的變分原理，即令

可以確定變分參數b和k,則電子波函數以及導帶結構、電子基態能級等參數分別被確定.

在已知表面態面密度Nsd和能級位置Ed的前提下,可以利用該模型預測InAlN/GaN異質結不同結構參數下的電學特性.具體的方法是,設定2DEG面密度初始值Ns,利用電中性條件確定離化表面態面密度σSurf,計算電子基態能級E1,利用(6)式確定費米能級EF,利用(9)式計算2DEG面密度,比較Ns與,如果相差較大,逐步改變Ns,重復上述計算過程,直至Ns與相等.

3 結果與討論

將表面態參數設置為σSurf=8×1013cm?2/eV,Ed=2.3 eV,與文獻[11]報道保持一致.

圖2是計算得到的晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質結導帶結構與2DEG分布,InAlN層厚度d=15 nm.由于忽略了異質結的殘余施主,InAlN層只在上下表面存在極化電荷,因此InAlN內部電場強度為常數,導帶能量呈線性變化.InAlN/GaN界面處存在導帶階ΔEc引起的能量突變,并在GaN一側形成近三角勢阱.GaN深處的電場強度為0,因此導帶能量為常數.2DEG面密度Ns=1.96×1013cm?2,集中分布在界面附近幾個納米的范圍內,電子到界面的平均距離為2.23 nm,有6.5%的電子隧穿到InAlN層.

圖2 In0.17Al0.83N/GaN異質結導帶結構與2DEG分布Fig.2.The conduction band pro fi le and 2DEG distribution in an In0.17Al0.83N/GaN heterostructure.

圖3是x=0.1,0.17,0.25三個不同In組分下2DEG面密度隨InAlN厚度的變化關系.x=0.17時,InAlN與GaN晶格匹配,InAlN處于無應力狀態,但InAlN、GaN自發極化強度具有較大差異,界面處凈剩的正極化電荷誘導電子在GaN一側聚集,形成2DEG.隨著InAlN厚度增大,InAlN表面導帶能量線性增長(見圖2),但EF的位置相對穩定,因此更多表面態上升到EF之上并釋放出電子,導致2DEG面密度持續增大.當2DEG面密度增大到與InAlN/GaN界面處的極化電荷面密度相等時,2DEG面密度達到飽和.x=0.1時,InAlN處于張應變狀態,自發極化強度更大,且與壓電極化強度相互加強,導致InAlN/GaN界面處更大的極化失配,誘導產生的2DEG面密度更大.在x=0的極限情況,AlN/GaN異質結在AlN厚度為5 nm時即可實現4×1013cm?2的2DEG面密度[16],但由于較大的晶格失配,當AlN達到6 nm,就會通過產生裂紋釋放應力[17].InAlN的自發極化強度隨In組分增大而下降,當x＞0.17,InAlN處于壓應變,壓電極化強度與自發極化強度反向,開始逐步抵消自發極化強度,InAlN/GaN界面處的凈剩極化電荷減少,誘導導形成的2DEG面密度不斷減小.隨著In組分增大,形成2DEG的InAlN臨界厚度不斷增大,當x=0.25時,InAlN厚度小于10 nm的異質結無法形成2DEG.

圖3中給出了晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質結的一組實驗數據,可以看出x=0.17的計算曲線基本反映了2DEG面密度對InAlN厚度的依賴關系.由于實驗條件的差異,實驗數據本身具有一定的離散性,單一的參數配置不能使計算結果嚴格重復實驗數據.

圖3 不同In組分下2DEG面密度對InAlN厚度的依賴關系,實心方塊為文獻報道的實驗結果[18?21].Fig.3. Dependence of 2DEG sheet density on In-AlN thickness for different In mole fraction.The fi lled squares represent the experimental data from the literature[18?21].

由圖3已知,2DEG面密度隨著In組分x的增加而減小,圖4顯示這種變化為線性變化.該模型在計算InAlN極化強度時采用了線性插值的方法,InAlN層總極化強度隨x線性變化,同時假設表面態在InAlN表面導帶以下均勻分布,共同導致了2DEG面密度對In組分的線性依賴關系.

圖5(a)顯示了晶格匹配的In0.17Al0.83N/GaN異質結費米能級EF與基態能級E1對InAlN厚度的依賴關系.隨著InAlN厚度增大,不斷增大的2DEG面密度抬高了E1與EF,并保持EF、E1間距增大,為越來越多的電子提供了更大的能量空間.圖5(b)顯示了d=10 nm時費米能級與基態能級對In組分的依賴關系.隨著In組分增大,不斷減小的2DEG面密度降低了EF與E1,EF?E1同時減小.

圖4 2DEG面密度對In組分的依賴關系Fig.4.Dependence of 2DEG sheet density on In mole fraction.

圖5 費米能級與基態能級對(a)InAlN厚度與(b)In組分的依賴關系Fig.5. Dependences of EFand E1on(a)InAlN thickness,and(b)In mole fraction.

4 結 論

在表面態假設的基礎上,利用變分法推導了InAlN/GaN異質結2DEG波函數與基態能級的表達式,并討論了InAlN/GaN異質結結構參數對2DEG面密度、費米能級、基態能級等參數的影響.計算結果顯示,2DEG面密度隨著InAlN厚度的增加而增加,且理論預測與實驗結果一致,2DEG面密度的增加抬高了基態能級與費米能級,2DEG面密度隨著In組分的增大而下降,并降低了基態能級與費米能級.

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