基于群體共識度和專家滿意度的交互式灰色局勢群決策模型

張 娜，閆書麗，牛翠萍，李 波

（1.新疆財經大學 計算機科學與工程學院，烏魯木齊 830012；2.石河子大學 商學院，新疆 五家渠 831300；3.河南科技大學 數學與統計學院，河南 洛陽 471023）

0 引言

在實際決策的過程中，決策群體的構成可能來自于同一級別專家，多個決策專家基于各自的知識、偏好和目標，通過互相學習、彼此協調來改善各自的評價信息。比如：對于某物流地產公司是否可以在某個地區批地建設物流園區的決策問題，決策層有政府部門的專家、物流地產公司的專家以及區域物流方面的專家，是否建設物流園區會直接關系到政府、地產公司和區域物流發展等方面的利益，決策人員可以從自身的角度對決策問題進行評價，并通過不斷溝通和交流完善自己的決策評價信息。然而，由于決策環境、專家利益等因素往往會導致專家意見難以一致。因此，如何合理有效的集結來源于多個決策專家的決策信息，最終選擇有利于目標實施的最優局勢是保證考慮多個決策專家信息交互問題的關鍵。

本文在現有研究基礎上，基于Pareto最優解的概念，全面分析了專家滿意度和群體共識度相結合的信息集結問題，提出了在交互式群決策過程中一種新的專家權重設置方法，并針對灰色局勢群決策問題中的權重測度問題進行深入研究。同時研究交互式決策終止的條件，使得決策個體快速修正自身決策，以達到決策意見的一致。

1 預備知識

1.1 相關概念

定義1：Pareto最優解。Pareto最優解是指資源分配的一種理想狀態，假定固有的人和可分配的資源，從一種分配狀態到另一種分配狀態的變化中，在沒有使任何人的情況變壞的前提下，使至少一個人變得更好。

假設對于一個多目標規劃模型，可以描述如下：

對于此問題，它的變量的可行域為S，相應的目標可行域為Z=f(S)，給定一個可行點x*∈S，有 ?x∈S，f(x*)≤f(x)成立，那么x*為此多目標規劃模型的絕對最優解；如果不存在x∈S，使得f(x)＜f(x*)成立，那么x*為此多目標規劃模型的有效解，也就是Pareto最優解。

1.2 問題描述

交互式決策方法是決策理論與方法中重要的方法之一。交互式群決策問題與個體信息集結方法存在的不同點主要在于在信息融合過程中存在決策專家之間的互動交流，這樣使他們之間可以進行充分的溝通和交流，有利于更快地調整認識偏差，使群體意見快速到達一致。

交互式決策方法有以下特點：

（1）交互式決策方法可以通過決策專家之間不斷的溝通和交流并進行反饋和修正，使決策偏好信息不斷明確，最終達到決策一致。

（2）交互式決策方法可以通過不斷反復對決策偏好信息的調整，最終達到令決策者滿意的帕累托最優解。

（3）交互式決策過程在達到某一固定的滿意度和共識度之前，交互會一直進行，直到達到為止。

在決策的初始階段，專家群體會協商出群體意見不一致性可接受的范圍，也就是設定一個固定的閾值μ，專家群體共識度必須在此閾值范圍內，如果專家評價不一致性超出了閾值規定的下限，必須通過交互改善決策評價信息；同時，在決策的初始階段，決策群體也會協商出個體意見滿意度可以接受的范圍η，如果個體滿意度達不到這個要求，可能會使決策專家對決策結果不滿意而導致決策無果而終。

第k個決策專家局勢在l目標下的效果樣本值矩陣可以表示成如下形式：

本文主要研究多個專家決策參與決策且存在交互決策時同時滿足群體共識度和專家滿意度的情況下，如何確定灰色決策問題最優局勢問題。

2 群體共識度模型構建

在實際決策時，決策專家總體偏好是否一致是很重要的問題。根據決策專家提供的評價信息和專家權重進行集結后的群體評價與個體提供的原始信息差距是否過大也是必須要關注的問題。如果群體評價與個體評價之間存在明顯的分歧，就需要通過交互改善決策差異較大的專家評價信息，降低這部分決策專家對問題認識的不充分。為此，本文考慮在群體共識度閾值范圍內決策專家權重的確定方法。

設在決策時，決策專家的權重向量為λ=(λ1,λ2,???,λp)T，那么在群體共識度閾值范圍內如何對權重向量進行求解是保證決策有效的前提。

由上式，顯然有 0≤μk(λ1,λ2,???,λp)≤1成立，那么群體共識度越大說明決策專家與群體專家的認知越一致。

由定義3可知，μk(λ1,λ2,???,λp)是λk的嚴格單調遞增函數，λk越大，說明決策專家在群體決策中更為重要，他的決策在群體決策中的份量就越大，因此群體共識度就越小；當決策專家的權重時，也就是決策專家在群體決策中的份量是均等的，這個時候的滿意度是最大的；特別地，當某個決策專家的權重λk=1時，說明此時只有一個專家參與決策，決策專家局勢集與群體綜合局勢相等，群體共識度為1。

在決策專家的權重向量為λ=(λ1,λ2,???,λp)T的情況下，必然希望群體共識度越大越好，可以構建如下多目標優化模型：

由于模型（2）是多目標規劃模型，可以轉化為如下單目標模型。

定理1：單目標規劃模型（3）必定存在最優解。

證明：（1）證明該目標規劃模型的約束條件是凸集

要證明滿足約束條件所有可行解的集合是凸集，只需要證明該約束條件中任意兩點構成的邊線上的點一定會在約束條件內即可。

令λk為邊上的任意一個點，即λk的每一分量是，代入約束條件：

（2）證明該規劃的可行域是非空集

由運籌學基本定理可知，如果可行域是有界凸集，那么該規劃的目標函數必然可以在可行域的頂點上達到最優，故單目標規劃模型（3）必定存在最優解。

由上述目標優化模型（3），總是希望決策專家認知分歧越小、群體共識度越大越好，因此可以事先設定群體共識度的下限。同時，為了使各方案之間達到平衡，以滿足公平競爭的原則，可以構建如下單目標決策模型：

定理2：單目標規劃模型（4）必定存在最優解。

證明：證明同定理1，單目標規劃模型（4）存在有界可行域，必有最優解。

定理3：模型（4）的最優解是模型（3）的Pareto最優解。

3 專家滿意度模型構建

定義4：專家與群體決策的相似度。用灰色灰色關聯度對決策專家局勢集與群體綜合局勢的相似程度進行度量。

其中，ξ為分辨系數，ξ∈(0,1)；一般取ξ=0.5，根據計算灰色關聯度。

根據灰色關聯度的計算公式，將決策專家k與群體綜合決策給出目標l下的效果樣本值矩陣進行灰色關聯分析，可以得到在目標l下決策專家k與群體綜合決策的平均綜合灰色關聯度：

那么，決策專家k與群體綜合決策在各個目標下的平均綜合灰色關聯度為：

灰色關聯度的取值范圍為[0,1]，因此決策專家k與群體綜合決策在各個目標下的平均綜合灰色關聯度取值范圍也為[0,1]，γk越大說明決策專家k與群體綜合決策的評價信息越相似。當然，受其他決策專家的影響，γk基本不可能為1。

為了研究決策專家的滿意度，先給出決策專家與群體綜合決策的相似性最大值和相似性最小值的概念。

的最優解，則稱γk+=γk(λ+)為決策專家與k與群體綜合決策所能達到的相似性最大值。

的最優解，則稱γk-=γk(λ-)為決策專家與k與群體綜合決策所能達到的相似性最小值。

在定義5和定義6的基礎上，如果決策專家與群體綜合決策相似性越大，說明對群體綜合決策結果滿意度越大，否則就說明滿意度越小，因此給出決策專家滿意度的定義。

性質1：對于決策專家的滿意度，對于任意的λ=(λ1,λ2, ???,λp)T，有 0≤η(γk(λ))≤1。

性質 2：對于任意的λ′和λ″，如果γk(λ′)＞γk(λ″)，則η(γk(λ′))＞η(γk(λ″))，也就是說η(γk(λ))是關于γk(λ)的嚴格單調遞增函數。特別地，當γk(λ)=γk-時，η(γk(λ))=0 ，決策專家的滿意度為0；當γk(λ)=γk+時，η(γk(λ))=1，決策專家的滿意度為1。一般情況下，決策者的滿意度是介于0到1之間的。

對于決策專家的群決策問題而言，總是希望最終的決策結果不但要滿足個體專家的滿意度最低要求，在這個基礎上使群體決策滿意度最大，即有下列多目標規劃成立：

其中，ηk*為個體專家滿意度的最低要求，可以根據實際情況進行確定。

上述模型（7）多目標規劃決策問題，可以化簡為單目標規劃來實現。在決策專家群體決策的過程中，總是希望決策專家的滿意度越大越好，一旦專家的滿意度達不到預先設定的最低要求，就必須對其決策信息進行調整，故考慮如下線性規劃模型：

（1）如果d*=0，則規劃問題（7）有解；

（2）如果規劃問題（7）有解，則d*=0。

證明：（1）如果d*=0 ，由于，也即，因為是模型（8）的最優解，所以有因此對于 ?η(γk(λ)≥ηk*，符合模型（7）的約束條件，因此規劃問題（7）有解；

（2）如果規劃問題（7）有解，即對于 ?η(γk(λ)≥ηk*，也即有成立，因此對于所有的k，都有，所以d*=0。

4 綜合評價模型構建與步驟

在群體專家決策的過程中，不但要保證決策專家對方案的認識分歧最小，同時還要滿足決策專家的滿意度達到其最低值，因此結合模型（4）和模型（8），并進行標準化可得如下單目標規劃：

定理5：模型（9）的最優解是模型（2）的Pareto最優解。

定理6：模型（9）的最優解是模型（8）的Pareto最優解。

證明：與定理5的證明相同，同理可得證。

綜上所述，基于群體共識度和專家滿意度的交互式灰色局勢群決策模型的決策方法步驟如下：

步驟1：組織群體專家對結合內外部環境分析，確定對策集和局勢集，并根據實際問題的需要確定專家群體共識度和滿意度閾值，也就是μk*和ηk*。

步驟2：對局勢集進行交流和研討，在此基礎上每一個專家獨立對效果樣本值矩陣進行確定。

步驟3：對模型（9）進行目標規劃的求解，如果u*=0，也即目標規劃（9）有解，轉步驟5；如果u*≠0，目標規劃（9）無解，必然?k，使得或，若通過交互修正第k個決策專家的效果樣本值決策使其符合群體共識度的要求，若通過交互修正第k個決策專家的效果樣本值決策使其符合專家滿意度的要求（兩者的修正可能在程度上存在不同），轉步驟4。

步驟4：根據修正后的決策專家效果樣本值矩陣重新進行目標規劃（9）的計算，也即轉步驟3。

步驟5：根據得到的決策專家權重向量λ1,λ2,???,λp，進行群體綜合局勢集的計算。特別地，當專家滿意度沒有任何要求時，只需要求解模型（4），得到決策專家權重向量λ1,λ2,???,λp；當專家群體共識度沒有任何要求時，只需要求解模型（8），得到決策專家權重向量λ1,λ2,???,λp。

步驟6：根據步驟5得到的群體綜合局勢集，確定最優局勢。

5 結束語

本文在定義群體共識度的基礎上，建立了群體共識度最大化的多目標規劃模型，并研究了其最優解的求解方法，然后運用灰色關聯度思想定義了專家與群體決策相似度，并構建了專家滿意度函數和基于專家滿意度最大化的目標規劃模型，最后建立了同時滿足群體共識度和專家滿意度的目標規劃模型，研究了此模型與群體共識度模型、專家滿意度模型之間的關系，并對交互式決策終止的條件進行了研究。

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