等腰三角形解題中的基本模型及應用

王莉莉

（浙江省紹興市新昌縣西郊中學，浙江新昌 312500）

引 言

等腰三角形是初中幾何知識的入門圖形，也是進一步研究幾何知識的重要基礎，在中考中有著舉足輕重的地位，無論填空題、選擇題、解答題，都離不開這一核心知識的考查。但學生在初次涉及這類題型時，往往會對復雜多變的圖形感到迷惑，一頭霧水，無從下手。其實，不管如何復雜的圖形，本質上都是由幾個基本圖形組合而成。因此，學會了剝離復雜圖形，掌握等腰三角形基本解題模型，解題自然水到渠成了。

一、等腰三角形基本解題模型

就八年級等腰三角形知識章節，筆者總結出如下四種解題時常用的模型。

圖1 角平分線+平行線模型

圖2 手拉手共邊模型

圖3 手拉手共頂點模型

圖4 兩圓一中垂模型

圖5 等腰（邊）三角形類弦圖模型

【模型1】角平分線+平行線模型，如圖1。該模型特征展示了等腰三角形底角平分線和過平分線一點平行底邊的直線。

【模型2】手拉手共邊（頂點）模型如圖2、圖3。該模型分兩類：（1）兩等腰三角形一腰重疊；（2）兩等腰三角形一頂點重合后旋轉任意角度變換得到多種圖形。

【模型3】兩圓一中垂模型，如圖4。該模型條件給出兩定點和一定直線，要求在直線上找一動點滿足構成等腰三角形。

【模型4】等腰（邊）三角形類弦圖模型，如圖5。該模型是以等邊三角形為背景圖，各邊截取等長線段構造全等三角形和新的正三角形，同時也可以省略部分線段拓展更多圖形。

二、等腰三角形模型的應用

（一）角平分線+平行線模型

例1.如圖6，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，AB=9，AC=8。求：(1)圖中有幾個等腰三角形；(2)AEF的周長，并說明理由。

分析：問題（1）的解題本質在于發現角平分線+平行線會產生多個相等的角，且根據同一三角形中等角對等邊的性質可以得到多個等腰三角形。

問題（2）中根據線段之間的等量替換，能夠順利將第二個求周長問題轉化為已知線段和的問題。因此，利用該模型解題效果事半功倍。

圖6

（二）手拉手共邊（頂點）模型

1.手拉手模型之一等腰三角形+等腰三角形（一腰重疊）

例2.如圖7，在等腰ΔABC中，AB=AC。

（1）AD是BC上 的 高 線，E是AC上一點，且AE=AD，若∠BAD=30°， 則∠EDC=____________ 。

（2）AD是BC上 的 高 線，E是AC上一點，且AE=AD，若∠BAD=40°，則∠EDC=_____________ 。

圖7

（3）思考：通過以上兩題，你發現∠BAD 與∠EDC之間有什么關系？用等式表示。

（4）如果AD不是BC上的高線，AD=AE，那么∠BAD 與∠EDC之間是否仍有上述關系？請說明理由。

分析 ：問題（1）（2）通過已知一個角的度數和等腰三角形等邊對等角、三線合一性質可快速解題。問題（3）給定具體的角度，通過直觀觀察兩角之間的數量關系可以歸納角與角之間的特殊規律，學生易得出結論。

問題（4）條件由特殊向一般改變，進一步弱化條件，引導學生揭示這一類基本圖形具有的特殊規律，利用模型得出一般結論：兩個等腰三角形，一腰重疊則∠BAD =2∠EDC。

2.手拉手模型之二等腰三角形+等腰三角形（一頂點重疊）

例3.在等腰ΔABC中，AB=AC，D是BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作三角形ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連結CE。

（1）如圖8，若∠BAC=90°，①求證ΔABD≌△ACE；②求∠BCE的度數。

（2）設∠BAC=α，∠BCE=β，如圖9，猜想α、β之間的數量關系，并予以證明。

圖8

圖9

分析：以上兩個問題的解決都需要抓住圖形變化中ΔABD≌△ACE的不變性。兩個等腰三角形在共頂點模型中因為對應角度的和差相等關系不變，所以應用（SAS）的全等判定方式判定全等不會改變。即使將兩個等腰三角形繞共點A旋轉任意角度，構造更為復雜的圖形，它們仍具有全等不變的事實。通過應用模型得出一般結論：兩個頂角相等的等腰三角形，頂點重合，三角形全等，∠BAC +∠BCE=180°。結合全等三角形的知識，教師可引導學生體會知識的相輔相成。

（三）兩圓一中垂模型

例4.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠B=2∠A。

（1）求∠A和∠B的度數。

（2）BD是△ABC中∠ABC的平分線。①寫出圖10中與BD相等的線段，并說明理由。②直線BC上是否存在其他的點P，使△BDP為等腰三角形？如果存在，在圖11畫出所有滿足條件的點P，并直接寫出對應的∠BDP的度數；如果不存在，請說明理由。

圖10

圖11

分析：本題第一小題考查等腰三角形邊角對應的性質，學生容易解題。第二題是對等腰三角形有關邊、角基礎性質的提高，是易錯題。我們可以通過圖11的模型幫助學生尋找點P。當BD是三角形的腰時，以點B為圓心，BD長為半徑畫圓，交直線BC與P1、P2；以D為圓心，BD長為半徑畫圓，交直線BC于P3；當以BD為底時，作BD的中垂線與BC相交與P4。學生在解題中如果忽略對等腰三角形腰、底角不確定時的合理分類討論，就容易出現錯誤。因此，解題時教師應幫助學生建立兩圓一中垂的分類討論模型，這樣就能輕松解決以邊、角不明確為共性的問題。

（四）等腰（邊）三角形類弦圖模型

例5.如圖12，點M、N分別在正△ABC的邊BC，AC上，且BM=CN，AM、BN交于點Q。

（1）求證∠BQM=60°。

（2）若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

（3）若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？

圖12

圖13

圖14

分析：問題（1）是由圖14隱藏了線段CD改編而來，在圖14中我們利用等邊三角形的旋轉對稱性，根據(SAS)判定△ABE≌△BCF≌△CAD，再利用外角的性質得到新構成的三角形仍為正三角形。解答這道題的關鍵是利用圖14模型得到△ABM≌△BCN，同樣利用外角性質得出∠BQM=60°的結論。問題（2）的條件結論互換不會影響解題的本質方法。問題（3）是問題（2）的拓展，解答時應抓住當點M、N分別移動到BC、CA的延長線上時，△ABM≌△BCN仍滿足。因此，在等邊三角形類弦圖的大框架下，改變部分條件，拓展延伸的問題，仍可借鑒此模型解題，教師可引導學生體會萬變不離其宗的意義。

結 語

蘇霍姆林斯基認為：“教給學生方法比教給學生知識更重要。”提煉基本模型是知識升華的過程。從上述例題中可以發現，等腰三角形的有關證明題采用模型角度進行分析，便能降低解題難度。因此，理解和掌握以上所列舉的等腰三角形模型，對用等腰三角形知識的解題具有重要意義。它能促使學生更準確地把握圖形本質，促使學生更合理地找到解決問題的方向，促使學生生成更有效的學習方法[1]。

當然,在等腰三角形的相關解題過程中，運用模型時要靈活變通，不可過度依賴、生搬硬套，把模型固定化，把解題思路僵化。同時，我們在解題過程中可提煉的模型并不只有以上幾種，圖形千變萬化，知識層層疊加，我們只有以等腰三角形基本性質為基礎，以基本模型為生長點，多觀察、多思考、多類比、多提煉總結，才能提高數學學習的有效性。