基于指數威布爾分布的組合統計模型

包振華，張 姝

（遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029）

0 引言

保險損失數據因既包含大量小額損失又包含少量的高額損失，從而具有尖峰厚尾的特點。在保險精算相關文獻中，很多學者使用對數正態分布、逆高斯分布、伽馬分布及威布爾分布等單一分布對此類數據進行擬合，但對實際損失數據的尾部擬合往往不足。Cooray和Ananda（2005）[1]提出了一類組合統計模型，他們用對數正態分布擬合小額損失而用帕累托分布擬合髙額損失，同時保證對數正態分布和帕累托分布的平滑連接。使用丹麥火災損失數據擬合實驗表明，該組合模型的擬合效果優于單一模型。Scollnik（2007）[2]使用可變權重系數代替文獻[1]中組合模型的常系數，提高了組合模型的擬合效果，并提出對數正態-廣義帕累托組合模型。Scollnik和Sun（2012）[3]按相同的思路設計了威布爾-帕累托組合模型，并與對數正態-帕累托組合模型進行比較。Bakar等（2015）[4]提出一種新的組合方法，該組合模型依據組合分布的參數調節混合權重系數和閾值，研究了威布爾分布與其他厚尾分布的組合，實證結果顯示威布爾-布爾組合模型擬合效果最優。

本文采用文獻[4]的方法研究指數威布爾分布與一類轉換貝塔分布族的組合統計模型，使用R語言對丹麥火險損失數據進行擬合，并通過似然比檢驗比較指數威布爾組合模型和相應的威布爾組合模型。

1 指數威布爾分布

指數威布爾分布（以下簡記為EW分布）通過在威布爾分布中增加一個形狀參數得到，最早由Mudholkar和Srivastava（1993）[5]提出，相關性質可參見文獻[6]。設隨機變量X服從EW分布，其分布函數為：

相應的概率密度函數為：

其中α為第一形狀參數，γ為第二形狀參數，λ為尺度參數。圖1和圖2分別展示了EW密度函數關于兩個形狀 參 數α,γ的 變 化 。 當λ=0.5,γ=2時，分 別 取α=0.5,1,2,4，EW分布密度變化如圖1所示。EW分布的密度曲線都是單峰的，且當參數α＜1時，概率密度單調遞減。保持參數γ,λ不變，隨著α的增加，概率密度的峰值右移且變大，密度曲線形態越來越相似。當λ=0.5,α=2時，分別取γ=0.5,1,2,4，EW分布密度變化如圖2所示。當γ＜1時，概率密度函數單調遞減，且只有尾部形態。保持參數α,λ不變，隨著γ的增加，概率密度的峰值越來越大，且尾部越來越薄。

圖1 EW分布關于參數α概率密度變化

圖2 EW分布關于參數γ概率密度變化

相較于威布爾分布的單調失效率函數，EW分布的失效率函數根據形狀參數和尺度參數取值范圍的不同而呈現出不同的特征。具體的，當α=γ=1時，失效率函數為一條直線；γ≥1且αγ≥1時，失效率函數單調遞增；γ≤1且αγ≤1時，失效率函數單調遞減；γ＜1且αγ＜1時，失效率函數為浴盆型；γ＞1且αγ＞1時，失效率函數為反浴盆型。這些獨特屬性使得EW分布在壽命數據分析方面得到了廣泛的應用。

特別地，當α=1時，EW分布退化為經典的威布爾分布；當γ=1時，EW分布退化為廣義指數分布（以下簡記為EE分布）。EE分布的形態與威布爾和伽馬分布相似，相關性質參見文獻[7]。

2 指數威布爾組合模型

考慮Bakar等（2015）[4]提出的組合方法，組合模型的密度函數具有如下形式：

為某個概率密度函數，Fi(x)為相應的累積分布函數。為保證概率密度的連續性，組合模型在閾值θ處滿足以下兩個條件：

根據約束條件（2），可以給出參數φ的具體表達式：

其中(?)=1-Fi(?)。根據約束條件（3），參數θ可由式（5）確定：

以下假設f1(x)由式（1）確定，而f2(x)屬于轉換的貝塔分布族，其密度函數由下式確定：

其中β，φ和τ是三個形狀參數，σ是尺度參數，且所有參數均大于零，貝塔函數B(?)定義為：

本文將考慮轉換的貝塔分布族中如下六種形式的分布，詳細介紹參見文獻[8]：

（1）當φ=1時，f2(x)退化為廣義帕累托分布；

（2）當β=1時，f2(x)退化為逆布爾分布；

（3）當β=1,φ=τ時，f2(x)退化為逆Paralogistic分布；

（4）當φ=1,τ=1時，f2(x)退化為帕累托分布；

（5）當τ=1,φ=β時，f2(x)退化為Paralogistic分布；

（6）當τ=1時，f2(x)退化為布爾分布，具體表達式如下：

本文僅以EW-布爾組合模型為例，即f2(x)由式（6）確定，其他組合模型的構造過程類似。根據式（4），φ的表達式可寫成如下形式：

盡管閾值θ沒有一個確切的表達式，但它可以根據式（5）求出數值解。經過化簡，最終EW-布爾組合模型共由六個未知參數α,γ,λ,β,φ,σ確定。EW分布、布爾分布及EW-布爾組合模型的密度函數如圖3所示，其中EW分布參數取為α=4,γ=2,λ=0.5，布爾分布參數為β=1.5,φ=0.5,σ=1。EW-布爾組合模型的密度峰值比EW分布更小，尾部比EW分布更厚，說明EW-布爾組合模型可以更好的擬合低頻高額損失數據。

圖3 EW-布爾組合模型密度函數圖

3 丹麥火災損失數據的實證分析

本文引用丹麥火災損失數據進行實證分析。該數據記錄了1980—1990年由火災引起的保險索賠數據，并將數據調整到1985年的物價水平，以排除通貨膨脹和價格指數等因素的影響，單位是百萬克朗，共2492個數據，其中損失低于1百萬克朗的數據有325個。該數據集可在R語言的SMPracticals包中找到。丹麥火險損失數據的相關描述性統計量如表1所示。

表1 丹麥火災損失數據描述性統計量

由表1可知，該組數據的峰度為546.13，偏度為19.88，且1/4分位數與3/4分位數離最大值很遠，具有明顯的正偏性，如圖4所示。圖5的損失數據直方圖顯示該組數據在1左右處達到密度峰值，并有很長的右拖尾，說明數據具有明顯的尖峰厚尾特征。

圖4 丹麥火險數據箱線圖

圖5 丹麥火險數據柱狀圖

使用最大似然估計法對組合模型進行參數估計，以NLL、AIC和BIC作為檢驗標準，并借助R語言實現具體運算。如前所述，本文將考察轉換貝塔分布族中的六種分布，包括帕累托分布、廣義帕累托分布、布爾分布、逆布爾分布、Paralogistic分布以及逆Paralogistic分布。基于EW組合模型的估計結果如表2所示。

表2 EW組合模型的估計結果

根據表2結果顯示，各EW組合模型中參數α,γ,λ的估計值十分相似，說明EW組合模型的擬合差異主要取決于閾值后分布的擬合效果。其中EW-布爾組合模型的NLL和AIC在所有組合模型中最小，意味著在這兩個準則下EW-布爾組合模型的擬合效果最好。由于布爾分布比逆Paralogis分布多一個參數，EW-布爾組合模型的BIC比EW-逆Paralogis組合模型大0.841，意味著在BIC準則下EW-逆Paralogis組合模型的擬合效果最好。

由于EW-帕累托組合模型和EW-布爾組合模型是分級的巢式模型，且前者是后者的特例，下面采用似然比檢驗來判斷EW-布爾組合模型擬合效果是否有顯著性提高。檢驗量似然比表達式如下：

其中L(θ0)和L(θ1)分布表示EW-帕累托組合模型和EW-布爾組合模型的最大對數似然值。根據表2可知LR=2[3821.889-3815.202]=13.374，根據Wilks提出的理論，LR近似符合自由度為1的卡方分布，根據卡方檢驗臨界值表，顯著性水平為0.001時對應臨界值為9.500，說明LR相應p值應小于0.001，且EW-布爾組合模型與EW-帕累托組合模型比顯著性提高。

特別地，當EW分布中的形狀參數α=1時，EW組合模型即轉化為威布爾組合模型，基于威布爾組合模型的估計結果如表3所示。

表3 威布爾組合模型的估計結果

根據表3結果顯示，威布爾-布爾組合模型的NLL和AIC最小，說明在這兩個準則下威布爾-布爾組合模型的擬合效果最優，這個結論與Bakar等(2015)[4]的研究結果一致。與表2結果對比，威布爾組合模型與相應EW組合模型閾值后分布擬合結果相似，說明兩種組合模型擬合效果差異主要取決于閾值前的分布擬合效果。

注意到威布爾組合模型是相應EW組合模型的特例，并且根據表2和表3結果可知EW組合模型的NLL值比相應的威布爾組合模型小2至3。以比較EW-布爾組合模型和威布爾-布爾組合模型擬合效果為例，根據式(7)可得LR=2[3817.57-3815.202]=4.736，當自由度為1顯著性水平為0.05時，卡方臨界值為3.841，說明LR相應p值應小于0.05，EW-布爾組合模型的擬合效果與威布爾-布爾組合模型相比有顯著性提高。類似地可知每個EW組合模型相較于威布爾組合模型有顯著性提高。

4 結論

保險損失數據往往呈現尖峰厚尾的特點，相比于單一分布，組合模型可以明顯提高這類數據的擬合效果。本文基于指數威布爾分布構建了一類組合統計模型，其中閾值之后的分布取自轉換的貝塔分布簇，當參數取特殊值時獲得六種具體的組合分布。使用R語言對丹麥火險損失數據做擬合分析，給出六種組合模型的參數估計及擬合優度比較，結果表明EW-布爾組合模型在NLL和AIC準則下擬合效果最好。根據似然比檢驗，EW組合模型擬合效果相較于威布爾組合模型有顯著性提高，意味著在尖峰厚尾損失數據建模中，EW組合模型具有較大優勢。

[1]Cooray K,Ananda M M A.Modeling Actuarial Data With a Composite Lognormal-Pareto Model[J].Scandinavian Actuarial Journal,2005,(5).

[2]Scollnik D P M.On Composite Lognormal-Pareto Models[J].Scandinavian Actuarial Journal,2007,(1).

[3]Scollnik D P M,Sun C.Modeling With Weibull-Pareto models[J].North American Actuarial Journal,2012,16(2).

[4]Bakar S,Hamzah N A,Maghsoudi S,et al.Modeling Loss Data Using Composite Models[J].Insurance Mathematics and Economics,2015,(61).

[5]Mudholkar G S,Srivastava D K.Exponentiated Weibull Family for Analyzing Bathtub Failure Rate Data[J].IEEE Transactions on Reliability,1993,(42).

[6]Pal M,Ali M M,Woo J.Exponentiated Weibull Distribution[J].Statistica,2006,2(2).

[7]Gupta R D,Kundu D.Exponentiated Exponential Family:an Alternative to Gamma and Weibull[J].Biometrical Journal,2001,43(1).

[8]Klugman S A,Panjer H H,Willmot G E.Loss Models:From Data to Decisions[M].New Jersey:Wiley,2012.