基于三角模糊數冪平均算子的群決策方法

劉紅彬，姜 樂，蔣宗彩

（1.河南財經政法大學 數學與信息科學學院，鄭州 450046；2.鄭州輕工業學院 數學與信息科學學院，鄭州 450002）

0 引言

群決策在經濟、管理中有著廣泛的應用，群決策中的一個重要問題是選擇合適的集結算子來集結決策者給出的判斷信息。當前應用較多的算子如加權算術平均算子、有序加權平均算子、有序加權幾何平均算子[1]等大多未考慮到數據之間的相互聯系，這些算子中各數據的權重提前給定，或由某些函數計算得到。這些方法計算得到的權重與數據本身的大小或排序有關，與數據之間的接近程度無關。為了精確反映各集結數據之間的接近程度這一信息，Yager[2]提出了冪平均算子，該算子通過定義數據之間的支持函數，利用支持函數確定數據之間的權重，進而集結數據，該算子考慮了數據之間的相互聯系，使過分大和過分小的數據的權重較小，在此基礎上又介紹了冪加權平均算子、冪有序加權平均算子和冪廣義平均算子。Xu和Yager[3]提出了冪幾何算子、冪有序加權幾何算子、不確定冪幾何算子和不確定冪有序加權幾何算子，研究了這些算子在群決策中的應用。Xu和Cai[4]提出了不確定冪加權平均算子和不確定冪有序加權平均算子，研究了基于這些算子的群決策方法。萬樹平[5]基于區間數冪平均算子研究了區間數多屬性決策方法。

群決策中決策者評價信息常常以互補判斷矩陣的形式給出，根據決策者對信息的掌握程度，互補判斷矩陣的元素的常見形式有精確數、區間數、語言變量、區間語言變量等。由于客觀事物的復雜性和人類思維的模糊性，有時決策者難以掌握足夠的信息，三角模糊數互補判斷矩陣也是一種常見的評價信息形式。與精確數和區間數相比，三角模糊數既可以體現決策者思維的模糊性，又可以反映決策者的某種確定性。關于三角模糊數互補判斷矩陣的研究成果很豐富。徐澤水[6,7]研究了三角模糊數互補判斷矩陣的排序方法。吳堅[8]提出了梯形模糊數互補判斷矩陣的一種新的排序方法。黃衛來和黃松[9]，楊莉等[10]，侯福均和吳祈宗[11]，姜艷萍和樊治平[12]等對三角模糊數互補判斷矩陣的排序問題都進行了研究。但以上成果在集結決策者判斷信息時沒有考慮到數據之間的相互聯系?？紤]到冪平均算子可以體現集結數據之間的接近程度，利用這一特點將其應用于群決策中個體意見的集結，可以體現群決策者意見的接近程度，使較大和較小的評價值具有較小的權重，從而集結結果具有較好的群體共識性，決策結果也更加可靠。為了將冪平均算子用于集結三角模糊數，本文提出三角模糊數冪平均算子和三角模糊數冪有序加權平均算子，并將提出的算子用于群決策，研究了基于三角模糊數互補判斷矩陣的群決策方法，并進行實例驗證。

1 預備知識

1.1 冪平均(PA)算子

定義1[1]：設PA:Rn→R,如果

其中a1,a2,…,an為待集結的一組數據，T(ai)=為支持函數，表示數據b對數據a的支持，滿足：(1)Sup(a,b)∈[0,1],(2)Sup(a,b)=Sup(b,a),(3)如果，則Sup(a,b)≥Sup(x,y)，則稱PA為冪平均算子。

PA算子也可以表示為：

PA算子具有如下性質：

（2）有界性：

PA算子關于集結數據是非單調的，其原因是算子中的權重與數據大小有關，當某數據增加時，該數據的權重可能會變小，從而集結結果并非一定增加。

1.2 三角模糊數

以下給出三角模糊數的運算規則。

三角模糊數之間的距離有多種定義[13,14]，設=(al,am,au),=(bl,bm,bu)，本文采用文獻[13]的定義方法，即，之間的距離：

關于三角模糊數的比較方法，目前研究成果很多[15-17],不同的方法對同一問題比較的結論往往不一致，目前還沒有滿意的有效方法。本文采用文獻[17]中的方法。定義：

與其他方法相比，該方法比較三角模糊數得到的結果相對比較合理。特別在兩個三角模糊數的左、右端點相同，中間端點不同時，該方法得到的結果比較合理，與人們的直覺相符。

定 義 3[7]：設 判 斷 矩 陣=(ij)n×n，其 中ij=(alij,amij,auij),ji=(alji,amji,auji)，如果

2 三角模糊數冪平均(Tr-PA)算子

下面給出三角模糊數冪平均算子的定義，并研究其性質。

定義4：設Tr-PA:n→，其中表示三角模糊數集合，如果

下面討論Tr-PA算子的性質。

定理1（有界性）：

證明：取定p≥1，計算出Dp(i,0),i=1,2,…,n，則1,2,…,n可 以 根 據Dp(i,0) 進 行 比 較 。 設，此處最大值的意義是按照本文中三角模糊數比較方法對1,2,…,n從大到小進行排序后，排在最大位置的三角模糊數，最小值的意義是類似的。由得：

證明：顯然

所以結論成立。

證明：由條件知

所以定理成立。

定理4：如果Sup(i,j)=0,i,j=1,2,…,n，則：

證明 ：由條件知，T(i)=0，i=1,2,…,n，所以，則結論成立。

注：類似于PA算子和UPA算子，Tr-PA算子關于被集結數據也是非單調的，即若i≥,i=1,2,…,n，并不一定有

3 三角模糊數冪有序加權平均(Tr-POWA)算子

定義5：設Tr-POWA:n→，如果

其中index(i)表示1,2,…,n中第i大的數據所對應的下標，→[0,1]為基本單位區間單調(BUM)函數，滿足兩個條件：(1)Q(0)=0,Q(1)=1,(2)如 果x＞y，則Q(x)≥Q(y)，則 稱Tr-POWA為三角模糊數冪有序加權平均算子。

Tr-POWA算子與Tr-PA算子的區別在于集結前對數據按照從大到小的順序進行了排列，數據的權重不僅與數據本身大小有關，還與數據所處的位置有關。Tr-POWA算子有以下幾個性質：

定理5（有界性）：

定理8：如果Q(x)=x，則Tr-POWA算子即為Tr-PA算子。

所以定理成立。

注：類似于PA算子、UPA算子和Tr-PA算子，Tr-POWA算子關于被集結數據也是非單調的。

在Tr-PA算子和Tr-POWA算子中，支持函數起著十分重要的作用，在滿足定義1中所述三個條件的前提下，類似于文獻[2]中的方法，給出幾種形式：

其中0≤d1＜d2＜…＜dp,0≤kp＜…＜k2＜k1≤1，p≥1。

設以下表達式中 0≤d(,)≤1，p,λ＞0，0≤k≤1：

4 基于Tr-PA算子和Tr-POWA算子的群決策方法

首先給出群決策問題的描述。設X={x1,x2,…,xn}為備選方案集，決策者dk對備選方案兩兩比較，給出三角模糊數互補判斷矩陣表示方案xi優于方案xj的程度，欲從中選擇最佳方案。

本文中提出的Tr-PA算子和Tr-POWA算子可用于解決此類問題。若用Tr-PA算子，解決步驟如下：

步驟3：取定p≥1，利用式（4）定義的方法比較1,2,…,n的大小，選取偏好值最大的方案作為最佳方案。

則：

即0≤alij≤amij≤auij≤1

若用Tr-POWA算子解決此問題，步驟如下：

（2）選擇適當的 BUM 函數Q，設支持函數Sup(,)計 算 出，其中表示中第k大的三角模 糊 數 ，利用Tr-POWA算子集結決策者的判斷，得到群判斷矩陣，其中對任意。則顯然矩陣仍為三角模糊數互補判斷矩陣。

余下步驟與Tr-PA算子的步驟2和步驟3相同。

5 例子

設方案集為X={x1,x2,x3,x4}，三個決策者d1,d2，d3對方案進行兩兩比較，給出三角模糊數互補判斷矩陣為（文獻[12]）：

首先利用Tr-PA算子解決此問題。

（3）設p=1 ，比較的大小，可得，從而最佳方案為x4。

下面再用Tr-POWA算子分析此問題。在式（4）中取p=2，取BUM函數Q(x)=，按照前文所述步驟得則，最佳方案為x1。該結果與利用Tr-PA算子不同，主要原因在于該方法中的數據權重同時與數據本身和BUM函數有關，即除了與數據有關以外，還與數據在排序中所處的位置有關。

文獻[12]中的結果是x1?x4?x3?x2，與本文中使用Tr-PA算子得到的結論不同。主要原因是文獻[12]未考慮數據之間的相互聯系，本文中利用Tr-PA算子集結數據的過程中，考慮到了數據之間的接近程度，體現了數據之間的細微差別和聯系，使大小比較接近的數據具有較大的權重，而在這些比較接近的數據中，數據的權重又與數據的大小成正比，過大和過小的數據權重較小。使過大和過小的數據對集結結果的影響降低，同時，中間數據對集結結果的影響增加，特別是其中較大數據的影響比較大，集結結果比較符合人們的思維習慣。Tr-POWA算子也考慮了數據之間的關系，同時考慮了數據在排序中的位置。通過選取不同的BUM函數，排在同一位置數據的權重會有所不同，增加了決策者的靈活性。定理8表明Tr-PA算子是Tr-POWA算子的一種特殊情形，從而Tr-POWA算子具有更強的適用性，得到的決策結果也更加合理。

6 結束語

本文在精確數的PA算子和區間數的UPA算子的基礎上提出了三角模糊數Tr-PA算子和Tr-POWA算子。如果決策者的判斷信息以三角模糊數互補判斷矩陣的形式給出，利用這兩種算子集結數據，可以體現數據之間的相互聯系，充分利用數據中所包含的信息。計算實例表明，本文中所提出的決策方法是可行的。

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[5]萬樹平.基于冪均算子的區間型多屬性決策方法[J].控制與決策,2009,24(11).

[6]徐澤水.三角模糊數互補判斷矩陣排序方法研究[J].系統工程學報，2004,19(1).

[7]徐澤水.基于FOWA算子的三角模糊數互補判斷矩陣排序方法[J].系統工程理論與實踐,2003,23(10).

[8]吳堅.一種新的梯形模糊數互補判斷矩陣的排序方法[J].中國管理科學,2010,18(3).

[9]黃衛來，黃松.一種改進的三角模糊數互補判斷矩陣的排序方法[J].系統工程與電子技術,2007,29(7).

[10]楊莉，李南，和媛媛.三角模糊數互補判斷矩陣的加性一致性及排序[J].系統工程,2009,(3).

[11]侯福均，吳祈宗.I型不確定數互補判斷矩陣的一致性和排序研究[J].系統工程理論與實踐,2005,25(10).

[12]姜艷萍，樊治平.三角模糊數互補判斷矩陣排序的一種實用方法[J].系統工程,2002,20(2).

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